楊拴強，吳新江

（1．福建江夏學院工業(yè)技術研究所，福建福州，350108；2．福建江夏學院工程學院，福建福州，350108）

加工精度是衡量數(shù)控機床性能的重要標志。從運動學角度來說，機床的加工精度最終是由機床上刀具與工件間的相對位移決定的。為了研究數(shù)控機床的誤差補償技術，要先分析機床的誤差源，針對不同性質的誤差源采取不同的方式進行誤差補償。數(shù)控加工中心是由多個部件通過固定鏈接和移動副鏈接組合而成的，其加工精度受到眾多因素的影響，主要有：構件的幾何誤差，包括制造和裝配誤差；溫度場變化引起的熱變形效應誤差；切削力引起的構件變形誤差等。[1-2]其中，幾何誤差為準靜態(tài)誤差，熱誤差和切削力誤差為動態(tài)誤差。為了改進數(shù)控機床的誤差補償技術，國內外專家學者在機床誤差建模方面進行了大量的研究，主要的建模方法有：三角幾何法、誤差矩陣法、神經(jīng)網(wǎng)絡法、矢量描述法、剛體運動學、多體系統(tǒng)理論、微分變換理論等。[3-8]本文采用坐標運動鏈系統(tǒng)分析方法[9][10]105。首先，利用構件形狀變換矩陣和運動副等效坐標變換矩陣，推導綜合誤差數(shù)學表達式。其次，根據(jù)各誤差源的特點，把機床的誤差分為基本幾何誤差和基本熱誤差，綜合這兩項誤差構成機床的綜合誤差模型。最后，在分析構件熱變形和運動副誤差的基礎上，根據(jù)固定點坐標在構件變形前后產(chǎn)生的熱誤差現(xiàn)象，對綜合模型中幾何誤差進行處理，在剔除幾何誤差的基礎上構建熱誤差數(shù)學模型。

一、等效坐標運動鏈系統(tǒng)誤差分析法

數(shù)控加工中心的誤差主要來源于機床部件的生產(chǎn)制造和安裝誤差、構件的變形誤差、構件的運動誤差以及運動過程中的磨損誤差。生產(chǎn)制造和安裝誤差主要是在機床零部件生產(chǎn)過程中由于加工制造精度問題以及設備在裝配過程中產(chǎn)生的誤差；構件變形誤差主要是機床使用過程中受力、受熱等引起的變形誤差；運動誤差及磨損主要是在機床在使用過程中運動副的運動路徑與理想狀態(tài)不一致，或因運動副磨損造成路徑不一致等引起的誤差。為了分析數(shù)控加工中心的誤差源對機床精度的影響規(guī)律，可將機床等效簡化為連接構件和移動副組成的運動鏈系統(tǒng)，引入等效坐標變換，[11]73[12]351[13]對運動鏈系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的誤差進行分析，從而得到數(shù)控加工中心誤差模型的數(shù)學表達式。

為了能夠清楚表達坐標變換的原理，首先設置兩個坐標系CSi、CSj（如圖1所示）。坐標系CSj的零點相對于坐標系CSi的零點在X、Y、Z方向上偏移的距離分別為a、b、c；CSj的坐標軸相對于CSi坐標系的坐標軸分別是繞Xi、Yi、Zi軸旋轉角度，按右旋為正。

圖1 不同坐標系下的坐標變換示意圖

為了進一步分析機床構件變形對機床加工精度的影響，建立機床各構件間的功能幾何運動關系。同樣地，運用等效簡化的坐標運動鏈系統(tǒng)表示，其中的任一構件均可簡化為如圖2所示的構件模型。圖中實線部分表示構件的實際情況，虛線部分代表構件理想狀態(tài)的情況。鏈接構件在運動鏈中的幾何關系可用兩端坐標系的相對位置坐標變換矩陣來表示，即形狀變換矩陣。

圖2 連接構件形狀誤差分析模型示意圖

如圖2所示，構件兩端分別建立的坐標系為CSi、CSj（其中i、j為坐標系的編號）。坐標系CSi與坐標系CSj1所示的位置為兩坐標系的理想位置，用Sij來表示理想的連接構件的形狀變換矩陣；坐標系CSi與坐標系CSj2所示的位置為兩坐標系實際的位置，用來表示實際的連接構件的形狀變換矩陣。具體的形狀變換矩陣為：

