劉林芽，盧沛君，秦佳良

(華東交通大學 鐵路環(huán)境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌 330013)

隨著我國軌道交通建設(shè)的飛速發(fā)展，高速鐵路引發(fā)的輪軌振動和噪聲問題也引起了社會的廣泛關(guān)注?？奂到y(tǒng)作為鋼軌與軌下基礎(chǔ)的連接部分，其力學行為與輪軌的振動特性息息相關(guān)[1]。楊吉忠等[2]基于車輛-軌道耦合動力學理論分析扣件剛度對輪軌動力特征的影響，發(fā)現(xiàn)扣件剛度的增加會影響短波不平順激起的最大輪軌力。張迅等[3]研究了扣件動參數(shù)對3 m鐵路箱梁輪軌作用力的影響，結(jié)果表明扣件剛度增大會使輪軌力的峰值頻率向右偏移。鋼軌扣件系統(tǒng)主要由扣壓件和彈性墊板組成，其中扣壓件的剛度僅為0.5～1.2 kN/mm，只占鋼軌扣件剛度的很小一部分，扣壓件的損耗因子也非常小，因此彈性墊板的動參數(shù)可近似看作整個鋼軌扣件的動參數(shù)[4]。彈性墊板一般由高分子聚合而成，其動態(tài)力學性能與頻率和溫度息息相關(guān)[5-7]，而傳統(tǒng)扣件模型通常是簡單地以3～5 Hz動荷載下測得的動剛度作為扣件的力學參數(shù)，在車輛-軌道耦合振動研究中難以反映激振頻率與鋼軌扣件剛度和損耗因子之間的關(guān)系，這將導致輪軌振動的預測結(jié)果不夠準確。

目前，王平、韋凱等[4,7-9]對結(jié)合扣件動剛度頻變的高速鐵路輪軌振動特性分析做了大量的研究。韋凱等[9]將鋼軌近似看作是無窮周期子結(jié)構(gòu)，采用辛數(shù)學方法提出了車輛-軌道垂向耦合隨機振動分析模型，并加入扣件剛度與激振頻率之間的經(jīng)驗公式來探尋扣件剛度的頻變性對160 Hz以內(nèi)的輪軌隨機振動的影響，發(fā)現(xiàn)考慮扣件剛度的頻變性會影響轉(zhuǎn)向架50～75 Hz的加速度振動幅值，且會使輪對及鋼軌的垂向振動加速度功率譜峰值增大，對應的峰值頻率也會向高頻方向偏移。然而，扣件動參數(shù)頻變經(jīng)驗公式中的模型參數(shù)不具有明確的物理意義，無法兼顧剛度與損耗因子之間的依賴關(guān)系，且需要大量的試驗確定經(jīng)驗公式。此外，由于輪軌振動噪聲主要集中在中高頻段，僅考慮至160 Hz是不夠的，因此同樣需要研究中高頻段內(nèi)扣件動參數(shù)頻變對輪軌振動的影響。

鑒于此，為綜合描述鋼軌扣件各動參數(shù)之間的依賴關(guān)系，探討鋼軌扣件動參數(shù)頻變特性對輪軌動力作用的影響規(guī)律，本文通過DMA試驗得出扣件的溫-頻變力學特性，然后基于高階分數(shù)階導數(shù)理論建立扣件FVMP模型，將其嵌入高速鐵路車-軌耦合模型中計算各構(gòu)件的振動響應，并分析其與常量動參數(shù)下計算結(jié)果的不同之處。

1 鋼軌扣件動參數(shù)頻變特性研究

1.1 扣件頻變的FVMP模型

分數(shù)階導數(shù)模型僅用少量的模型參數(shù)便能較為準確地描述橡膠類彈性墊板的動參數(shù)隨頻率的變化關(guān)系，近年來逐漸被學者們采用[10-14]。Zopf等[12]、Sun等[13]、張大偉等[14]分別采用不同種類的分數(shù)階導數(shù)模型，研究高分子材料的力學性能，其原理是在傳統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，用Abel體更換其中的黏壺元件。Abel體的本構(gòu)關(guān)系為

σ(t)=η·Dγε(t)

(1)

