鄧小康，徐恭義

(1. 武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，湖北 武漢 430081；2. 中鐵大橋勘測設(shè)計院集團有限公司，湖北 武漢 430050)

懸索橋的設(shè)計和施工控制都需要對主纜線形進行精確計算[1]，計算方法主要包括非線性有限元法和數(shù)值解析法兩種，其中數(shù)值解析法是已知主纜所受外力條件下主纜線形和內(nèi)力計算的一種方法[2-3]，與有限元法相比，其能簡便模擬主纜與鞍座的接觸問題和鞍座的頂推等，并具有解答精確、輸入數(shù)據(jù)少、計算速度快的特點[4]。

目前用于懸索橋主纜計算的數(shù)值解析法主要包括傳統(tǒng)拋物線法、分段拋物線法、分段直線法、分段懸鏈線法和參數(shù)方程法等。

文獻[5-6]對分段懸鏈線法進行了詳細(xì)闡述，假定主纜自重沿變形前的長度均勻分布，計算結(jié)果與實際情況最為相符[7]。但是該種方法對線形偏差與內(nèi)力修正的迭代計算繁瑣，迭代收斂速度較慢[8]，甚至在某種荷載作用下其迭代計算得不到結(jié)果[7，9]。

文獻[10-11]提出參數(shù)方程法，假定主纜自重沿主纜長度方向均布，其余恒載看作沿跨徑方向均布，由此建立平衡微分方程，并引入一個參變量求解方程，該方法雖然計算簡便、收斂較快，計算精度也能滿足工程要求，但其本質(zhì)上仍是一種近似方法[12]。

本文基于對主纜索段的受力分析，在建立各索段統(tǒng)一線形方程的基礎(chǔ)上，找到主纜最低點的位置及其斜率，利用變形相容條件建立方程，以主纜索力水平分力的變化規(guī)律求解方程，提出一種受力更明確、適應(yīng)性更強、計算更簡便的主纜線形計算方法，本文將其總結(jié)為斜率爬升法。

1 主纜索段的劃分及受力分析

1.1 計算假定及索段的劃分

分析計算過程中，采用以下假定：(1)主纜材料符合胡克定律，應(yīng)力-應(yīng)變呈線性關(guān)系；(2)主纜為理想柔性，即既不受壓，也不受彎；(3)受力后主纜抗拉剛度的計算使用變形前的主纜面積[1]。

坐標(biāo)系Ⅰ下的主纜計算模型及索段劃分示意見圖1?？鐝綖長的主纜以最低點A(即全橋主纜的斜率最小點，位置待求)為界，左側(cè)(m-1)個吊桿將主纜分為m段，右側(cè)(n-1)個吊桿將主纜分為n段。以最低點A為原點建立坐標(biāo)系Ⅰ，y軸豎直向上，左側(cè)x軸正向水平向左，右側(cè)x軸正向水平向右。

圖1 坐標(biāo)系Ⅰ下的主纜計算模型及索段劃分示意

令左邊主纜垂度為f1，跨徑為L1；右邊主纜垂度為f2，跨徑為L2。索段的受力情況：索段兩端承受吊桿傳來的集中力P，中間承受沿索長均勻分布的主纜自重q。

1.2 索段受力分析和全橋主纜線形與斜率的關(guān)系

1.2.1 不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

在坐標(biāo)系Ⅰ下，取最低點A的左側(cè)主纜進行分析，對其上任意索段i，由豎直方向力的平衡條件，可得

(1)

式中：H為索段上任一點索力的水平分力。

定義索段上任一點的斜率為

(2)

代入式(1)，得

即

(3)

解式(3)，可得

(4)

式中：D1為積分常數(shù)。

求反函數(shù)，可得

(5)

將式(2)與式(3)相乘，可得

解得

(6)

式中：D2為積分常數(shù)。

式(4)～式(6)為索段i的線形方程，由于H和q在全橋主纜范圍內(nèi)為常量，故式(4)～式(6)對每個索段的方程形式均一樣，當(dāng)將所有索段的原點都取為A點(即坐標(biāo)系Ⅰ)時，每個索段的積分常數(shù)D1和D2取值不一樣，即各索段為了滿足主纜線形連續(xù)，出現(xiàn)了曲線平移。為更好地分析主纜線形與斜率之間的關(guān)系，本文將索段曲線還原至其平移前的位置。

