左曙光,劉明田,胡勝龍

(同濟(jì)大學(xué)新能源汽車工程中心,201804,上海)

開關(guān)磁阻電機(jī)與其他電機(jī)相比,具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)永磁體、調(diào)速范圍寬、成本低等優(yōu)點(diǎn),可作為電動(dòng)汽車驅(qū)動(dòng)電機(jī)的備選方案[1]。然而,轉(zhuǎn)矩波動(dòng)是影響其應(yīng)用的主要問(wèn)題之一。目前,一般從兩個(gè)方面來(lái)解決轉(zhuǎn)矩波動(dòng)問(wèn)題:一是對(duì)電機(jī)的本體結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化,包括從定子和轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)等方面進(jìn)行優(yōu)化[2-4];二是使用現(xiàn)代控制理論進(jìn)行控制,如轉(zhuǎn)矩分配函數(shù)控制[5]、轉(zhuǎn)矩預(yù)測(cè)控制[6]、滑模控制[7]等。然而,由于開關(guān)磁阻電機(jī)運(yùn)行時(shí)大都處于鐵芯磁飽和狀態(tài),具有很強(qiáng)的非線性,很難通過(guò)建模的方法來(lái)對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)的性能進(jìn)行分析,因此對(duì)電機(jī)結(jié)構(gòu)方面的優(yōu)化需要通過(guò)大量的有限元仿真來(lái)實(shí)現(xiàn),但這將花費(fèi)大量的時(shí)間。所以,建立用于快速評(píng)價(jià)電機(jī)特性的開關(guān)磁阻電機(jī)數(shù)學(xué)模型尤為重要。

目前,關(guān)于開關(guān)磁阻電機(jī)電感與轉(zhuǎn)矩建模方面的研究較多,具體包括:司利云等分別利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和最小二乘支持向量機(jī)等機(jī)器學(xué)習(xí)算法對(duì)磁鏈曲線族數(shù)據(jù)進(jìn)行學(xué)習(xí),建立了電機(jī)模型[8-9];Mikail等預(yù)先建立了磁鏈-電流-轉(zhuǎn)子位置表,然后使用查表法建立了開關(guān)磁阻電機(jī)模型[10];Nirgude等利用函數(shù)解析法即通過(guò)對(duì)電感族數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合建立了電機(jī)模型[11];Djelloul-Khedda等從磁場(chǎng)的角度對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)進(jìn)行解析計(jì)算,并建立了電機(jī)模型[12]。由此可見,目前對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)建模時(shí)大都需要磁鏈曲線族作為建?；A(chǔ),而以上研究中這些數(shù)據(jù)都是通過(guò)進(jìn)行大量的有限元仿真或者實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得的。