式中：η為模型黏性系數(shù)；Dγ為分數(shù)階微分算子，γ為階數(shù)，對于橡膠高分子材料，通常采用Riemann-liouville型微分[15]，其式為

(2)

僅有一個導數(shù)階數(shù)的低階分數(shù)階導數(shù)模型可以在中低頻范圍內(nèi)描述鋼軌扣件的頻變特性，但在高頻條件下卻難以準確表征。高階分數(shù)階導數(shù)模型的提出，解決了這一問題。FVMP模型[16]是高階分數(shù)階導數(shù)模型中常用的一種，見圖1。

圖1 鋼軌扣件FVMP模型

FVMP模型能夠在較寬的頻率范圍內(nèi)準確描述扣件的動參數(shù)頻變特性，其時域本構(gòu)方程為

(3)

對式(3)進行Fourier變換后可以得出模型的復模量

(4)

(5)

(6)

(7)

1.2 扣件FVMP模型的參數(shù)識別

為了識別FVMP模型參數(shù)并驗證模型的準確性，需要通過試驗獲取扣件彈性墊板的模量值與損耗因子隨頻率的變化關(guān)系。由于常規(guī)試驗條件下難以滿足較高的激振頻率，因此采用橡膠材料動態(tài)力學分析儀(Dynamic Thermomechanical Analysis，DMA)對扣件彈性墊板做溫度掃描試驗，獲取扣件彈性墊板動參數(shù)的溫度譜，然后利用溫-頻率等效原理[4]將DMA試驗結(jié)果轉(zhuǎn)化為扣件彈性墊板隨頻率變化的動參數(shù)。

以高速鐵路常用的WJ-7型扣件常阻尼彈性墊板為試驗對象，試驗采用500 N動態(tài)力學分析儀，見圖2。采用壓縮模式進行試驗，試驗中激振頻率設(shè)置為2 Hz，靜態(tài)應變控制在1.0%，動態(tài)應變控制在0.1%，從-60 ℃掃描至40 ℃。

扣件彈性墊板在-60～40 ℃的模量值見圖3(a)，在-60～-50 ℃的低溫范圍內(nèi)，儲能模量隨溫度小幅下降，而耗能模量隨溫度升高而上升，此時彈性墊板處于玻璃態(tài)，由于儲能模量在低溫時較高，因此彈性墊板具有剛硬的特征；隨著溫度升高，儲能模量與耗能模量均迅速減小，在升高一定溫度后，模量值降速逐漸變小，并在高溫區(qū)趨于穩(wěn)定?？奂椥詨|板的損耗因子在-46 ℃左右存在明顯的峰值，峰值兩側(cè)非嚴格對稱，見圖3(b)。

圖3 扣件彈性墊板溫度掃描試驗值

對于密度為ρ的彈性墊板，可以通過一定的相關(guān)關(guān)系將頻率f、溫度T下的模量值Ys(f,T)與Yl(f,T)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率fα(T)、參考溫度T0下的模量值Ys(f,T)與Yl(f,T)，即

(8)

(9)

式中：α(T)為溫度轉(zhuǎn)換因子，是溫度的函數(shù)；f為試驗頻率，Hz；T為試驗溫度，K；ρ為材料在試驗溫度T下的密度，kg/m3；fα(T)為折算頻率，Hz；T0為參考溫度，K；ρ0為材料在參考溫度T0下的密度，kg/m3。

α(T)可將不同溫度下的頻率數(shù)據(jù)相互轉(zhuǎn)換。一般情況下，溫度對扣件彈性墊板動態(tài)力學性能的影響比頻率更加明顯，因此通過α(T)轉(zhuǎn)換后可以得到更寬頻率范圍的模量值與損耗因子，α(T)可用WLF方程[17]表示

(10)

式中：C1、C2為常數(shù)，有多種取值，既與參考溫度T0的取值有關(guān)，也與扣件彈性墊板材料的種類有關(guān)。

在DMA溫度掃描試驗的基礎(chǔ)上，根據(jù)溫頻等效原理與WLF方程將溫變試驗結(jié)果轉(zhuǎn)換為20 ℃下扣件彈性墊板的動態(tài)力學特性。由此結(jié)合式(5)～式(7)，利用最小二乘法及遺傳算法進行參數(shù)識別，即可確定高階分數(shù)階導數(shù)FVMP模型的參數(shù)值，見表1。

