劉壘 羅治洪

摘 ?要：研究了非立即變質(zhì)品的庫存策略問題，考慮需求依賴于變質(zhì)時間、允許缺貨且短缺量全部延遲回補(bǔ)，建立以單位時間成本最小化為目標(biāo)的補(bǔ)貨庫存模型。提出并理論證明了模型存在唯一最優(yōu)解的條件，算例計算驗證了模型的可行性，靈敏度分析的結(jié)果表明：隨著產(chǎn)品需求對變質(zhì)時間敏感程度、保鮮期、市場總潛在需求、固定訂購成本以及單位缺貨成本的增加，庫存系統(tǒng)單位時間成本都隨之增加，其中產(chǎn)品的市場總潛在需求對庫存系統(tǒng)單位時間成本影響最大;另外，除固定訂購成本的增加會使系統(tǒng)服務(wù)水平降低以外，其他參數(shù)的增加均會導(dǎo)致系統(tǒng)服務(wù)水平提高，其中服務(wù)水平對單位缺貨成本的變化最為敏感。

關(guān)鍵詞：非立即變質(zhì)品;需求依賴于變質(zhì)時間;延遲回補(bǔ)

中圖分類號：F253 ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Abstract： This paper studies the inventory strategy problem of non-instantaneous deteriorating products. Considering that demand depends on the deterioration time， the system allows out-of-stock and all the shortages are delayed， aiming to minimize the average total cost in the replenishment inventory model. Through theoretical analysis， the condition that the model has the only optimal solution is proved. The calculation of the example verifies the feasibility of the model. Sensitivity analysis was carried out on the main parameters. The results show that with the increase of the demand sensitivity to deterioration time， non-deterioration period of items， the potential market demand， fixed order cost and unit shortage cost， the average total cost of the inventory system will increase. The potential market demand has greatest impact on the average total cost of the inventory system; in addition， the increase of fixed order cost will reduce the system service level and the increase of other parameters will lead to an increase in system service level. The service level is most sensitive to the change of unit shortage cost.

Key words： non-instantaneous deteriorating items; deterioration-time-dependent demand; backlogging

1 ?研究背景

在現(xiàn)實生活中易變質(zhì)品大量存在，比如水果、蔬菜、肉類以及牛奶等。美國食品市場研究所2012年的報告指出，2010年超市總銷售收入為4 440億美元，其中來自易變質(zhì)產(chǎn)品的收入占50.62%[1]。大多數(shù)易變質(zhì)品由于儲存技術(shù)以及運(yùn)輸方式的改善，產(chǎn)品經(jīng)過一定的保鮮期之后才開始發(fā)生變質(zhì)，這種現(xiàn)象被稱為“非立即變質(zhì)”。假設(shè)消費者能夠觀察到非立即變質(zhì)品的變質(zhì)情況比如蔬菜水果的腐爛以及新鮮程度，隨著變質(zhì)的開始會有一部分消費者放棄購買，并且變質(zhì)時間越長放棄購買的消費者數(shù)量就越多，產(chǎn)品在不同階段對消費者的吸引力不同[2]，研究需求依賴于變質(zhì)時間的非立即變質(zhì)品的庫存策略問題對于提高零售商利潤以及節(jié)約社會資源具有重要的意義。

Goyal和Giri[3]綜述了從20世紀(jì)90年代早期到2000年期間易變質(zhì)品的庫存管理模型的文獻(xiàn)，Bakker，Riezebos和Teunter[4]又在前者的基礎(chǔ)上綜述了2001年到2011年相關(guān)研究的文獻(xiàn)。近年來，學(xué)者對變質(zhì)品的庫存更是進(jìn)行了大量研究，比如張沖和袁蘭蘭[5]綜合近些年基于信用支付的供應(yīng)鏈庫存模型文獻(xiàn)，主要從考慮可變需求、變質(zhì)品、庫存有限、訂購量閾值以及兩層信用支付等多個角度對相關(guān)文獻(xiàn)進(jìn)行總結(jié)和述評。計國君和韓尚清[6]分別研究了需求受價格影響和需求同時受價格和庫存量影響兩種情況，銷售商允許缺貨并且缺貨量部分延遲訂購，在有多個供應(yīng)商和多個銷售商時，供應(yīng)商將庫存外包于第三方的變質(zhì)品庫存聯(lián)合決策模型。徐菱、江文輝、丁小東[7]構(gòu)建了一個銷售周期內(nèi)易變質(zhì)品變質(zhì)數(shù)量可折價回購以及需求依賴于庫存水平的庫存模型，該模型以平均利潤最大化為決策目標(biāo)，并通過算例完成了不同銷售價格、折價回購比例和庫存影響因子條件下的最優(yōu)訂貨新策略的確定及靈敏度分析。

