多參數(shù)C0-半群拓?fù)渑c弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)?/h1>
2019-07-11 06:18:30畢偉
畢 偉
(延安大學(xué)學(xué)術(shù)期刊中心，陜西延安716000)
近些年，算子半群的理論研究與應(yīng)用得到迅速發(fā)展。文獻(xiàn)[1-4]給出了雙參數(shù)C0-半群與雙參數(shù)C-半群的定義，并對它們的全微分、偏微分、穩(wěn)定性等進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5-7]給出了幾類雙參數(shù)半群拓?fù)涞亩x，并研究了它們的基本性質(zhì)。然而，與雙參數(shù)半群的理論相比較，多參數(shù)半群的理論研究不多，有許多問題有待研究。本文根據(jù)多參數(shù)C0-半群和連續(xù)線性泛函的概念，給出了多參數(shù)C0-半群拓?fù)渑c弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)涞亩x，并得到了它們的一些性質(zhì)，從而推廣了多參數(shù)C0-半群的理論。
1 預(yù)備知識
設(shè)(X,‖·‖)為Banach空間，(X,‖·‖)′為X的共軛空間，B(X)表示X上的有界線性算子全體。
定義1[8]設(shè)I∈B(X)為恒等算子，若(X,‖·‖)上的多參數(shù)算子族{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0?
B(X)滿足：
(1)T(0,…，0)=I；
(2)T(t1,t2,…,tn)T(s1,s2,…,sn)=
T[(t1,t2,…,tn)+(s1,s2,…,sn)]，
t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0；
引理1[9]設(shè)E是線性空間，A，B是E上的兩族擬范數(shù)，則由A確定的拓?fù)淙跤谟葿確定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對于每個(gè)q∈A，必存在p1,p2,…,pm∈B以及正數(shù)c1,c2,…,cm，使得對一切x∈E下式成立：
q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。
2 多參數(shù)C0-半群拓?fù)?/h2>
對?t1,t2,…,tn≥0，令Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖,x∈X，則利用多參數(shù)C0-半群的定義，對?x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有
(1)Pt(x)≥0；
(2)Pt(x+y)≤Pt(x)+Pt(y)；
(3)Pt(αx)=αPt(x),α≥0。
事實(shí)上，Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≥0；
Pt(x+y)=‖T(t1,t2,…,tn)(x+y)‖=
‖T(t1,t2,…,tn)x+T(t1,t2,…,tn)y‖≤
‖T(t1,t2,…,tn)x‖+‖T(t1,t2,…,tn)y‖=
Pt(x)+Pt(y)；
Pt(αx)=‖T(t1,t2,…,tn)(αx)‖=
‖αT(t1,t2,…,tn)x‖=
α‖T(t1,t2,…,tn)x‖=
αPt(x)。
即Pt(x)是X上的一個(gè)擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S={Pt:t1,t2,…,tn≥0}可以誘導(dǎo)出一個(gè)局部凸向量拓?fù)?，記為τ?/p>
定義2 由上述擬范數(shù)族S={Pt:t1,t2,…,tn}誘導(dǎo)的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為多參數(shù)C0-半群拓?fù)洌鄳?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X,τ)。
定理1X上的多參數(shù)C0-半群拓?fù)淙跤谟煞稊?shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?t1,t2,…,tn≥0及x∈X，有：
Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤
‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，
由上式并且根據(jù)引理1，得證。
定理2 設(shè){T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的多參數(shù)C0-半群，則{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0誘導(dǎo)的多參數(shù)C0-半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
證明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若對?t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以對?x≠0有：
從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps(x-y)=3d>0，令V={x:Ps(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即多參數(shù)C0-半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
定理3 設(shè)t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0且t1≥s1,t2≥s2,…,tn≥sn，則由擬范數(shù)Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)淙跤谟蓴M范數(shù)Ps(x)=‖T(s1,s2,…,sn)x‖誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?x∈X有：
Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖=
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)+
(s1,s2,…,sn)]x‖=
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]T(s1,s2,…,sn)x‖≤
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·
‖T(s1,s2,…,sn)x‖=
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·Ps(x)。
再根據(jù)引理1，定理得證。
3 弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)?/h2>
對?t1,t2,…,tn≥0及x′∈(X，‖·‖)′，令Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x],x∈X，則利用多參數(shù)C0-半群的定義，對?x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有
(1)Pt,x′(x)≥0；
(2)Pt,x′(x+y)≤Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；
(3)Pt,x′(αx)=αPt,x′(x),α≥0。
事實(shí)上，Pt,x′(x)=|x′[T(t1,t2,…,tn)x]≥0；