表1 FVMP模型擬合參數(shù)

應用擬合參數(shù)確定的FVMP模型計算扣件彈性墊板動參數(shù)Ys、Yl與δ，模型的預測結(jié)果與DMA試驗數(shù)據(jù)對比見圖4。

圖4 模型預測值與試驗值對比

由圖4可知，扣件彈性墊板的動參數(shù)與激振頻率有明顯的相關(guān)性。但在大多數(shù)的車-軌耦合仿真計算中常將其看作是不隨頻率變化的常數(shù)，這必然會導致計算結(jié)果與實際產(chǎn)生一定的誤差。FVMP模型計算的動參數(shù)與試驗數(shù)據(jù)吻合度很好，這是由于本模型具有三個分數(shù)階導數(shù)階數(shù)α、β、γ，能夠精確描述扣件的動參數(shù)頻變特性。

2 考慮鋼軌扣件動參數(shù)頻變特性的車輛-軌道耦合隨機振動分析

2.1 基于格林函數(shù)法的車-軌耦合模型

由前述可知，鋼軌扣件的力學性能與激振頻率有顯著的變化關(guān)系，因此，有必要在車輛-軌道耦合振動模型中加入鋼軌扣件的頻變模型以分析其動力學特性。采用格林函數(shù)法建立車輛-軌道耦合系統(tǒng)垂向模型，見圖5，模型采用中國CRH380型高速客車與長枕埋入式軌道，鋼軌與軌下結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)結(jié)由高階分數(shù)導數(shù)FVMP模型代替?zhèn)鹘y(tǒng)的扣件模型。

圖5 車輛-軌道耦合系統(tǒng)垂向模型

車輛系統(tǒng)采用半車車輛模型，此模型考慮的車體運動狀態(tài)有車體的浮沉zc、點頭θc，2個轉(zhuǎn)向架的浮沉zt1、zt2，點頭θt1、θt2以及4個車輪的垂向位移zw1、zw2、zw3、zw4，共10自由度。車輛系統(tǒng)振動微分方程為

(11)

式中：m、k和c分別為車輛系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣；Z為系統(tǒng)的位移矢量；P為作用在車輛系統(tǒng)上的外力。

通過分離變量法對式(11)進行變換，即可得到車輪點導納與傳遞導納

(12)

鋼軌用Timoshenko梁模型，其振動方程為

(13)

(14)

式中：zr為垂向位移；φr為截面轉(zhuǎn)角；Er為楊氏模量；Gr為剪切模量；Ar為橫截面面積；Ir為截面慣性矩；κ為剪切系數(shù)；ρr為鋼軌密度；ηr為損耗因子；ω為激振的圓頻率。

設(shè)gr(x1,x2)為軌道格林函數(shù)，其定義為單位力在鋼軌x1處施加時x2處的位移。結(jié)合式(13)、式(14)，通過傅里葉變換及留數(shù)法，得到Timoshenko梁鋼軌格林函數(shù)表達式[18]為

gr(x1,x2)=u1e-ik1|x1-x2|+u2e-k2|x1-x2|

(15)

式中:

利用格林函數(shù)的定義和疊加原理，鋼軌在頻域內(nèi)的振動位移為

(16)

式中：xa為第a個輪軌接觸點的位置；Pa為第a個輪軌接觸點上的輪軌作用力；Na為輪對的個數(shù)；Kfzr(xn)為第n個扣件作用在鋼軌上xn處的扣件反力；N為所有扣件的個數(shù)。

Kf為鋼軌扣件包含損耗因子的復剛度，其式為

(17)

式中:A、h為扣件彈性墊板的橫截面面積。

根據(jù)式(16)求解即可得到鋼軌點導納及接觸點之間的相關(guān)位移傳遞導納

(18)

車輪和鋼軌之間采用線性Hertz接觸彈簧連接。輪軌接觸導納為

(19)