在關(guān)于電感/磁鏈的解析計(jì)算方面,主要存在半解析和全解析兩種方法。在半解析的方法中,丁文等對(duì)5個(gè)特殊位置的磁鏈數(shù)據(jù)值利用傅里葉級(jí)數(shù)分解和反正切函數(shù)擬合建立了電感模型[13],Chen等對(duì)傳統(tǒng)的磁鏈擬合模型進(jìn)行了修正,建立了快速磁鏈模型[14],但以上被擬合的磁鏈數(shù)據(jù)仍需要有限元仿真或?qū)嶒?yàn)獲得。在全解析的方法中,Radun僅對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)定子和轉(zhuǎn)子非對(duì)齊位置處的電感進(jìn)行了解析計(jì)算[15],Mao等通過(guò)對(duì)定子和轉(zhuǎn)子的對(duì)齊和非對(duì)齊這兩個(gè)特殊位置的電感進(jìn)行解析計(jì)算,而對(duì)中間位置處的電感用直線或者直線進(jìn)行修正來(lái)近似表征電感的變化趨勢(shì)[16-17],但以上方法僅對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)特殊位置處的電感進(jìn)行解析計(jì)算,且精度較差,而且僅適用于施加恒定電流的工況,不能滿足實(shí)際情況中的分析需求。目前,能同時(shí)對(duì)特殊位置和非特殊位置下電感進(jìn)行準(zhǔn)確解析的研究較少,且對(duì)鐵芯磁飽和的處理大都需要借助有限元仿真的結(jié)果,具體包括:鄧智全等在對(duì)無(wú)軸承開關(guān)磁阻電機(jī)氣隙磁導(dǎo)推導(dǎo)的基礎(chǔ)上,同時(shí)對(duì)特殊位置和非特殊位置下的電感進(jìn)行了解析計(jì)算,但磁路中忽略了鐵芯磁飽和的影響,精度較差[18];Yu等引入鐵芯磁飽和導(dǎo)致的磁導(dǎo)率降落量,對(duì)考慮鐵芯磁飽和影響下的磁鏈進(jìn)行了解析計(jì)算,但磁導(dǎo)率降落量需要借助有限元仿真來(lái)獲得[19];Yavuz等使用磁通管法得到了電感的解析結(jié)果,但由于是將磁路集中等效,不僅需要對(duì)8個(gè)氣隙位置處的磁導(dǎo)計(jì)算分別進(jìn)行復(fù)雜的定義,而且需要額外通過(guò)計(jì)算或迭代確定鐵芯中各部分磁路的面積[20-21]。

從上述文獻(xiàn)可知,作為開關(guān)磁阻電機(jī)建模基礎(chǔ)的磁鏈曲線族目前主要通過(guò)有限元仿真或?qū)嶒?yàn)方法獲得,這將花費(fèi)大量的時(shí)間,不利于對(duì)電機(jī)的性能進(jìn)行研究和優(yōu)化。在電感的解析方面:半解析的方法仍需要借助有限元仿真的結(jié)果;全解析的方法分為兩類,第一類是僅對(duì)特殊位置處的電感進(jìn)行解析,這顯然無(wú)法滿足實(shí)際分析的需求,第二類是對(duì)全位置進(jìn)行電感解析計(jì)算,但卻基本都需要借助有限元仿真來(lái)考慮鐵芯磁飽和帶來(lái)的影響,且大都對(duì)磁路進(jìn)行等效集中劃分,對(duì)鐵芯磁飽和局部性的處理效果不佳。由此可見,對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)電感的解析計(jì)算相較于傳統(tǒng)的永磁電機(jī)更為困難,非線性更嚴(yán)重,這主要是由于開關(guān)磁阻電機(jī)特有的雙凸極結(jié)構(gòu)和運(yùn)行時(shí)存在的更嚴(yán)重的局部鐵芯磁飽和導(dǎo)致的。

針對(duì)上述問(wèn)題,本文針對(duì)一款6/4極開關(guān)磁阻電機(jī),采用分布式等效磁路的方法,并考慮鐵芯磁飽和的影響,建立了較為準(zhǔn)確的非線性動(dòng)態(tài)電感解析模型,通過(guò)該模型能快速獲得磁鏈曲線族,并在此基礎(chǔ)上利用能量法建立了轉(zhuǎn)矩的解析模型,與有限元仿真的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。

1 電機(jī)主要參數(shù)

開關(guān)磁阻電機(jī)的定子和轉(zhuǎn)子均為雙凸極結(jié)構(gòu),定子和轉(zhuǎn)子上均沒有永磁體,結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。定子僅有集中繞組,轉(zhuǎn)子沒有繞組,也沒有換向器和滑環(huán)等。根據(jù)定子和轉(zhuǎn)子的相對(duì)位置,采用角度位置與電流斬波相結(jié)合的控制方式來(lái)開通和關(guān)斷定子的相電流,從而產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)矩。本文采用的開關(guān)磁阻電機(jī)的主要參數(shù)如表1所示。

2 非線性電感解析計(jì)算及有限元驗(yàn)證

2.1 非線性電感解析模型

對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)而言,互感可以忽略[22],因此開關(guān)磁阻電機(jī)的電感可以用自感表示,解析模型為

