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        例析充分必要性的常見判別方法

        2020-03-14 20:06:59許萬成
        高中數(shù)學(xué)教與學(xué) 2020年21期
        關(guān)鍵詞:綜上充分條件充分性

        許萬成

        (江蘇省建湖縣第二中學(xué),224700)

        邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.條件與結(jié)論的充分性與必要性是邏輯推理內(nèi)容的重要組成部分.不少同學(xué)在學(xué)習(xí)這一部分的內(nèi)容時,由于缺少方法的積累出現(xiàn)丟分的現(xiàn)象.為此,筆者根據(jù)平時的教學(xué),給同學(xué)們提供三種常見的判斷方法,希望能夠有所幫助.

        方法1定義法

        如果命題“若p則q”為真命題,則p為q的充分條件,q為p的必要條件.

        例1“x=2”是“x2-x-2=0”的______條件.

        解易見當x=2作為條件時,結(jié)論x2-x-2=0肯定成立,故命題“若x=2,則x2-x-2=0”為真命題,所以“x=2”是“x2-x-2=0”的充分條件.

        但是當x2-x-2=0作為條件時,可得x=-1或2,x=2作為結(jié)論則不一定成立,即命題“若x2-x-2=0,則x=2”為假命題,所以“x=2”不是“x2-x-2=0”的必要條件.

        故答案應(yīng)填寫充分不必要.

        方法2集合法

        設(shè)條件p所對應(yīng)的集合為A,結(jié)論q所對應(yīng)的集合為B.若A?B,則p為q的充分條件;若B?A,則p為q的必要條件.

        例2“x>2”是“x>1”的______條件.

        解因為對任意x∈{x|x>2},都有x∈{x|x>1},所以命題“若x>2,則x>1”是真命題,故“x>2”是“x>1”的充分條件.又因為存在x>1使x<2,所以命題“若x>1,則x>2”是假命題,即“x>2”不是“x>1”的必要條件.

        綜上,應(yīng)填寫充分不必要.

        評注設(shè)集合A={x|x滿足條件p},集合B={x|x滿足條件q}.

        若A?B,則p是q的充分條件;

        若A?B,則p是q的充分不必要條件;

        若B?A,則p是q的必要條件;

        若B?A,則p是q的必要不充分條件;

        若A=B,則p是q的充分條件.

        方法3等價法

        因為原命題與逆否命題的真假性一致,所以當條件與結(jié)論中含有的否定較多時,我們可以使用等價法來判斷條件與結(jié)論之間的充分性與必要性.

        例3“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的______條件.

        解因為原命題與逆否命題的真假性相同,而命題“若x+y=10,則x=2且y=8”是假命題,所以命題“若x≠2或y≠8,則x+y≠10”是假命題.故“x≠2或y≠8”不是“x+y≠10”的充分條件.

        因為命題“若x=2且y=8,則x+y=10”是真命題,所以命題“若x+y≠10,則x≠2或y≠10”是真命題,所以“x≠2或y≠8”是“x+y≠10”的必要條件.

        綜上,答案為必要不充分.

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