式中：Zδi為輪軌接觸變形；KH為輪軌接觸剛度。

在實際情況下，列車在軌道上運行時，四個輪軌接觸點處的隨機激勵存在時間差。采用虛擬激勵法[19]求解，設(shè)軌道不平順譜密度為Srr(ω)，則虛擬激勵為

(20)

式中:lt為車輛固定軸距；lc為車輛定距；V為車速。

采用定點激勵模型，車輪與軌道的相對位置保持不變，軌道譜在車輪與鋼軌之間移動從而形成位移激勵，此時動態(tài)輪軌作用力Pwr可表示為

Pwr=-(αW+αR+I4×4αC)-1R(ω)

(21)

將輪軌作用力代入式(12)、式(18)，即可求出車輛與鋼軌在頻域內(nèi)的振動響應。

2.2 計算參數(shù)

車輛及軌道結(jié)構(gòu)計算參數(shù)見表2、表3，其中扣件常量剛度取27 kN/mm，常量損耗因子取0.25，扣件頻變動參數(shù)由FVMP模型給出。

表2 CRH380高速客車的動力學參數(shù)

表3 軌道結(jié)構(gòu)的動力學參數(shù)

2.3 扣件頻變特性下的車輛-軌道振動響應

為了在較寬的頻率范圍內(nèi)計算輪軌隨機振動響應，需要采用合適的軌道不平順譜作為激勵。當以國外典型的德國高速軌道譜(波長為1～100 m)為激勵時，能夠計算出輪軌系統(tǒng)的低頻振動，而當以常用的短波不平順譜Sato譜(波長為1 m以下)為激勵時，能夠計算出輪軌系統(tǒng)的高頻振動，因此本節(jié)結(jié)合德國低干擾譜及Sato譜作為軌道不平順激勵[20]，行車速度設(shè)為300 km/h，采用上述模型計算車輛與軌道系統(tǒng)在較寬頻率范圍內(nèi)的動態(tài)響應，并對比分析扣件頻變動參數(shù)與常量動參數(shù)下計算得到的振動響應。

垂向輪軌力見圖6。由圖6可知:輪軌力曲線的第一主頻為5.6 Hz的低頻，與轉(zhuǎn)向架的振動有關(guān)；第二主頻為50 Hz左右的中頻，與車輪和軌道的耦合振動有關(guān)?？奂訁?shù)頻變和取常量時，在小于20 Hz時的影響較?。辉?0～49 Hz內(nèi)，常量動參數(shù)下的計算結(jié)果較大；而在49～167 Hz內(nèi)，頻變動參數(shù)下的計算結(jié)果更大一些，輪軌力峰值增加了28.3%；在167～710 Hz的較高頻段內(nèi)，常量動參數(shù)計算的輪軌力峰值較大些；710 Hz以后兩種工況的輪軌力峰值相差不大。此外，從50 Hz以后，考慮扣件動參數(shù)頻變特性后的輪軌力峰值頻率將整體向右偏移。

圖6 垂向輪軌力

圖7 車體加速度功率譜密度

車體加速度功率譜密度見圖7。由圖7可知，兩條曲線基本重合，在第一主頻0.8 Hz處，扣件常量動參數(shù)的功率譜密度與頻變動參數(shù)的計算結(jié)果誤差僅為0.354%，說明扣件的動參數(shù)頻變特性對車體的隨機振動基本無影響。

圖8 轉(zhuǎn)向架加速度功率譜密度

轉(zhuǎn)向架加速度功率譜密度見圖8。由圖8可知，兩種計算結(jié)果在小于20 Hz時的差異很小，第一主頻均為5.5 Hz，其峰值僅僅相差0.155%。考慮扣件彈性墊板頻變特性后轉(zhuǎn)向架響應的變化主要體現(xiàn)在20～70 Hz之間。如在20～50 Hz之間時，扣件彈性墊板常量動參數(shù)下的計算結(jié)果要大于頻變動參數(shù)下的計算結(jié)果；在50～70 Hz區(qū)域內(nèi)考慮動參數(shù)頻變特性的功率譜密度大于常量動參數(shù)下的結(jié)果，加速度功率譜密度的峰值增加了2.11×10-4(m/s2)2/Hz。由此不難發(fā)現(xiàn)，不考慮扣件彈性墊板的頻變特性將會高估20～50 Hz的中頻振動，同時會低估50～70 Hz范圍內(nèi)的中高頻振動。

