張曉梅,趙仰生,任勇生,趙 奇

(1.山西煤炭職業(yè)技術(shù)學(xué)院,太原 030031;2.山東科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院,山東 青島 266590)

復(fù)合材料的比強(qiáng)度、比剛度和阻尼比傳統(tǒng)金屬材料要高,這不僅可以減輕重量,同時(shí)還能減少結(jié)構(gòu)的振動(dòng),因而在飛機(jī)、船舶等對承載重量要求苛刻的領(lǐng)域內(nèi)軸的設(shè)計(jì)中,具有廣闊的應(yīng)用前景。

但由于纖維復(fù)合材料力學(xué)性能的各向異性,在復(fù)合材料軸的軸向拉伸、橫向彎曲以及扭轉(zhuǎn)之間存在明顯的耦合。

形狀記憶合金(shape memory alloy-SMA)是一類應(yīng)用廣泛的智能材料。利用溫度誘發(fā)SMA馬氏體相變以改善復(fù)合材料板和梁結(jié)構(gòu)的剛度特性和變形特性的研究,已經(jīng)獲得了一些重要的進(jìn)展[1]。然而,將SMA埋入普通纖維復(fù)合材料軸,研究SMA馬氏體相變對復(fù)合材料軸的剛度特性和變形特性的影響,是一個(gè)全新的嘗試,迄今為止,國內(nèi)外相關(guān)研究的報(bào)道還很少見到[2-3]。

Sawhney和Jain[2]制備一個(gè)埋入SMA絲的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料軸并且對其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究。在理論研究方面, Baz和Chen[3]基于有限元數(shù)值方法分析了具有SMA絲的復(fù)合材料實(shí)心驅(qū)動(dòng)軸的靜力學(xué)和溫度效應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn),當(dāng)SMA絲發(fā)生溫度誘發(fā)馬氏體相變時(shí),軸的扭轉(zhuǎn)剛度可以得到明顯的提高。但是我們也注意到,在上述研究中,有關(guān)回復(fù)應(yīng)力等描述SMA絲特性的重要力學(xué)參數(shù)主要出自一些有限的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),此外,在力學(xué)建模過程中僅限于實(shí)心軸而不涉及空心復(fù)合材料軸的情形。

本文針對具有簡支邊界的復(fù)合材料薄壁軸,進(jìn)行靜力學(xué)建模與變形特性分析?；谧兎譂u進(jìn)法(Variational Asymptotic Method-VAM)[4]描述復(fù)合材料薄壁軸的截面特性。在建模過程中,基于文獻(xiàn)[4]位移和應(yīng)變的表達(dá)式,進(jìn)一步引入了剪切變形的影響?；谔摴υ硗茖?dǎo)出復(fù)合材料薄壁軸的偏微分靜平衡方程組。采用Galerkin法計(jì)算和分析了薄壁復(fù)合材料薄壁軸的變形特性。通過數(shù)值計(jì)算揭示了SMA絲的含量、初始應(yīng)變、溫度、鋪層角以及旋轉(zhuǎn)速度對復(fù)合材料軸等效抗彎剛度的和靜變形特性的影響。

1 靜力平衡方程的建立

長度為L埋入SMA纖維的復(fù)合材料薄壁軸如圖1所示。為了對其進(jìn)行力學(xué)分析與建模,采用慣性坐標(biāo)系(x,y,z)和局部坐標(biāo)系(x,s,ξ),假定環(huán)向坐標(biāo)s正方向?yàn)楸”谳S中面切線逆時(shí)針方向,徑向坐標(biāo)ξ正方向?yàn)楸”谳S中面法線方向。

圖1 圓截面復(fù)合材料薄壁軸Fig.1 Composite thin-walled shaft of a circular cross section

將文獻(xiàn)[4]的建模思想做進(jìn)一步擴(kuò)展,在計(jì)入橫向剪切變形的情況下,假定薄壁軸橫截面任意一點(diǎn)沿著x,y,z方向的位移,取如下形式

u1(x,y,z)=U1(x)-y(s)θy(x)-z(s)θz(x)+g(s,x)

u2(x,y,z)=U2(x)-zφ(x)

u3(x,y,z)=U3(x)+yφ(x)