變質(zhì)品的變質(zhì)率是影響其庫存模型的重要因素，Ghare和Schrader[8]最早將常數(shù)變質(zhì)率引入庫存模型，Covert，Philpi[9]和Philpi[10]將常數(shù)變質(zhì)率的假設(shè)拓展到時變變質(zhì)率，并且先后研究了兩參數(shù)和三參數(shù)Weibull分布變質(zhì)率。Jalan， Giri和Chaudhuri[11]在Covert和Philpi[9]研究的基礎(chǔ)上建立了線性需求以及允許缺貨的兩參數(shù)Weibull分布的庫存控制模型。Chakrabarty， Girl和Chaudhuri[12]又在Philpi[10]研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一個允許缺貨并且需求時變、變質(zhì)率為具有很強(qiáng)普適性的三參數(shù)Weibull函數(shù)的庫存模型。目前關(guān)于易變質(zhì)品的文獻(xiàn)研究中，大多數(shù)都假設(shè)當(dāng)產(chǎn)品一抵達(dá)倉庫時立即開始變質(zhì)，近年來的文獻(xiàn)可參考Ahmed等[13]和Begum等[14]，然而隨著儲藏技術(shù)的提高以及運(yùn)輸方式的改變，大多數(shù)物品都會有一個保持其原始狀態(tài)不變的時間段，此時間段被稱為保鮮期，經(jīng)過保鮮期之后物品才逐漸發(fā)生變質(zhì)，Wu， Ouyang和Yang[15]將這種現(xiàn)象稱為“非立即變質(zhì)品”，并且研究了以平均成本最小化為決策目標(biāo)，需求依賴于即時庫存水平，允許缺貨且缺貨量部分延遲訂購的庫存補(bǔ)貨問題。經(jīng)過Chang，Teng和Goyalde[16]的進(jìn)一步研究，當(dāng)需求依賴于庫存水平時，以平均成本為決策目標(biāo)所獲得的策略不是最優(yōu)，以平均利潤為目標(biāo)函數(shù)對Wu， Ouyang和Yang[15]的模型進(jìn)行了修正，除此之外考慮到現(xiàn)實生活中大多數(shù)零售商只有有限的貨架空間，因此設(shè)定了最大庫存水平，并且放松了當(dāng)不允許缺貨時期末庫存水平為零的限制。此后，很多研究者都展開了對“非立即變質(zhì)品”的研究。閔杰和周永務(wù)[17]構(gòu)建了以系統(tǒng)平均利潤最大化為目標(biāo)的非立即變質(zhì)品的庫存模型，該庫存模型需求依賴于庫存水平并且需求在保鮮期和變質(zhì)期內(nèi)受庫存水平影響的系數(shù)不同，其變質(zhì)率為常數(shù)，系統(tǒng)允許缺貨并且顧客愿意等待的比例是關(guān)于其等待時間的下降函數(shù)。Geetha和Uthayakumar[18]，李明芳和王道平[19]，Musa和Sani[20]均研究了非立即變質(zhì)品的延期付款情況。李貴萍、段永瑞、霍佳震[21]考慮非立即變質(zhì)品的訂購、定價和保鮮技術(shù)投資的聯(lián)合決策問題，該模型以平均利潤最大化為目標(biāo)，假設(shè)產(chǎn)品需求依賴于銷售價格，變質(zhì)率時變且不允許缺貨，可以通過保鮮技術(shù)的投資來改變產(chǎn)品的保鮮期和時變變質(zhì)率。