對任意索段i，將其坐標(biāo)系原點移至索段曲線上斜率為0的位置，x、y軸的方向同前述，得到坐標(biāo)系Ⅱ，見圖2。此時應(yīng)有邊界條件x=0，y=0，z=0，代入式(4)～式(6)，可得D1=0，D2=-H/q。此時，索段i的線形方程變?yōu)?/p>

(7)

(8)

(9)

式(7)～式(9)不包含任何索段i的信息，僅與坐標(biāo)系Ⅱ下的主纜坐標(biāo)有關(guān)，所以在將各索段自身的坐標(biāo)系原點移至索段曲線斜率為0的位置后，全橋主纜線形方程可統(tǒng)一為式(7)～式(9)。

圖2 坐標(biāo)系Ⅱ下的索段示意

將圖1中的左邊主纜都按上述方法統(tǒng)一到坐標(biāo)系Ⅱ下，見圖3。最低點作用有集中力的情況(最低點斜率不為零)見圖3(a)，最低點無集中力作用的情況(最低點斜率為零)見圖3(b)。定義任意索段i低點位置的斜率為zL(i)，對應(yīng)的橫坐標(biāo)為xL(i)，縱坐標(biāo)為yL(i)；高點位置的斜率為zH(i)，對應(yīng)的橫坐標(biāo)為xH(i)，縱坐標(biāo)為yH(i)。

(a) 有集中力

(b) 無集中力圖3 坐標(biāo)系Ⅱ下最低點有無集中力作用時的主纜示意

由于吊桿處有集中力作用，主纜斜率不連續(xù)，由式(7)和式(9)可得吊桿作用處曲線的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)也不連續(xù)。圖3中的每個陰影段都對應(yīng)于主纜上一個索段，其線形即為索段的真實線形。

1.2.2 考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

由胡克定率，可得

(10)

式中：ds為有應(yīng)力狀態(tài)下主纜的微段長度；ds0為無應(yīng)力狀態(tài)下的微段長度；A0為無應(yīng)力狀態(tài)下主纜的橫截面面積；E為主纜所用材料的彈性模量；T為主纜任意點的索力。

(11)

由質(zhì)量守恒定律，可得

q0ds0=qds

(12)

式中：q0為無應(yīng)力狀態(tài)下沿索長均布的主纜自重荷載；q為有應(yīng)力狀態(tài)下沿索長均布的主纜自重荷載。

由式(11)和式(12)，可得

(13)

由力的分解關(guān)系，可得

(14)

式中：z為斜率。

將式(14)代入式(13)，可得

(15)

將式(15)代入式(1)，可得

(16)

將式(2)代入式(16)，可得

(17)

求倒數(shù)，則

(18)

求解得

(19)

式中：D3為積分常數(shù)。

將式(2)與式(18)相乘，可得

(20)

求解得

(21)

式中：D4為積分常數(shù)。

(22)

(23)

式(22)、式(23)為考慮主纜自重荷載變化時的主纜線形方程。

當(dāng)已知某一點在坐標(biāo)系Ⅱ下的橫坐標(biāo)x時，采用二分法求式(22)，可得斜率z。

由

將左邊主纜按上述方法統(tǒng)一到坐標(biāo)系Ⅱ下，同樣可得圖3。

2 主纜對稱時變形相容方程的建立和求解

2.1 主纜斜率最小點的確定

由主纜的對稱性可知，此時斜率最小點(最低點A)應(yīng)位于主纜的跨中位置。

當(dāng)A點作用有集中力P(m)時，點斜率zL(m)為

(24)

當(dāng)A點無集中力作用時，該點斜率為

zL(m)=0

(25)

2.2 變形相容方程的建立和求解

將左邊主纜按照前述方法統(tǒng)一到坐標(biāo)系Ⅱ下可得圖3。

以不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響為例，將式(24)或式(25)代入式(7)中，可得主纜最低點在坐標(biāo)系Ⅱ下的橫坐標(biāo)為