(1)

式中,U1(x),U2(x),U3(x)分別為橫截面沿x,y,z軸剛體位移;φ(x),θy(x),θz(x)分別為橫截面繞x,y和z軸的扭轉(zhuǎn)角。注意方程(1)中的y,z表示橫截面中心圍線上的點(diǎn)的坐標(biāo),是環(huán)向坐標(biāo)s的函數(shù)。

假定薄壁軸的翹曲函數(shù)g(s,x)具有如下形式:

(2)

方程(2)右端表達(dá)式中的四項(xiàng)分別表示扭轉(zhuǎn)、拉伸、繞z和y軸彎曲的翹曲分量,其中,G(s)表示扭轉(zhuǎn)率,g1(s)表示軸向應(yīng)變,g2(s)和g3(s)分別表示沿y,z軸的彎曲曲率。

在方程(1)、(2)中,θy(x),θz(x)可以表示為:

(3)

按照文獻(xiàn)[4],根據(jù)位移方程(1)和(2)能夠得到橫截面正應(yīng)變γxx和面內(nèi)剪應(yīng)變γxs,進(jìn)一步按照文獻(xiàn)[5],將橫向剪應(yīng)變γxξ的形式進(jìn)行修改,可以寫出考慮橫向剪切的薄壁軸的幾何方程:

2γxξ=

(4)

定義薄殼力:

(5)

薄殼力和應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系:

Nxξ=D(s)γxξ,

(6)

其中

(7)

復(fù)合材料傳動(dòng)軸的靜力平衡方程利用變分原理導(dǎo)出:

δU+δw=0

(8)

其中,δU和δw分別為應(yīng)變能的變分和虛功。應(yīng)變能U分別由兩部分組成,其中,由于復(fù)合材料軸變形產(chǎn)生的應(yīng)變能:

(9)

其中,σxx,σxs,σxξ分別表示橫截面正應(yīng)力、面內(nèi)剪應(yīng)力和橫向剪應(yīng)力,εxx,εxs,εxξ是相應(yīng)的工程應(yīng)變。

另一方面,由于SMA絲回復(fù)力NSMA和溫度力NΔT產(chǎn)生的應(yīng)變能[3]:

(10)

于是,總應(yīng)變能表示為:

U=U1+U2

(11)

虛功δw包括外載荷的虛功和旋轉(zhuǎn)慣性力的虛功,其中外載荷的虛功:

(12)

其中,qx,qy,qz分別表示沿x,y,z方向的分布力;mx,mz,my分別表示關(guān)于x,y,z軸的分布力偶矩。

慣性力的虛功為:

(13)

所以,虛功表示如下:

δw=δwexternal+δwinertial

(14)

變形應(yīng)變能的變分為:

(15)

其中:

(16)

將式(6)代入式(16),并且利用幾何方程(4),可得:

(17)

其中,kij(i,j=1,…,6)是復(fù)合材料薄壁軸橫截面的剛度系數(shù),表達(dá)式如下:

(18)

通過將表達(dá)式(18)與文獻(xiàn)[4]進(jìn)行對比,發(fā)現(xiàn)36個(gè)剛度系數(shù)kij(i,j=1,…,6)中,只有16個(gè)剛度系數(shù)kij(i,j=1,2,…,4)與文獻(xiàn)[4]不考慮剪切變形復(fù)合材料薄壁軸的剛度系數(shù)一致,剩下的20個(gè)剛度系數(shù)kij,(i=1,2,…,6;j=5,6),kji(i=1,2,…,4;j=5,6)是由于考慮剪切變形而新增加。

將δU和δw代入變分原理(8),在周向均勻剛度配置(Circumferentially Uniform Stiffness-CUS)下, 導(dǎo)出彎-剪耦合靜力方程如下:

