孟超，林智強(qiáng)，李鐮呈

（1.廣東省重工建筑設(shè)計(jì)院有限公司，廣東 廣州 510663；2.武漢市建設(shè)工程安全監(jiān)督站，湖北 武漢 430015）

0 前言

日本政法大學(xué)教授川口衛(wèi)（M.Kawaguchi）在1993年提出了由單層球面網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)和穹頂組成的一種新型的混合空間結(jié)構(gòu)形式——弦支穹頂結(jié)構(gòu)（Suspend-dome）。典型的弦支穹頂結(jié)構(gòu)由一個(gè)單層網(wǎng)殼和下端的撐桿、索組成。

對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)振響應(yīng)的時(shí)程分析必須首先得到風(fēng)速時(shí)程曲線，并且要求模擬風(fēng)盡可能的接近或滿(mǎn)足自然風(fēng)的特性。目前，風(fēng)振研究的主流方法是用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬風(fēng)速時(shí)程曲線。主要方法有線性濾波法（AR模型）和諧波疊加法（WAWS法）。本文引入信號(hào)處理中的抽取時(shí)間快速傅立葉變換，編制MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)了脈動(dòng)風(fēng)速的模擬。

1 脈動(dòng)風(fēng)特性

脈動(dòng)風(fēng)的風(fēng)向和風(fēng)速都是隨著時(shí)間和空間變化的，具有明顯的紊亂性和隨機(jī)性，脈動(dòng)風(fēng)引起結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。

1.1 脈動(dòng)風(fēng)速功率譜

在風(fēng)工程中最廣泛使用的Davenport風(fēng)速譜：

式中：SV（f）——順風(fēng)向風(fēng)速譜；ω——頻率；（10）——標(biāo)準(zhǔn)高度為10m處的平均風(fēng)速值；k——地面粗糙程度相關(guān)的系數(shù)。

1.2 脈動(dòng)風(fēng)的空間相關(guān)性

脈動(dòng)風(fēng)具有空間相關(guān)性。當(dāng)結(jié)構(gòu)上一點(diǎn)的風(fēng)壓達(dá)到最大值時(shí)，在一定的范圍內(nèi)離該點(diǎn)越遠(yuǎn)處的風(fēng)荷載同時(shí)達(dá)到最大值的可能性就越小。R（ijt）為風(fēng)速在時(shí)刻的互相關(guān)函數(shù)：

式中：Si（jω）為空間兩點(diǎn)i、j的風(fēng)速互譜功率譜密度。當(dāng)i=j時(shí)Rij為風(fēng)速在時(shí)刻的自相關(guān)函數(shù)。

2 風(fēng)速時(shí)程計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬方法

對(duì)于脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程，目前風(fēng)荷載數(shù)值模擬方法主要大致分為兩類(lèi)：一類(lèi)是基于三角級(jí)數(shù)求和的諧波合成法，當(dāng)維數(shù)較大時(shí)，此種方法非常耗時(shí)，但精度比較高；另一類(lèi)是線性濾波法，如自回歸（AR）法、滑動(dòng)平均（MA）法等，這種方法計(jì)算量相對(duì)較少，但精度較差。

2.1 諧波合成法

諧波合成法本質(zhì)上就是用離散化的譜來(lái)逼近目標(biāo)隨機(jī)過(guò)程的一種數(shù)值模擬方法。風(fēng)速的脈動(dòng)部分可看作是具有零均值的高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，對(duì)具有不同坐標(biāo)的各點(diǎn)，其風(fēng)速u(mài)（jt）（j=1，2，3,…,n）的譜密度函數(shù)矩陣為：

式中，Sj（jω）為自譜功率譜密度函數(shù)，Sjk（ω）（j≠k）為互譜功率譜密度函數(shù)。根據(jù)Shinozuka理論，功率譜密度矩陣分解后，隨機(jī)過(guò)程u（jt）的樣本可以由下式來(lái)模擬：

式中：Hjk（ωl）——以復(fù)數(shù)形式Sjk（ωl）為元素的互譜密度矩陣Cholesky分解得到；N——風(fēng)譜頻率域內(nèi)數(shù)據(jù)采集數(shù)目；Δω——頻率增量，為截止的頻率；φkl——[0，2π]上均勻分布的相互獨(dú)立的隨機(jī)相位角；。

式中δωl為避免風(fēng)速時(shí)程周期化所引入的隨機(jī)頻率，所選取的截止的頻率ωu必須足夠大到能使得功率譜密度矩陣中各元素項(xiàng)均趨于零。

對(duì)式（4）的等式右邊進(jìn)行數(shù)學(xué)分析，利用按時(shí)間離散的快速傅立葉變換（DIT-FFT）建立中間函數(shù)則可以極大地減少脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬的計(jì)算量。

2.2 時(shí)間離散快速傅立葉變換（DFT）對(duì)諧波合成法的優(yōu)化算法

可以把有限長(zhǎng)的時(shí)間序列區(qū)間看作周期序列所在的主值區(qū)間，通過(guò)離散傅立葉變換計(jì)算該周期序列的一個(gè)周期。記，則變換對(duì)：