(26)

定義索段i在水平方向上的長度為L(i)，在式(26)中加上索段的橫向長度，即得第m個索段最高點的橫坐標(biāo)為

xH(m)=xL(m)+L(m)

(27)

代入式(8)，可得第m個索段最高點的斜率為

(28)

將式(24)(或式(25))和式(28)代入式(9)，可得第m個索段的高差為

f(m)=yH(m)-yL(m)=

(29)

集中力P(i)作用點左右的兩個索段應(yīng)滿足

H·zL(i)-H·zH(i+1)=P(i)

可得

(30)

將式(28)代入式(30)，即可得zL(m-1)。

對第m-1個索段至第1個索段，重復(fù)式(26)～式(30)的過程，即可得各索段的f(i)。

建立主纜變形相容方程為

(31)

由于f(i)均只含有H一個未知數(shù)，所以式(31)為關(guān)于H的一元非線性方程。

構(gòu)建函數(shù)

(32)

在其他條件不變時，主纜的垂度增加，主纜索力的水平分力將減小[13]。任意給定一個H的初值H0(如10 000 kN)，如f′=0，則說明此時的H0為式(31)的解；如f′>0，則說明H0取值偏小，令H0=10×H0，再次代入式(32)，直至f′<0，則H的求解區(qū)間為[H0/10，H0]；如f′<0，則說明H0值偏大，令H0=H0/10，再次代入式(32)，直至f′>0，則H的求解區(qū)間為[H0，10H0]。在上述求解區(qū)間內(nèi)對式(31)采用二分法求解，即可求得H。

該求解過程對平面主纜懸索橋的線形計算一定收斂，且收斂速度很快。

上述二分法求解H時，最后一次的迭代過程同時計算出了索段i在坐標(biāo)系Ⅱ下的zL(i)、xL(i)、zH(i)、xH(i)和f(i)。

對于考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響時的情況，可參照上述方法確定斜率最小點的位置和其斜率大小，并由式(22)、式(23)和式(30)重復(fù)計算可得各索段的高差f(i)，進而建立式(31)并求解。

本文將上述對主纜結(jié)構(gòu)的計算過程稱為斜率爬升法。

3 主纜坐標(biāo)和長度的計算

3.1 主纜坐標(biāo)的計算

主纜坐標(biāo)的計算可歸納為在坐標(biāo)系Ⅰ下已知某點的橫坐標(biāo)x，求縱坐標(biāo)y。仍以不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響的情況為例。

前述過程已求得坐標(biāo)系Ⅱ下任意索段i的zL(i)、xL(i)、f(i)。

對坐標(biāo)系Ⅰ下主纜上的任意點，假定其位于索段j上，其與索段j最低點在水平方向上的距離為xC，于是該點在坐標(biāo)系Ⅱ下的橫坐標(biāo)為

xZ=xC+xL(j)

(33)

將式(33)代入式(8)，可得該點的斜率為

(34)

將zZ和zL(j)代入式(9)，即可得該點與索段j最低點的高差為

fZ=y(x)-yL(j)=

(35)

該點在坐標(biāo)系Ⅰ下對應(yīng)的縱坐標(biāo)為

(36)

如此反復(fù)即可求得主纜上各點的坐標(biāo)。

對于考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響的情況，計算過程相同。

3.2 有應(yīng)力索長的計算

3.2.1 不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

索段弧長的微分式為

(37)

將式(3)代入式(37)，可得

(38)

求解式(38)，可得

(39)

式中：D5為積分常數(shù)。

前面已經(jīng)求出任意索段i最高點的斜率為zH(i)，最低點的斜率為zL(i)，代入式(39)，可得索段i的有應(yīng)力索長為

(40)

左邊主纜的有應(yīng)力索長為

(41)

3.2.2 考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

對任意索段，將式(18)與式(37)相乘，可得

(42)

求解得

(43)

式中：D6為積分常數(shù)。

s(i)=s[zH(i)]-s[zL(i)]

(44)

左邊主纜的有應(yīng)力索長為

(45)

