葉 聞，耿 杰

（安徽信息工程學(xué)院 通識(shí)教育與外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，安徽 蕪湖241000）

Hibert第四問(wèn)題［1］研究了Rn中的開(kāi)集U上的Finsler度量,使得直線具有最短路徑.定義在Rn中的開(kāi)集U上的具有上述性質(zhì)的Finsler度量稱(chēng)為射影平坦度量.關(guān)于射影平坦的Finsler度量目前研究的比較多,例如文［2］射影平坦的 Finsler度量，文［3］射影平坦的 Matsumoto 度量.對(duì)于對(duì)偶平坦的 Matsumoto 度量［4］,目前的結(jié)果還不是很多,具體的例子也很少.其實(shí)這類(lèi)Finsler度量是幾何學(xué)在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、信息幾何、超弦理論等領(lǐng)域中有重要應(yīng)用的一類(lèi)研究對(duì)象，所以對(duì)偶平坦的度量也引起了人們?cè)絹?lái)越多的重視.例如文［5］中給出了局部對(duì)偶平坦的Randers度量的充要條件等.本文根據(jù)局部對(duì)偶平坦Finsler度量的定義給出了這一度量為局部對(duì)偶平坦的充要條件.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)F=（x,y）是開(kāi)集U?Rn上的Finsler度量,如果F滿(mǎn)足:

則稱(chēng)F是局部對(duì)偶平坦的［7-8］.

設(shè)（M,F）是n維的Finsler流形，Gi和Gαi分別是定義在F和α上的測(cè)地系數(shù).表示為：

所以有：

2 主要結(jié)論

本文主要研究了局部對(duì)偶平坦的Matsumoto度量,并得出以下結(jié)果.

3 定理的證明

首先，定理的充分性是顯然的，只需證明其必要性.先計(jì)算Matsumoto度量是局部對(duì)偶平坦時(shí)滿(mǎn)足的方程.將（4），（5），（6），（7）式代入，通過(guò)計(jì)算得：

將（12），（13）式用 bk縮并［9］，然后將（14），（15）式代入得：

將（16），（17）式整理后得：

將（18）×β+（19）×α 整理后得：

因?yàn)椋╞2α2-β2）不能整除（α2-β2）和 α2，所以存在 τ=τ（t），使得：

將（20）式整理得：

因?yàn)棣?不能被β2整除，得：

由（22）式得：

所以 θ=θkyk是 α 的射影因子.由（4），（24）式得：

將（26）式代入（23）式得：

將（22），（27）代入（21）式得：

整理得：

因?yàn)?2θβ-τβ2=0 不能整除 α2，所以：

解得：