表1 開關(guān)磁阻電機(jī)的主要參數(shù)

(1)

式中:L為電感;Ψ為磁鏈;R為磁路的磁阻;Λ為磁導(dǎo)。

由式(1)可知,磁導(dǎo)Λ是計(jì)算開關(guān)磁阻電機(jī)電感的關(guān)鍵。為準(zhǔn)確計(jì)算磁導(dǎo)Λ,運(yùn)用分布式等效磁路原理,將電機(jī)的磁路沿周向均勻劃分成N0份,如圖1所示。

圖1 磁場(chǎng)磁路劃分

與電路電阻的并聯(lián)原理類似,可求得該相的等效磁導(dǎo)為

(2)

式中:m、k分別為電感計(jì)算的上界和下界所對(duì)應(yīng)磁路的編號(hào);Λn為第n條磁路的磁導(dǎo),公式為

(3)

其中,Riron,n為第n條磁路鐵芯的磁阻,Rair,n為第n條磁路氣隙的磁阻,gn為第n條磁路的氣隙長(zhǎng)度,μ0為真空磁導(dǎo)率,Sn為第n條磁路的截面積,ln為第n條磁路的等效鐵芯長(zhǎng)度,μiron,n為第n條磁路的鐵芯磁導(dǎo)率。

由于電機(jī)的磁路沿周向均勻劃分為N0份,故Sn可用公式表示為

Sn=2πRslz/N0

(4)

從式(1)～(4)可知,只要確定了電感的計(jì)算范圍(式(2)中的k、m)以及每條磁路中的未知參量(式(3)中的gn、μiron,n、ln),即可得到開關(guān)磁阻電機(jī)的電感。

2.1.1 電感的計(jì)算原則 電感計(jì)算范圍的確定本質(zhì)上是要確定式(2)中k和m的值,根據(jù)開關(guān)磁阻電機(jī)的結(jié)構(gòu)以及運(yùn)行過(guò)程中磁力線分布的特點(diǎn),按照以下原則來(lái)計(jì)算電感。

(1)在定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之前,磁力線的分布比較分散,所以電感L由定子極兩邊距離分別在θs/2范圍內(nèi)的磁場(chǎng)決定,此時(shí)電感取決于該范圍內(nèi)每條磁路的計(jì)算結(jié)果,即電感計(jì)算的上下界m、k的取值為定值,如圖2所示。

圖2 定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之前的電感計(jì)算區(qū)域

(2)在定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之后,磁力線集中分布在定子和轉(zhuǎn)子的齒極所對(duì)應(yīng)的區(qū)域,故電感L由定子和轉(zhuǎn)子的齒極對(duì)應(yīng)區(qū)域的磁場(chǎng)決定,此時(shí)電感值取決于該范圍內(nèi)每條磁路的計(jì)算結(jié)果,即電感計(jì)算的上界m的取值為定值,而下界k的取值隨著轉(zhuǎn)子位置發(fā)生變化,如圖3所示。

圖3 定子和轉(zhuǎn)子的齒極重疊之后的電感計(jì)算區(qū)域

2.1.2 等效氣隙長(zhǎng)度 為確定每條磁路中的等效氣隙長(zhǎng)度gn,運(yùn)用磁通管法對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)磁場(chǎng)的等效氣隙長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算。若將電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)劃分成定子區(qū)域、轉(zhuǎn)子區(qū)域以及中間區(qū)域,則電機(jī)磁場(chǎng)在圓周上的等效氣隙長(zhǎng)度g(θ,t)可表示為

g(θ,t)=g0+g1(θ)+g2(θ,t)

(5)

式中:g0為電機(jī)中間部分的氣隙長(zhǎng)度;g1(θ)為定子的等效氣隙長(zhǎng)度;g2(θ,t)為轉(zhuǎn)子的等效氣隙長(zhǎng)度;θ為電機(jī)圓周的空間角度;t為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過(guò)的時(shí)間。第n條磁路的氣隙長(zhǎng)度gn為

gn=g(θn,t)