3.3 無應(yīng)力索長的計算

3.3.1 不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

將式(14)、式(38)代入式(11)，可得索段無應(yīng)力弧長的微分式為

s0=Π(z)+D7

(47)

式中：D7為積分常數(shù)。

則索段i的無應(yīng)力索長為

s0(i)=Π[zH(i)]-Π(zL(i)]

(48)

左邊主纜的無應(yīng)力索長為

(49)

這里求得的無應(yīng)力索長是精確值[10]。

3.3.2 考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度影響

對任意索段，將式(14)、式(42)代入式(11)，可得

(50)

求解得

(51)

式中：D8為積分常數(shù)。

索段i的無應(yīng)力索長為

(52)

左側(cè)主纜的無應(yīng)力索長為

(53)

4 不等高主塔時主纜的線形分析

限于地勢與選線的要求，懸索橋有時采用不等高主塔的非對稱設(shè)計，如云南普立特大橋，其左右兩邊主塔的高差達10.362 m[14]。當(dāng)主塔高度不相等時(一側(cè)支點抬高高度為h，主纜最低點水平移動距離為a)，帶來主纜線形的偏移和內(nèi)力重分布，過程見圖4[15]。

圖4 主塔不等高時懸鏈線最低點變化

主塔不等高時主纜計算示意見圖5。圖5中，f1≠f2且二者均不為零(為分析方便，取f1

令A(yù)點左側(cè)斜率為zL(m)，右側(cè)斜率為zL(n)。

圖5 主塔不等高時主纜計算示意

當(dāng)A點位于兩吊桿之間時

zL(m)=zL(n)=0

(54)

當(dāng)A點位于吊桿作用處時

(55)

式中：P為作用在A點的集中力。

接著開始尋找到A點的位置和往左右兩側(cè)的斜率。

將主纜以A點為界劃分成左主纜和右主纜，對左右主纜按第1節(jié)方法分別計算其水平分力為H1、H2。定義函數(shù)

φ(xa,zL(m))=H1-H2

(56)

當(dāng)xa為A點的真實位置時，左右兩邊的水平分力應(yīng)相等，即

φ(xa,zL(m))=0

(57)

式(57)為確定不對稱主纜最低點位置和斜率的非線性方程式。

在其他條件不變時，主纜的跨徑增加，主纜索力的水平分力將變大[13]。同時由式(9)可知，當(dāng)其他條件不變時，最低點的斜率增大，主纜索力的水平分力將變小。

可見當(dāng)xa=0時，φ<0；當(dāng)xa=L時，φ≥0。從左支點開始，分別將A點取在每個吊桿的位置，并將該點集中力P產(chǎn)生的斜率P/H全部作用在左邊，即取左主纜的起始斜率為P/H，右主纜的起始斜率為0，計算出此時的φ。當(dāng)φ在吊點i和j之間發(fā)生變號時，A點應(yīng)位于吊點i(不含)和j(含)之間。

令Lk為吊點i和j之間的水平距離，xk為A點和i點的水平距離。

取xk=Lk，計算出此時的φ。當(dāng)φ≥0時，A點位于i和j之間的主纜上；當(dāng)φ<0時，應(yīng)有A點位于j吊點上。

(1)A點位于i和j之間的主纜上

令i、j吊點離左邊支點的水平距離為L(i)、L(j)。xka、xkb為二分法求解xa區(qū)間的兩個端點，初始值為xka=L(i)，xkb=L(j)。

當(dāng)xa=xka=L(i)時

φ=H1-H2<0

(58)

當(dāng)xa=xkb=L(j)時

φ=H1-H2≥0

(59)

按照二分法的思路，令

(60)

計算xa=k時的φ，當(dāng)φ<0 時，取xka=k；當(dāng)φ≥0 時，取xkb=k。

重復(fù)上述步驟，當(dāng)|xka-xkb|<ξ時(ξ為求解精度)，即得到A點的真實位置，此時A點左右兩側(cè)的斜率均為0，求得H1=H2為主纜的水平分力。

(2)A點位于j吊點上

當(dāng)A點左側(cè)斜率為zL(m)=za=0時

φ=H1-H2<0

(61)

φ=H1-H2≥0

(62)

按照二分法的思路，令

(63)