圖9 輪對加速度功率譜密度

輪對加速度功率譜密度見圖9。由圖9可知，與輪軌力的頻域分布相似，輪對的垂向振動加速度功率譜密度的差異同樣體現(xiàn)在20 Hz之后。與常量動參數(shù)下計算的功率譜密度相比，考慮扣件彈性墊板頻變特性減小了20～49.8 Hz下的加速度功率，但增大了49.8～165.5 Hz范圍內(nèi)的加速度功率，峰值頻率由48.4 Hz向右偏移至54.1 Hz，對應的加速度功率峰值從0.43 (m/s2)2/Hz增大至0.706 (m/s2)2/Hz，兩者相差64.2%。在165.5 Hz以后的較高頻段內(nèi)，常量動參數(shù)計算的輪對加速度功率峰值較大，并在710 Hz左右達到高頻段的最高峰。

圖10 鋼軌加速度功率譜密度

鋼軌加速度功率譜密度見圖10。由圖10可知，鋼軌加速度功率譜密度在小于6.7 Hz時頻變動參數(shù)的計算結(jié)果較大，而在6.7～51.2 Hz范圍內(nèi)常量動參數(shù)的計算結(jié)果較大，這與其他圖像在低頻下的規(guī)律有所不同。鋼軌的計算結(jié)果在中頻段內(nèi)的峰值相差55.2%，對應的峰值頻率也由49.1 Hz增加至54.7 Hz。在280 Hz之后的高頻段內(nèi)，鋼軌振動加速度功率譜密度的峰值頻率整體向右偏移，并且仍然在710 Hz左右達到最高峰。

綜合以上分析可知，由于列車的二系懸掛系統(tǒng)削弱了軌下結(jié)構(gòu)的力學性能對車體的影響，鋼軌扣件的動參數(shù)頻變特性對車體振動加速度功率譜的影響較小。相比較而言，輪對和鋼軌的計算結(jié)果在頻域內(nèi)的分布向高頻部分發(fā)生了偏移，這是因為隨著激振頻率的提高扣件動剛度也逐漸增大，致使軌道結(jié)構(gòu)的自振頻率向高頻區(qū)域偏移。此外，考慮扣件動參數(shù)頻變特性后，扣件損耗因子在中高頻段較大，使得輪軌在中高頻段內(nèi)的耗散能量較高，輪軌振動響應也較小。

3 結(jié)論

本文針對高速鐵路鋼軌扣件建立了基于高階分數(shù)階導數(shù)理論的FVMP頻變模型，通過試驗得出了鋼軌扣件的溫變、頻變力學特性，并對比分析了FVMP模型和扣件常量動參數(shù)在車輛-軌道耦合隨機振動響應計算中的差異。得到如下結(jié)論：

(1) 鋼軌扣件的動參數(shù)對頻率和溫度有明顯的依賴性，其動參數(shù)隨著激振頻率的增大而增大，且增速逐漸變緩，而高階分數(shù)階導數(shù)FVMP模型能準確地描述鋼軌扣件的動參數(shù)頻變特性。

(2) 考慮鋼軌扣件動參數(shù)頻變特性后車體加速度功率譜基本無變化，但頻率20～70 Hz范圍內(nèi)轉(zhuǎn)向架的隨機振動會受到影響。

(3) 考慮扣件動參數(shù)頻變特性后，輪軌力和輪軌系統(tǒng)振動響應的變化規(guī)律相似，與常量動參數(shù)下計算結(jié)果差異主要體現(xiàn)在20 Hz之后，以輪對加速度功率譜圖像為例，中頻段計算結(jié)果的峰值相差64.2%?？奂膭訁?shù)頻變特性會使輪軌的隨機振動頻域分布向高頻發(fā)生了偏移，且中高頻段內(nèi)輪軌振動響應會減小。

(4) 由于扣件系統(tǒng)中設(shè)有動參數(shù)頻變特性較強的高分子減振材料，因此為了精確預測輪軌中高頻的隨機振動響應，必須考慮扣件動參數(shù)的頻變特性。