通過(guò)考察Wn，發(fā)現(xiàn)Wn具有對(duì)稱(chēng)性、周期性等性質(zhì)，有很多元素是一樣的，利用這些性質(zhì)，計(jì)算時(shí)對(duì)元素進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q組合可以極大地提高計(jì)算效率。

設(shè)N=2β，β為正整數(shù)?？梢钥闯鲞\(yùn)算由偶數(shù)部分和奇數(shù)部分構(gòu)成，利用Wn的性質(zhì)：

由 Wn的周期性可知，G（n）和 H（n）又以 N/2為周期，按此分組，可將N點(diǎn)DFT計(jì)算分解為兩個(gè)點(diǎn)DFT計(jì)算。同理，點(diǎn) DFT的 G（n）和 H（n）又可分別分解為兩個(gè)點(diǎn)DFT計(jì)算，繼續(xù)分解下去，可以得到，…，2點(diǎn)DFT。此方法為按時(shí)間離散的快速傅里葉算法（DFT），這種方法將時(shí)間序列在時(shí)域范圍內(nèi)分為奇偶組，用DFT方法進(jìn)行風(fēng)速時(shí)程模擬，極大提高了計(jì)算速度。

根據(jù)DFT優(yōu)化算法，取M=2π（/ΔωΔt），可將諧波合成法式（4）寫(xiě)成如下形式：

觀察可知，G（jpΔt）是B（jlΔω）的逆傅立葉變換，式（7）可用DFT算法計(jì)算。

3 采用時(shí)間離散快速傅立葉變換（DFT）算法優(yōu)化及算例分析

風(fēng)荷載的計(jì)算機(jī)模擬的眾多方法各有其優(yōu)缺點(diǎn)。對(duì)于大跨度空間結(jié)構(gòu)特別是弦支穹頂結(jié)構(gòu)，本文利用計(jì)算機(jī)模擬風(fēng)速時(shí)程曲線對(duì)弦支穹頂結(jié)構(gòu)直接進(jìn)行風(fēng)振時(shí)程分析。

對(duì)一空間模型屋蓋利用DFT改進(jìn)的諧波合成法作脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬，用MATLAB軟件編寫(xiě)多個(gè)相關(guān)脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程模擬程序。水平風(fēng)速譜采用Davenport譜。

設(shè)有一按凱威特型劃分的單層網(wǎng)殼，跨度20m，網(wǎng)殼屋面分格如圖1所示。選取7個(gè)點(diǎn)做風(fēng)速時(shí)程模擬，脈動(dòng)風(fēng)速譜采用Davenport譜，地貌類(lèi)型C類(lèi)，標(biāo)準(zhǔn)高度處平均風(fēng)速，地面粗糙程度系數(shù)為0.22，疊加時(shí)間步長(zhǎng)0.1s，截止頻率1Hz。

圖1 單層網(wǎng)殼網(wǎng)格布置及節(jié)點(diǎn)示意

圖2 點(diǎn)4水平風(fēng)速時(shí)程曲線

圖3 點(diǎn)7水平風(fēng)速時(shí)程曲線

計(jì)算機(jī)模擬得到點(diǎn)4、7的水平風(fēng)速時(shí)程曲線如圖2至圖3。圖4是不同節(jié)點(diǎn)的模擬的水平風(fēng)速譜和Davenport譜的比較，模擬風(fēng)速時(shí)程的功率譜在走勢(shì)和極值等方面與Davenport功率譜十分相近，因此通過(guò)DFT算法優(yōu)化的諧波合成法可以有效地模擬脈動(dòng)風(fēng)速時(shí)程。圖5為1節(jié)點(diǎn)和2、3、4、5、6以及7節(jié)點(diǎn)的風(fēng)速互相關(guān)函數(shù)，互相關(guān)函數(shù)的最大值反映了不同距離點(diǎn)的相關(guān)性強(qiáng)弱，從圖中可知，距離較近的點(diǎn)的互相關(guān)性明顯強(qiáng)于距離遠(yuǎn)的點(diǎn)，符合風(fēng)速的空間相關(guān)特性。

在計(jì)算速度上，采用DFT算法優(yōu)化的諧波合成法計(jì)算效率明顯提高，模擬譜也比較符合目標(biāo)譜。本文采用MATLAB程序語(yǔ)言編制程序，在計(jì)算過(guò)程中將循環(huán)轉(zhuǎn)換為向量運(yùn)算可以提高計(jì)算效率。

4 結(jié)論

圖4 點(diǎn)1、2、4、7水平脈動(dòng)風(fēng)模擬功率譜與目標(biāo)譜比較

圖5 點(diǎn)1和其余各點(diǎn)的水平脈動(dòng)風(fēng)互相關(guān)函數(shù)

本文在風(fēng)荷載模擬研究文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對(duì)風(fēng)荷載計(jì)算機(jī)模擬的理論問(wèn)題進(jìn)行了系統(tǒng)分析，確定了風(fēng)荷載計(jì)算機(jī)模擬的方法。選取了精度較好的諧波合成法，并用DFT算法優(yōu)化的諧波合成法進(jìn)行風(fēng)速時(shí)程模擬，最后對(duì)一網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)模型取7個(gè)點(diǎn)進(jìn)行了模擬計(jì)算，通過(guò)算例分析，得到了有效的結(jié)果。