考慮非立即變質(zhì)品的需求特點，閔杰和周永務(wù)[17]以平均利潤最大化為決策目標(biāo)，構(gòu)建了一個需求依賴于庫存水平的非立即變質(zhì)品庫存模型，該模型允許缺貨且部分延遲訂購率是與顧客等待時間相關(guān)的負(fù)指數(shù)函數(shù)，并且提出在現(xiàn)實生活中消費者更傾向于購買新鮮的產(chǎn)品，因此產(chǎn)品在保鮮期和變質(zhì)期內(nèi)需求受庫存水平影響的系數(shù)是不同的。Maihami和Kamalabadi[22]假設(shè)需求同時依賴于價格和時間，構(gòu)建了非立即變質(zhì)品的聯(lián)合定價與庫存控制模型，該模型以平均利潤最大化為目標(biāo)，允許缺貨并且缺貨量部分延遲訂購。Shah， Soni和Patel[23]構(gòu)建了一個需求同時依賴于銷售價格和產(chǎn)品廣告頻次的非立即變質(zhì)品的聯(lián)合庫存控制和市場決策模型，該模型變質(zhì)率時變且不允許缺貨。

過去的文獻(xiàn)表明，關(guān)于非立即變質(zhì)品庫存控制的研究主要集中在需求依賴于庫存水平，而關(guān)于需求在變質(zhì)期間隨變質(zhì)時間時變的研究較少。本文以單位時間成本最小化為目標(biāo)，建立了需求依賴于變質(zhì)時間的非立即變質(zhì)品庫存模型，需求在變質(zhì)期間隨變質(zhì)時間呈指數(shù)下降，系統(tǒng)允許缺貨且缺貨量全部延遲訂購。通過理論分析確定最優(yōu)的補(bǔ)貨時機(jī)和補(bǔ)貨數(shù)量，通過算例計算以及對主要參數(shù)進(jìn)行靈敏度分析，進(jìn)一步驗證本文模型的有效性。

2 ?數(shù)學(xué)模型

考慮一個以單位時間成本最小化為決策目標(biāo)的非立即變質(zhì)品的庫存系統(tǒng)，該系統(tǒng)需求依賴于變質(zhì)時間，允許缺貨且缺貨量全部延遲訂購，研究訂貨周期及其訂貨量的庫存決策問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?CHEN X， PANG Z， PAN L. Coordinating inventory control and pricing strategies for perishable products[J]. Operations Research， 2014，62（2）：284-300.

[2] 張云豐，王勇，龔本剛，等. 需求依賴銷售價格與變質(zhì)時間的三級時滯易變質(zhì)品供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)[EB/OL]. （2018-10-26）[2019-02

-15]. http：www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JSJJ2018102600Ghtm.

[3] ?GOYAL S K， GIRI B C. Recent trends in modeling of deteriorating inventory[J]. European Journal of Operational Research， 2001，134（1）：1-16.

[4] ?BAAKKER M， RIEZEBOS J， TEUNTER R H. Review of inventory systems with deterioration since 2001[J]. European Journal of Operational Research， 2012，221（2）：275-284.

[5] 張沖，袁蘭蘭. 基于信用支付的供應(yīng)鏈庫存模型綜述與展望[J]. 物流科技，2016（12）：129-132.

[6] 計國君，韓尚清. 基于第三方的易變質(zhì)產(chǎn)品庫存決策[J]. 控制與決策，2015，30（4）：663-669.

[7] 徐菱，江文輝，丁小東. 考慮變質(zhì)量可折價回購與庫存水平影響需求的易變質(zhì)品庫存模型[J]. 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2016，46（24）：79-87.

[8] ?GHARE P M， SCHRADER G F. A model for an exponentially decaying inventory[J]. Journal of Industrial Engineering， 1963（14）：238-243.

[9] ?COVERT R P， PHILIP G C. An EOQ model for items with Weibull distribution deterioration[J]. AllE Transactions， 1973，5（4）：323-326.

[10] ?PHILIP G C. A generalized EOQ model for items with Weibull distribution deterioration[J]. AllE Transactions， 1974，6（2）：159 -162.

[11] ?JALAN A K， GIRI R R， CHAUDHURI K S. EOQ model for items with Weibull distribution deterioration， （下轉(zhuǎn)第41頁）