計算zL(m)=zk時的φ，當(dāng)φ<0 時，取za=zk；當(dāng)φ≥0 時，取zb=zk。

至此，最低點A的位置和左右兩側(cè)的斜率、主纜水平分力H均已求出，可按照前述方法確定主纜的線形及長度。

5 算例

某懸索橋[10]跨度L=888 m，吊索間距為12 m，主纜恒載集度q=54 kN/m，加勁梁等其余恒載集度W=200 kN/m，主纜面積A=0.6 m2，主纜彈性模量E=2.0×105MPa，分別按以下工況進行計算。

工況一 主塔頂?shù)雀撸謩e取跨中矢高f為60、70、80、90、100 m計算主纜的水平分力H、主纜在離左支點228 m處的y值和主纜的無應(yīng)力長度，結(jié)果見表1～表3。

表1 水平分力H值比較 kN

表2 x=288 m時y值比較 m

表3 無應(yīng)力長度的比較 m

由表1～表3可見，本文與文獻[5，10]的計算結(jié)果基本一致，說明本文提出的懸索橋主纜計算新方法正確可行。幾種計算方法中，傳統(tǒng)拋物線理論得到的結(jié)果絕對誤差最大，其相對誤差較小，當(dāng)對計算精度要求不高時，仍可應(yīng)用于懸索橋主纜的設(shè)計和計算。計算結(jié)果還表明，考慮q變化與否對主纜線形和主纜長度計算的影響不大，但對水平分力計算的影響較大。

工況二 主塔頂不等高，取f1為60 m，f2分別取為60、61、62、63、64、65 m計算主纜的水平分力H、主纜的無應(yīng)力長度和主纜最低點的位置與斜率(不考慮q變化)，結(jié)果見表4。

表4 主塔不等高對主纜線形和受力的影響

由表4可見，主塔的不等高將對主纜受力和主纜線形產(chǎn)生較大影響，如算例中的主塔高差每相差1 m，水平分力最大相差3 444.1 kN，無應(yīng)力索長最大相差20.63 cm。主塔不等高時，主纜最低點將向較矮的主塔一側(cè)偏移，當(dāng)最低點在兩個吊點之間時，主纜最低點左右兩側(cè)的斜率都為0；當(dāng)最低點在吊點位置時，主纜最低點左右兩側(cè)的斜率隨主塔高差的變化對斜率P/H進行分配。

6 結(jié)論

(1) 提出了一種求解懸索橋主纜線形的新方法即斜率爬升法，該方法從分析主纜索段的受力出發(fā)，在建立各索段統(tǒng)一線形方程的基礎(chǔ)上，找到主纜最低點的位置及其斜率，利用變形相容條件建立方程，以主纜索力水平分力的變化規(guī)律求解方程，力學(xué)概念清晰，求解簡單。經(jīng)算例論證，本文的方法計算精度較高。

(2) 本文方法對平面主纜懸索橋的求解均能收斂。在計算主纜線形時多次使用二分法求解一元非線性方程，對每次求解本文都給出了求解區(qū)間，保證了計算過程的收斂性。

(3) 斜率爬升法的關(guān)鍵是找到主纜斜率最小點的位置和斜率。對稱主纜的斜率最小點位于跨中位置，跨中無集中力作用時該點斜率為0，跨中有集中力時該點斜率不為0。

(4) 分別按考慮與不考慮主纜彈性伸長對主纜自重荷載集度的影響推導(dǎo)了斜率爬升法的求解過程，并提出了求解主纜坐標(biāo)、有應(yīng)力長度和無應(yīng)力長度的方法；算例的結(jié)果表明，考慮與不考慮q的變化對主纜線形和主纜長度計算的影響不大，但對水平分力影響較大。

(5) 主塔的不等高將對主纜受力和主纜線形產(chǎn)生較大影響，不等高主塔的主纜斜率最小點向較矮的主塔一側(cè)偏移，當(dāng)最低點在兩個吊點之間時，最低點往主纜左右兩邊的斜率都為0；當(dāng)最低點在吊點位置時，最低點往主纜左右兩邊的斜率隨主塔的高差變化對斜率P/H進行分配。