(6)

其中θn為第n條磁路對(duì)應(yīng)的空間角度。

由于電機(jī)中間部分的氣隙長(zhǎng)度g0為定值,取為4×10-4m,所以下面針對(duì)定子與轉(zhuǎn)子的等效氣隙長(zhǎng)度分別進(jìn)行討論。

(1)定子的等效氣隙長(zhǎng)度g1(θ)。圖4是定子和轉(zhuǎn)子的等效氣隙,可以發(fā)現(xiàn),在定子齒頂處的等效氣隙長(zhǎng)度為零,而齒側(cè)部分的等效氣隙長(zhǎng)度是與圓周空間角度有關(guān)的同心圓弧長(zhǎng),圖4中的L1和L2分別表示定子和轉(zhuǎn)子部分同心圓的半徑。孫劍波等指出,在磁通管法中使用直線及圓弧代替實(shí)際的磁力線會(huì)引入誤差,可以通過(guò)引入定子磁極兩側(cè)的傾角β1和轉(zhuǎn)子磁極兩側(cè)的傾角β2進(jìn)行修正[23]。所以,定子部分的等效氣隙長(zhǎng)度可以表示為

(7)

(8)

式中αsr為定子和轉(zhuǎn)子極軸線之間的夾角。

將定子的等效氣隙長(zhǎng)度進(jìn)行傅里葉分解,得到

(9)

(10)

圖4 定子和轉(zhuǎn)子的等效氣隙

(2)轉(zhuǎn)子的等效氣隙長(zhǎng)度g2(θ,t)。在不同時(shí)刻,轉(zhuǎn)子的等效氣隙長(zhǎng)度的空間分布不一致,可以表示為

(11)

(12)

對(duì)式(11)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分解可得

(13)

(14)

式中ω為電機(jī)的角速度。

2.1.3 等效鐵芯長(zhǎng)度 當(dāng)開關(guān)磁阻電機(jī)的鐵芯局部磁飽和程度較小時(shí),鐵芯的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于氣隙的磁導(dǎo)率。圖5是由鐵芯材料的磁化曲線獲得的鐵芯磁導(dǎo)率μiron與氣隙磁通密度B的關(guān)系曲線,可以看出:鐵芯磁導(dǎo)率在鐵芯磁飽和程度較小(即氣隙磁通密度B<1.2 T)時(shí)取值為0.004～0.009 H/m,約為真空磁導(dǎo)率(1.26×10-6H/m)的3 200～7 100倍,相較于氣隙的磁阻該部分鐵芯磁阻可以忽略;當(dāng)鐵芯局部磁飽和程度較高時(shí),氣隙磁通密度可達(dá)2.5 T,此時(shí)鐵芯的磁導(dǎo)率為1×10-5H/m,僅為氣隙磁導(dǎo)率的8倍,故該部分鐵芯磁阻不能忽略。所以,鐵芯的磁阻可簡(jiǎn)化為僅考慮鐵芯局部磁飽和部分影響的等效鐵芯磁阻。