Pt,x′(x+y)=x′[T(t1,t2,…,tn)(x+y)]=
x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]≤
x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]=
Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；
Pt,x′(αx)=x′[T(t1,t2,…,tn)(αx)]=
αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=
αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=
αPt,x′(x)。
即Pt,x′(x)是X上的一個(gè)擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}可以誘導(dǎo)出一個(gè)局部凸向量拓?fù)洌洖棣?。
定義3 由上述擬范數(shù)族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}誘導(dǎo)的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X,τ*)。
定理4X上的弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)淙跤诙鄥?shù)C0-半群拓?fù)?，也弱于由范?shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?t1,t2,…,tn≥0，x′∈X′及x∈X，有：
Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x]≤
‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤
‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，
根據(jù)多參數(shù)C0-半群拓?fù)涞亩x以及引理1，得證。
定理5 設(shè){T(t1,t2,…,tn)}t1,t2…,tn≥0是非退化的多參數(shù)C0-半群且x′≠0，則{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0誘導(dǎo)的弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)洇?是分離的。
證明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若對?t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以對?x≠0有：
從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps,x′(x-y)=3d>0，令V={x:Ps,x′(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，得證。
定理6 設(shè)t1,t2,…,tn≥0，x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β為任意常數(shù)，則由擬范數(shù)族{Pt,x′(x):t1,t2,…,tn≥0}誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)淙跤谟蓴M范數(shù)族{Pt,x1′(x),Pt,x2′(x):t1,t2,…,tn≥0}誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?x∈X有：
Pt,x′(x)=
(αx1′+βx2′)[T(t1,t2,…,tn)x]=
αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+
βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]≤
αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+
βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]=
α·x1′[T(t1,t2,…,tn)x]+
β·x2′[T(t1,t2,…,tn)x]=
αPt,x1′(x)+β|Pt,x2′(x)。
再根據(jù)引理1，定理得證。
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畢 偉
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1 預(yù)備知識
設(shè)(X,‖·‖)為Banach空間，(X,‖·‖)′為X的共軛空間，B(X)表示X上的有界線性算子全體。
定義1[8]設(shè)I∈B(X)為恒等算子，若(X,‖·‖)上的多參數(shù)算子族{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0?
B(X)滿足：
(1)T(0,…，0)=I；
(2)T(t1,t2,…,tn)T(s1,s2,…,sn)=
T[(t1,t2,…,tn)+(s1,s2,…,sn)]，
t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0；
引理1[9]設(shè)E是線性空間，A，B是E上的兩族擬范數(shù)，則由A確定的拓?fù)淙跤谟葿確定的拓?fù)涞某湟獥l件是：對于每個(gè)q∈A，必存在p1,p2,…,pm∈B以及正數(shù)c1,c2,…,cm，使得對一切x∈E下式成立：
q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。
2 多參數(shù)C0-半群拓?fù)?/h2>
對?t1,t2,…,tn≥0，令Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖,x∈X，則利用多參數(shù)C0-半群的定義，對?x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有
(1)Pt(x)≥0；
(2)Pt(x+y)≤Pt(x)+Pt(y)；
(3)Pt(αx)=αPt(x),α≥0。
事實(shí)上，Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≥0；
Pt(x+y)=‖T(t1,t2,…,tn)(x+y)‖=
‖T(t1,t2,…,tn)x+T(t1,t2,…,tn)y‖≤
‖T(t1,t2,…,tn)x‖+‖T(t1,t2,…,tn)y‖=
Pt(x)+Pt(y)；
Pt(αx)=‖T(t1,t2,…,tn)(αx)‖=
‖αT(t1,t2,…,tn)x‖=
α‖T(t1,t2,…,tn)x‖=
αPt(x)。
即Pt(x)是X上的一個(gè)擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S={Pt:t1,t2,…,tn≥0}可以誘導(dǎo)出一個(gè)局部凸向量拓?fù)?，記為τ?/p>
定義2 由上述擬范數(shù)族S={Pt:t1,t2,…,tn}誘導(dǎo)的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為多參數(shù)C0-半群拓?fù)洌鄳?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X,τ)。
定理1X上的多參數(shù)C0-半群拓?fù)淙跤谟煞稊?shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?t1,t2,…,tn≥0及x∈X，有：
Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤
‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，
由上式并且根據(jù)引理1，得證。
定理2 設(shè){T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的多參數(shù)C0-半群，則{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0誘導(dǎo)的多參數(shù)C0-半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
證明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若對?t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以對?x≠0有：
從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps(x-y)=3d>0，令V={x:Ps(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，即多參數(shù)C0-半群拓?fù)洇邮欠蛛x的。
定理3 設(shè)t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0且t1≥s1,t2≥s2,…,tn≥sn，則由擬范數(shù)Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)淙跤谟蓴M范數(shù)Ps(x)=‖T(s1,s2,…,sn)x‖誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?x∈X有：
Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖=
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)+
(s1,s2,…,sn)]x‖=
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]T(s1,s2,…,sn)x‖≤
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·
‖T(s1,s2,…,sn)x‖=
‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·Ps(x)。
再根據(jù)引理1，定理得證。
3 弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)?/h2>
對?t1,t2,…,tn≥0及x′∈(X，‖·‖)′，令Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x],x∈X，則利用多參數(shù)C0-半群的定義，對?x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有
(1)Pt,x′(x)≥0；
(2)Pt,x′(x+y)≤Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；
(3)Pt,x′(αx)=αPt,x′(x),α≥0。
事實(shí)上，Pt,x′(x)=|x′[T(t1,t2,…,tn)x]≥0；
Pt,x′(x+y)=x′[T(t1,t2,…,tn)(x+y)]=
x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]≤
x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]=
Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；
Pt,x′(αx)=x′[T(t1,t2,…,tn)(αx)]=
αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=
αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=
αPt,x′(x)。
即Pt,x′(x)是X上的一個(gè)擬范數(shù)，從而由擬范數(shù)族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}可以誘導(dǎo)出一個(gè)局部凸向量拓?fù)洌洖棣?。
定義3 由上述擬范數(shù)族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}誘導(dǎo)的X上的局部凸向量拓?fù)?，稱為弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)?，相?yīng)的局部凸線性拓?fù)淇臻g記為(X,τ*)。
定理4X上的弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)淙跤诙鄥?shù)C0-半群拓?fù)?，也弱于由范?shù)所誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?t1,t2,…,tn≥0，x′∈X′及x∈X，有：
Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x]≤
‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤
‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，
根據(jù)多參數(shù)C0-半群拓?fù)涞亩x以及引理1，得證。
定理5 設(shè){T(t1,t2,…,tn)}t1,t2…,tn≥0是非退化的多參數(shù)C0-半群且x′≠0，則{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0誘導(dǎo)的弱多參數(shù)C0-半群拓?fù)洇?是分離的。
證明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若對?t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以對?x≠0有：
從而對?x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps,x′(x-y)=3d>0，令V={x:Ps,x′(x)≤1}，則x的鄰域x+dV與y的鄰域y+dV彼此分離，得證。
定理6 設(shè)t1,t2,…,tn≥0，x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β為任意常數(shù)，則由擬范數(shù)族{Pt,x′(x):t1,t2,…,tn≥0}誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)淙跤谟蓴M范數(shù)族{Pt,x1′(x),Pt,x2′(x):t1,t2,…,tn≥0}誘導(dǎo)的局部凸向量拓?fù)洹?/p>
證明因?yàn)閷?x∈X有：
Pt,x′(x)=
(αx1′+βx2′)[T(t1,t2,…,tn)x]=
αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+
βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]≤
αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+
βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]=
α·x1′[T(t1,t2,…,tn)x]+
β·x2′[T(t1,t2,…,tn)x]=
αPt,x1′(x)+β|Pt,x2′(x)。
再根據(jù)引理1，定理得證。
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