(19)

式中,qy=qy0Δ(x-xl),qz=qz0Δ(x-xl)分別是已知的沿y、z軸橫向剪力;my=my0Δ(x-xl),mz=mz0Δ(x-xl)分別是已知的繞y、z軸的彎矩。Δ(x-xl)代表狄拉克函數(shù),xl表示力(力矩)作用點(diǎn)的位置。

2 方程求解

假定彎曲位移U2(x),U3(x)和轉(zhuǎn)角θy(x),θz(x)具有下列形式:

(20)

其中,取滿足兩端簡支軸位移邊界條件的近似函數(shù)為:

(21)

U2j,U3j,Θyj,Θzj是待定系數(shù)。

將式(20)代入方程組式(19),采用Galerkin法,得:

[KΩ+K1]{X}={F}

(22)

其中:

(23)

(24)

{F}T=(AiBiCiDi)

(25)

(26)

在此,廣義位移XT定義為

XT={U2j,U3j,Θyj,Θzj}1×4N, (j=1,2…,N)

(27)

在式(19)和式(22)中,NSMA和NΔT表示SMA絲產(chǎn)生的沿軸線方向的受限回復(fù)應(yīng)力的合力以及軸向溫度載荷,分別計(jì)算如下:

(zk-zk-1)ΔT]

(28)

3 數(shù)值結(jié)果與討論

針對含SMA絲的石墨/環(huán)氧型復(fù)合材料軸,進(jìn)行變形特性分析,其幾何尺寸為:截面半徑r=0.127 m,長度L=2.023 m,厚度h=0.381 mm,鋪層方式為[θ,-θ,θ,-θ,θ,-θ]。復(fù)合材料的性能參數(shù)如表1所示,SMA的材料參數(shù)如表2所示。軸的跨中受到沿z軸方向的集中載荷qz0=2 000 N的作用。

表1 復(fù)合材料性能參數(shù)Tab.1 Mechanical properties of composite material

表2 SMA的材料參數(shù)Tab.2 Material properties of SMA wires[9]

通過對復(fù)合材料軸在旋轉(zhuǎn)時(shí)的變形特性分析,可以獲得SMA絲的含量和初始應(yīng)變、纖維鋪設(shè)角和轉(zhuǎn)速等參數(shù)對等效抗彎剛度和變形的影響規(guī)律。圖2和圖3表示復(fù)合材料軸跨中的等效剛度隨鋪層角的變化曲線,同時(shí)也給出了SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的影響。復(fù)合材料軸跨中的等效抗彎剛度基于該點(diǎn)鉛垂集中載荷與鉛垂位移之比來計(jì)算。結(jié)果表明,復(fù)合材料軸的等效抗彎剛度隨著SMA含量以及初始應(yīng)變的增加而增加。此外,從圖中還可以看出,當(dāng)鋪層角在15°附近時(shí)的等效抗彎剛度取得最大值。

圖4和5表示溫度的改變對復(fù)合材料軸跨中的等效抗彎剛度的影響,其中也分別展示出SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的影響。溫度變化從0 ℃上升到100 ℃(M→A),然后在從100 ℃下降到0 ℃(A→M).從圖4和5中可以看出,復(fù)合材料軸跨中的等效抗彎剛度隨溫度的變化曲線是典型的遲滯迴線。在一個(gè)熱循環(huán)周期內(nèi),等效抗彎剛度隨溫度的變化可以分為兩個(gè)階段:增加階段和減少階段;在馬氏體向奧氏體相變的過程中,等效抗彎剛度隨著溫度的增加而增加,而從奧氏體向馬氏體相變的過程,等效抗彎剛度隨著溫度的減小而下降;從圖4可以發(fā)現(xiàn),隨著SMA絲含量的增加,等效抗彎剛度也隨之提高,遲滯迴線向上發(fā)生整體遷移;從圖5可以看出,與SMA絲含量的影響不同,在升、降溫階段的某些溫度區(qū)間,不同初始應(yīng)變下的遲滯迴線會(huì)相互重疊在一起。