圖5 鐵芯磁導(dǎo)率μiron與氣隙磁通密度B的關(guān)系

為確定每條磁路中的等效鐵芯長(zhǎng)度ln,繪制了開關(guān)磁阻電機(jī)的氣隙磁通密度云圖,如圖6所示,γ為定子和轉(zhuǎn)子的齒極重合角,可以發(fā)現(xiàn):當(dāng)0≤γ<2βs/3時(shí),定子和轉(zhuǎn)子的齒極中鐵芯磁飽和區(qū)域的徑向長(zhǎng)度基本保持不變,如圖6a所示;當(dāng)2βs/3≤γ<βr時(shí),鐵芯磁飽和區(qū)域顯著變大,如圖6b所示;當(dāng)βr≤γ<βs時(shí),定子和轉(zhuǎn)子的齒極中鐵芯磁飽和區(qū)域的徑向長(zhǎng)度又基本保持不變,如圖6c所示。根據(jù)上述開關(guān)磁阻電機(jī)運(yùn)行過(guò)程中鐵芯磁飽和區(qū)域的變化規(guī)律,可以將等效鐵芯長(zhǎng)度ln做如下定義:當(dāng)0≤γ<2βs/3時(shí),等效鐵芯長(zhǎng)度為定子和轉(zhuǎn)子齒高之和的1/2;當(dāng)2βs/3≤γ<βr時(shí),等效鐵芯長(zhǎng)度隨定子和轉(zhuǎn)子的齒極重合角線性變化;當(dāng)βr≤γ<βs時(shí),等效鐵芯長(zhǎng)度為定子和轉(zhuǎn)子的齒高之和。等效鐵芯長(zhǎng)度ln的數(shù)學(xué)公式為

(15)

(a)0<γ<2βs/3 (b)2βs/3<γ<βr (c)βr<γ<βs 圖6 鐵芯磁飽和區(qū)域的氣隙磁通密度變化云圖

2.1.4 鐵芯磁導(dǎo)率 為確定每條磁路中的鐵芯磁導(dǎo)率μiron,n,從氣隙磁通密度B的角度來(lái)分析鐵芯磁導(dǎo)率。定子和轉(zhuǎn)子的鐵芯磁導(dǎo)率可以表示為

(16)

式中:Fn為第n條磁路中勵(lì)磁繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì);Bn為第n條磁路中的氣隙磁通密度。

勵(lì)磁繞組的磁動(dòng)勢(shì)F在空間圓周上的分布可以表示為

(17)

所以,第n條磁路中勵(lì)磁繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)Fn為

Fn=F(θn)

(18)

對(duì)空間分布的磁動(dòng)勢(shì)F(θ)進(jìn)行傅里葉分解得到

(19)

(20)

(21)

圖7 求解μiron的迭代計(jì)算模型

在式(16)中,第n條磁路中的氣隙磁通密度Bn和鐵芯磁導(dǎo)率μiron,n均為未知量,因此直接運(yùn)用式(16)無(wú)法獲得準(zhǔn)確的μiron,n。但是,鐵芯磁導(dǎo)率μiron與氣隙磁通密度B密切相關(guān),其關(guān)系曲線由圖5可知。所以,為得到滿足鐵芯磁導(dǎo)率變化曲線的μiron,n,構(gòu)建了迭代計(jì)算模型,如圖7所示,圖中:Fn為由式(17)和式(18)計(jì)算得到的第n條磁路中勵(lì)磁繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì),是從電流的角度分析得到的磁動(dòng)勢(shì);Fc,n為磁通量和考慮鐵芯磁導(dǎo)率的磁阻相乘得到的第n條磁路中的磁動(dòng)勢(shì),是從磁場(chǎng)的角度得到的磁動(dòng)勢(shì)。

根據(jù)上述方法可求得計(jì)算電感所需的各未知參量gn、μiron,n、ln,將式(2)～(6)與式(15)(16)代入式(1),即可得到電感的解析模型為

(22)

2.2 非線性電感有限元仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證非線性電感解析模型的準(zhǔn)確性,根據(jù)表1所示的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立了一個(gè)6/4極開關(guān)磁阻電機(jī)的電磁計(jì)算仿真模型,如圖8所示。鐵芯和繞組材料參數(shù)的設(shè)置與實(shí)際材料一致,轉(zhuǎn)速設(shè)置為額定轉(zhuǎn)速4 000 r/min,氣隙網(wǎng)格設(shè)置為滑移網(wǎng)格,仿真步長(zhǎng)設(shè)置為5×10-6s,采用與實(shí)際情況一致的280 V直流電壓源供電。

