賈會芳

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，河南 鄭州451100）

主動控制系統(tǒng)作動器的作動時滯由兩部分組成.第一部分為固定時滯，由在主動控制系統(tǒng)中的在線數(shù)據(jù)采集、濾波、數(shù)據(jù)的操作、計算機把信號傳輸給作動器而產(chǎn)生的；第二部分為浮動時滯，即控制力的累積時滯，由實時控制力達(dá)到近似穩(wěn)態(tài)控制力產(chǎn)生的，通常依賴于作動器的特定動力學(xué)［1］.對時滯微分方程的研究雖有諧波平衡法、中心流形約化、規(guī)范型和多尺度法，但都具有一定的局限性，Wahi P和Chatterjee A提出了常數(shù)時滯微分方程的Galerkin投影法［2］，Nandakumar K和Wiercigroch M在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化了這種方法，使Galerkin投影法同樣適用于狀態(tài)依賴時滯微分方程學(xué)［3］.用這種方法對狀態(tài)依賴時滯微分方程的研究具有以下優(yōu)點：既不需要在分岔點附近，也不需要時滯項有限制形式，甚至不要求時滯量、非線性項或迫動項是小的.因此筆者應(yīng)用Galerkin投影法對帶有狀態(tài)依賴作動時滯的主動控制系統(tǒng)動力學(xué)與控制進(jìn)行了研究.

1 近似作動時滯的推導(dǎo)

液壓作動器在執(zhí)行過程中把液體的壓力能轉(zhuǎn)變?yōu)闄C械能，從而控制負(fù)載的方向、速度、位移和力.由于這種設(shè)備具有高負(fù)載容納性和精確性，因此以一種負(fù)載設(shè)備廣泛應(yīng)用于試驗結(jié)構(gòu)動力學(xué)和結(jié)構(gòu)控制動力學(xué)領(lǐng)域［4］.改進(jìn)的液壓作動器控制系統(tǒng)由式（1）常微分方程組確定：其中參數(shù)xv是滑閥位移，xm是作動器活塞位移，kv是閥增益，τv是閥時間常數(shù)，PL是壓力差，K′q是閥流量增益，K′c是閥流壓增益，Ap是活塞面積，C1是活塞與缸之間流體總泄漏系數(shù)，Vt是在液壓缸的流體總體積，βe是體積彈性模量，xc是命令位移，Kp是比例增益，mt、ct、kt是活塞和試驗樣本的質(zhì)量、阻尼、剛度.

主動控制系統(tǒng)是用來控制結(jié)構(gòu)內(nèi)部或外部激勵的響應(yīng)［5］，改進(jìn)的主動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)化模型由以下方程進(jìn)行描述：

其中 f（t）是外激勵，并且 f（t）=βx3（t-τ（t）），x（t）是主動控制系統(tǒng)閥的位移，m 是質(zhì)量，c、k 分別是阻尼、剛度，τ（t）是作動時滯［6］.

此時，求得式（3）在零平衡點處的特征方程為：

取一組參數(shù) Kp=3,τv=4.32*10-3,K′q=38.970i,K′c=2.53*10-6,Ap=0.86,C1=10-6,Vt=32.33,βe=95 387,mt=0.06,ct=17.45,kt=200.32［4］，并把參數(shù)代入式（4），根據(jù) Routh-Hurwitz 判據(jù)［7］，可得平凡平衡點漸近穩(wěn)定時 kv的取值范圍，在本文中k 取2.為了求得狀態(tài)依賴作動時滯，令：

解此不等式，可得時間t的最小值tmin，當(dāng)t＞tmin時，不等式成立，并把tmin作為浮動時滯τd.為了便于分析和計算，該不等式等價于，此時，解此不等式，可得時間 t的最大值 tmax，當(dāng) t＜tmax時，不等式成立，并把 tmax作為浮動時滯 τd.又 Y1（t）的振幅為其中，

解得：t＜-0.107 486*log（8.426 49*1026），其中 W1=5.398 52*1054-7.567 29*1053d0+1.879 29*.

顯然，狀態(tài)依賴時滯τ與初始狀態(tài)滑閥位移d0之間有密切的關(guān)系，因此時滯τ是狀態(tài)依賴時滯.

2 主動控制系統(tǒng)的動力學(xué)與控制

對式（2）應(yīng)用 Galerkin 投影法［8］，取級數(shù) N=1，令 a0′（t）=s1（t），可得式（2）的低維近似系統(tǒng)：

對正負(fù)平衡點情況分析，固定時滯與命令位移沒有合適的取值關(guān)系，無實際意義，故僅對平凡平衡點進(jìn)行穩(wěn)定性分析和分岔分析.

求得式（6）在平衡點E0的特征方程為：

取參數(shù)k=3.6,u=1,ε=0.01,m=9,c=-0.02,xc=10,代入（7），根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，可得平凡平衡點漸近穩(wěn)定的充要條件是：

解式（8）得：

@Jamie：我女兒三歲半的時候，我小姨抱著她坐車，指著車窗外告訴她：“看，面包車?！焙髞磉^了幾天，她在馬路上指著一輛車堅定地告訴我小姨：“饅頭車！”

（1）驗證Hopf分岔的必要條件

假設(shè) λ=±i（ω＞0）是特征方程（7）的一對純虛根，代入式（8），則 ω 滿足：

對（10）進(jìn)行實虛部分離：

（2）驗證Hopf分岔的充分條件.

而 τf≤0 沒有實際意義，因此這種情況不予考慮.

由上述計算過程可得定理1：

3 數(shù)值模擬

筆者將驗證系統(tǒng)（2）的平凡平衡點的超臨界Hopf分岔.圖1中x是主動控制系統(tǒng)的位移，y是主動控制系統(tǒng)的相對速度，t是主動控制系統(tǒng)的作動時間.此時取一組參數(shù)k=3.6,u=1,ε=0.01,m=9,c=-0.02,xc=10,零平衡點=（0）.而對應(yīng)的超臨界 Hopf分岔值為=4.482 26,但是 Galerkin 投影法具有一定的誤差，因為N的取值會影響實際結(jié)果，因此實際的固定時滯的臨界值相對與理論值來說，會發(fā)生左右偏移，實際的臨界值為=4.006 271,模擬結(jié)果見圖 1.

圖1 式（2）的平衡點的超臨界Hopf分岔圖

4 結(jié)語

通過理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果的比對，發(fā)現(xiàn)Galerkin投影法對具有狀態(tài)依賴時滯系統(tǒng)的研究非常有效，根據(jù)分岔分析，在主動控制系統(tǒng)中的作動時滯不能被忽視，它對主動控制系統(tǒng)的動力學(xué)和性能有很大的影響.