(T=50℃,ε0=0.067)圖2 不同SMA含量的等效抗彎剛度隨鋪層角的變化曲線Fig.2TheequivalentbendingstiffnessversusplyanglefordifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,T=50℃)圖3 不同初始應(yīng)變的等效抗彎剛度隨鋪層角的變化曲線Fig.3TheequivalentbendingstiffnessversusplyanglefordifferentSMAfiberinitialstrain(θ=30°,ε0=0.067)圖4 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的等效抗彎剛度隨溫度的變化曲線Fig.4TheequivalentbendingstiffnessversustemperaturefordifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,θ=30°)圖5 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的等效抗彎剛度隨溫度的變化曲線Fig.5TheequivalentbendingstiffnessversustemperaturefordifferentSMAfiberinitialstrain

圖6和7表示復(fù)合材料軸跨中的鉛垂集中載荷作用下的撓度曲線,其中給也出了SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的影響。由圖6可見,增加SMA絲的含量可以明顯提高復(fù)合材料軸抗彎剛度,從而減少軸的彎曲變形;而SMA絲的初始應(yīng)變似乎對軸的彎曲變形沒有明顯的影響。

圖8表示轉(zhuǎn)速對復(fù)合材料軸的彎曲靜變形的影響。結(jié)果表明,轉(zhuǎn)速對軸的影響主要體現(xiàn)在軟化效應(yīng),即,復(fù)合材料軸抗彎剛度隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小,所以,導(dǎo)致相應(yīng)的彎曲變形隨著轉(zhuǎn)速的增加而增加。

圖9表示具有不同纖維鋪設(shè)角的復(fù)合材料軸的彎曲變形曲線。結(jié)果表明,適當(dāng)選擇纖維鋪設(shè)角,有助于降低復(fù)合材料軸的彎曲變形。

(T=50℃,ε0=0.067,Ω=1000rpm,θ=30°)圖6 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移曲線Fig.6TheverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,T=50℃,Ω=1000rpm,θ=30°)圖7 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移曲線Fig.7TheverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentSMAfiberinitialstrain(T=50℃,Vs=0.36,θ=300,ε0=0.067)圖8 不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移變化曲線Fig.8Theverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentspinspeed(Vs=0.36,T=50℃,ε0=0.067,Ω=1000rpm)圖9 不同鋪層角的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面鉛垂位移變化曲線Fig.9Theverticaldisplacementofcrosssectionfordifferentplyangle

圖10和11分別表示具有不同的SMA絲的含量以及初始應(yīng)變的復(fù)合材料軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角曲線。有此可見,SMA絲的含量以及初始應(yīng)變對復(fù)合材料軸的橫截面轉(zhuǎn)角沒有明顯的影響。這可能是由于SMA絲沿著復(fù)合材料軸的軸向單向鋪設(shè)所造成的。

圖12和13分別表示轉(zhuǎn)速和鋪層角對復(fù)合材料軸的橫截面轉(zhuǎn)角曲線的影響,由此可以看到,轉(zhuǎn)速和鋪設(shè)角對復(fù)合材料軸的橫截面轉(zhuǎn)角的影響,類似于它們對彎曲變形的影響(見圖8和9)。

圖14-17表示復(fù)合材料軸跨中的鉛垂位移-溫度變化曲線,其中分別展示了SMA絲含量、初始應(yīng)變、轉(zhuǎn)速和纖維鋪設(shè)角的影響。由于彎曲變形與抗彎剛度成反比,所以,圖14-17中所有的位移-溫度遲滯迴線的方位與圖3和4的剛度-溫度遲滯迴線的方位剛好相反。由圖14和15可以看到,SMA絲含量和初始應(yīng)變對位移-溫度遲滯迴線的影響與它們對剛度-溫度遲滯迴線的影響是相似的。圖16和17表明,轉(zhuǎn)速和纖維鋪設(shè)角能夠明顯地改變位移-溫度遲滯迴線的大小,這也就意味著上述參數(shù)對復(fù)合材料軸的彎曲變形隨溫度的變化程度的大小有顯著的影響。