圖8 6/4極開關(guān)磁阻電機(jī)有限元仿真模型

圖9為實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中開關(guān)磁阻電機(jī)在機(jī)械角度位置控制下的電感解析計(jì)算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果,解析計(jì)算過(guò)程中N0取值為512,可以看出,解析計(jì)算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果一致,誤差保持在9%以內(nèi)。與僅對(duì)特殊位置處電感進(jìn)行解析的方法相比,本文方法不僅適用于施加恒定電流的工況,而且能滿足電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中分析的需求。

圖9 實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中的電感

(a)I=5 A

(b)I=10 A

(c)I=15 A

(d)I=20 A圖10 恒定電流下的電感

為了驗(yàn)證利用本文提出的電感解析模型快速得到的磁鏈曲線族的準(zhǔn)確性,在恒定電流分別為5 A、10 A、15 A、20 A的情況下,對(duì)定子和轉(zhuǎn)子極由非對(duì)齊位置轉(zhuǎn)動(dòng)到對(duì)齊位置時(shí)的電感進(jìn)行解析計(jì)算,并與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比,結(jié)果如圖10所示。由圖可以看出:二者總體吻合良好,接近對(duì)齊位置(即鐵芯磁飽和嚴(yán)重位置)處的誤差均在3%以下,其余位置處的誤差也在9%以內(nèi)。

3 轉(zhuǎn)矩解析計(jì)算及有限元仿真驗(yàn)證

使用能量法來(lái)計(jì)算開關(guān)磁阻電機(jī)的瞬時(shí)電磁轉(zhuǎn)矩Tek,公式[24]為

(23)

(24)

Ψ=Li

(25)

式中:Wc為磁共能;θe為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角;i為電流。

基于第2節(jié)所提的非線性電感解析模型,本文求解的磁鏈曲線族如圖11所示。

圖11 磁鏈曲線族的解析計(jì)算結(jié)果

(a)A相

(b)B相

(c)C相

(d)合成轉(zhuǎn)矩圖12 轉(zhuǎn)矩解析結(jié)果與有限元仿真結(jié)果

圖12為開關(guān)磁阻電機(jī)僅在機(jī)械角度位置控制下的電磁轉(zhuǎn)矩解析計(jì)算結(jié)果和有限元仿真結(jié)果,可以看出,二者吻合良好,峰值處誤差均在6%以內(nèi)。

4 結(jié) 論

本文首先建立了考慮電機(jī)參數(shù)的非線性電感解析模型,然后基于非線性電感解析模型求解得到了磁鏈曲線族,再運(yùn)用能量法對(duì)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩進(jìn)行了解析計(jì)算,最后通過(guò)解析結(jié)果與有限元結(jié)果的對(duì)比,驗(yàn)證了非線性電感解析模型和轉(zhuǎn)矩解析結(jié)果的準(zhǔn)確性。

本文所提的非線性電感解析模型考慮了鐵芯磁飽和的影響,能較為準(zhǔn)確地求解動(dòng)態(tài)電感的變化曲線,有利于進(jìn)一步開展對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)性能的研究。目前在針對(duì)開關(guān)磁阻電機(jī)控制策略的研究中,有相當(dāng)一部分需要大量的磁鏈曲線族數(shù)據(jù)[25]或者需要對(duì)轉(zhuǎn)矩進(jìn)行估計(jì)[26-28],而利用本文所提的電感解析模型能夠快速地得到磁鏈曲線族數(shù)據(jù),在此基礎(chǔ)上結(jié)合能量法也能快速地預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)矩,這都有利于開關(guān)磁阻電機(jī)的控制。相較于傳統(tǒng)的需要使用有限元仿真或者實(shí)驗(yàn)的方法,能夠節(jié)省大量時(shí)間。

此外,本文提出的電感解析模型由于采用分布式等效磁路的建模方法,不僅能包含電機(jī)參數(shù),而且與集中式的等效磁路相比還考慮了不均勻氣隙的影響,所以在通過(guò)對(duì)電機(jī)氣隙的不均勻化來(lái)提高開關(guān)磁阻電機(jī)性能的過(guò)程中仍可以使用[2]。