其中，a、b、c為結構件的理想尺寸，也是坐標系CSj相對于CSi的位置偏移尺寸；為結構件理想尺寸相應的尺寸誤差；表示構件的形位誤差。

數(shù)控加工中心的運動副可簡化成圖3所示的簡易分析模型（以Y導軌為例）。坐標系CSj固連于運動副的移動構件上，坐標系CSi固連于導軌的一端。實線為運動副實際的運動軌跡，虛線為其理想運動軌跡。運動構件在導軌上運動時，坐標系CSj隨著運動構件移動。當坐標系CSj沿理想運動軌跡運動，其運動后的坐標系為CSj1；當坐標系CSj沿實際的運動軌跡運動，其運動后的坐標系為CSj2。

圖3 運動副誤差分析模型簡圖

運動副在運動鏈中的功能幾何關系可用運動副兩構件上坐標系的相對位置坐標變換矩陣來描述，即等效變換矩陣。表示理想狀態(tài)下坐標系CSj相對于坐標系CSi的等效坐標變換矩陣，表示運動副實際的等效坐標變換矩陣。

二、三軸數(shù)控加工中心誤差模型構建

圖4為三軸立式加工中心的坐標系定義圖，采用等效坐標運動鏈系統(tǒng)誤差分析法[12]353[14]，可簡化為如圖5所示的一系列鏈接構件和移動副組成的等效坐標運動鏈模型。通過對機床構件的簡化，可以把坐標系的相互關系清楚地表達出來。

圖4 機床坐標系定義示圖

如圖5所示，按照運動鏈建模的方法，[10]106-107[11]74-75三軸加工中心由兩條運動鏈構成，一條運動鏈為機床機械零點到工件切削點，另一運動鏈為機械零點到刀具的切削點。根據(jù)圖5中的兩運動鏈關系，在理想狀態(tài)下可得以下關系式：

對結構件的形狀坐標變換矩陣進行分析。在理想狀態(tài)下，固連在一個構件上的兩坐標系之間只存在固定的結構偏差。在運動副運動不存在誤差時進行計算，忽略二階以上無窮小，可以得到工件坐標系中的點相對于基準坐標系向量：

在實際的機床使用過程中會產(chǎn)生各種誤差，如機床構件在制造和裝配時會產(chǎn)生誤差，機床的自身結構會因熱變形發(fā)生變形，運動副在使用過程中的磨損會產(chǎn)生運動誤差等，都會引起機床構件產(chǎn)生形狀誤差和運動副的運動誤差。對各連接構件形狀等效坐標變換矩陣為：

運動副之間的運動坐標等效變化矩陣為：

在存在誤差的情況下，工件坐標系下切削點的坐標在基準坐標系下的坐標發(fā)生偏移，偏移量為。刀具坐標系刀位點位置矢量在基準坐標系下也會發(fā)生偏移，偏移量為。將各構件含有誤差的坐標變換矩陣代入式（8）和式（9）：

通過式（16）、式（10）、式（17）和式（11）可得到基準坐標系下工件上切削點的誤差：

在基準坐標系下，刀位點位置矢量的誤差：

以工件坐標系為基準，將工件視為靜止不動，所有運動由刀具完成，可將現(xiàn)有的方法中的兩條運動鏈簡化為一條開放式串聯(lián)的運動鏈。在理想狀態(tài)下，在基準坐標系中刀位點與切削點重合，得到：

在存在誤差的情況下，機床零部件產(chǎn)生變形誤差，使得刀具刀位點與工件理論切削點的位置不重合，產(chǎn)生誤差在描述由機床誤差引起的刀位點位置及刀軸矢量的誤差時，可全部歸結為刀具運動的誤差。由此，所求誤差即為刀位點相對于工件坐標系下的誤差，即：

式（19）和式（21）中所求的誤差為綜合誤差，包括因裝配制造引起的幾何誤差、作用力引起的非剛性效應誤差和因機床構件溫度分布變化引起的熱誤差。

由此可見，這種相對熱誤差的方式可以在不考慮幾何誤差的情況下，直接獲得熱誤差的模型。

三、小結

本文利用等效坐標系運動鏈系統(tǒng)誤差分析的方法，根據(jù)機床鏈接構件變形誤差模型和機床運動副誤差的分析模型簡圖，得到機床構件變形變換矩陣和運動副的坐標變換矩陣。在推導出機床存在誤差的情況下，建立機床基準坐標系下刀位點誤差矢量模型和切削點誤差的矢量模型，得出刀位點和切削點在基準坐標系中的位置關系。在對綜合誤差模型進行分析和推導的基礎上，提出基于相對熱變形的刀軸矢量對工件坐標系的熱誤差模型，有助于為后續(xù)誤差測量和誤差補償?shù)於ɑA。