(T=50℃,ε0=0.067,Ω=1000rpm,θ=30°)圖10 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.10Rotationsangleofcrosssectionabouty-axiswithdifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,T=50℃,Ω=1000rpm,θ=30°)圖11 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.11Rotationsanglecrosssectionaroundy-axiswithdifferentSMAfiberinitialstrain(T=50℃,Vs=0.36,θ=300,ε0=0.067)圖12 不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.12Rotationsangleofcrosssectionaroundyaxiswithdifferentspinspeed(Vs=0.36,ε0=0.067,Ω=1000rpm)圖13 不同鋪層角的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸的橫截面繞y軸轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.13Rotationsangleofcrosssectionaroundyaxiswithdifferentplyangle(ε0=0.067,Ω=1000rpm,θ=30°)圖14 不同SMA含量的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線Fig.14Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentSMAfibercontents(Vs=0.36,Ω=1000rpm,θ=30°)圖15 不同初始應(yīng)變的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線Fig.15Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentSMAfiberinitialstrain

為提高計(jì)算精度,同時(shí)驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果隨式(20)截取項(xiàng)數(shù)N增加的收斂性,在位移表達(dá)式(20)中,取不同項(xiàng)數(shù)計(jì)算復(fù)合材料軸跨中鉛垂位移并進(jìn)行比較,結(jié)果如表3所示。由表3可知,隨著項(xiàng)數(shù)N的增大,鉛垂位移趨于一個(gè)固定值,說明本文提出的模型與算法具有收斂性。

(Vs=0.36,θ=300,ε0=0.067)圖16 不同轉(zhuǎn)速的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線Fig.16Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentspinspeed(Vs=0.36,ε0=0.067,Ω=1000rpm)圖17 不同鋪層角的旋轉(zhuǎn)復(fù)合材料薄壁軸跨中鉛垂位移隨溫度變化曲線Fig.17Theverticaldisplacementofthemiddleofshaftvs.temperaturewithdifferentplyangle

表3 Galerkin法的收斂性(軸跨中鉛垂位移隨N變化趨勢)Tab.3 Convergence of Galerkin method (variation of vertical displacement of the middle of shaft with N).

4 結(jié)論

研究了一個(gè)埋入SMA絲的復(fù)合材料軸的剛度和靜變形特性?；趶?fù)合材料薄壁梁理論、Brinson熱力學(xué)本構(gòu)方程和變分原理建立軸的靜力平衡方程,采用Galerkin法進(jìn)行模型離散化和近似求解。分析結(jié)果表明:

(1)利用SMA絲的馬氏體相變驅(qū)動(dòng)作用可以顯著改善軸的等效抗彎剛度特性和靜變形特性;

(2)溫度的變化對軸的靜力學(xué)特性有重要的影響,在一個(gè)熱循環(huán)周期內(nèi),由于馬氏體向奧氏體相變(M→A)以及逆相變(A→M)的發(fā)生,等效等效抗彎剛度以及橫向彎曲變形隨溫度的變化曲線是典型的遲滯迴線;

(3)SMA絲含量和初始應(yīng)變的增加,可以提高軸的等效抗彎剛度,減小彎曲變形;另一方面,纖維鋪設(shè)角和轉(zhuǎn)速可以明顯改變位移-溫度遲滯迴線的大小,例如,當(dāng)鋪層角在15°附近時(shí)的等效抗彎剛度可以取得最大值,而復(fù)合材料軸抗彎剛度隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小,說明這些參數(shù)能夠?qū)?fù)合材料軸的變形隨溫度變化程度有顯著的調(diào)節(jié)作用。本文的分析結(jié)果對于埋入SMA絲的復(fù)合材料傳動(dòng)軸的剛度和變形特性的提供了一定的理論依據(jù)和參考價(jià)值。