江蘇省太倉(cāng)市第一中學(xué) (215400)

朱建良

建構(gòu)主義理論提出，學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)是意義建構(gòu)的，而不是被動(dòng)灌輸而成的．?dāng)?shù)學(xué)探究活動(dòng)必須突出學(xué)生學(xué)習(xí)主體性，引導(dǎo)學(xué)生親歷體驗(yàn)并參與探究過(guò)程，通過(guò)學(xué)生自主探索和思考，在數(shù)學(xué)建模、類比轉(zhuǎn)化等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展，從而提高探究活動(dòng)的有效性．下面就初中幾何最值問(wèn)題的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾瓮ㄟ^(guò)建模教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生揭示幾何最值問(wèn)題的內(nèi)涵，疏理方法，理解幾何模型的深層意義，筆者意在拋磚引玉，以期廣大同行指正．

1.解讀問(wèn)題，明確目標(biāo)

1.1 疏理結(jié)構(gòu)，探究特征

以蘇科版義務(wù)教育《數(shù)學(xué)》九年級(jí)教材為學(xué)習(xí)內(nèi)容，探究初三幾何最值問(wèn)題為主題，解讀教材內(nèi)容．在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量(如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問(wèn)題，稱為幾何最值問(wèn)題．解決幾何最值問(wèn)題時(shí)應(yīng)用幾何性質(zhì)有：(1)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；(2)兩點(diǎn)間線段最短；(3)連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；(4)定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)等．

幾何最值問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，考查了學(xué)生的邏輯思維能力和空間觀念，學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題往往感覺(jué)無(wú)從下手，找不到適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，導(dǎo)致思維阻滯，通過(guò)本課例的探究，嘗試以數(shù)學(xué)建模為解決問(wèn)題的突破口，基于問(wèn)題解決，設(shè)計(jì)問(wèn)題串展開(kāi)探究學(xué)習(xí)，滲透“數(shù)形結(jié)合”、“類比”等數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生揭示幾何圖形變換的規(guī)律、積累解決問(wèn)題的策略，提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力．

1.2 理解問(wèn)題，凝聚思想

求線段和的最值類問(wèn)題的探究思路在于：通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)及軸對(duì)稱等圖形變化轉(zhuǎn)化為求兩點(diǎn)之間或者點(diǎn)到直線之間的最短距離問(wèn)題．此類問(wèn)題的幾何圖形變換，往往改變了特殊點(diǎn)的位置，不改變形狀和大小，可以通過(guò)建模，優(yōu)化圖形結(jié)構(gòu)，整合圖形信息，使復(fù)雜問(wèn)題更直觀、簡(jiǎn)潔．如遇涉及生活實(shí)際問(wèn)題，可以通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析、嘗試，構(gòu)建起相關(guān)幾何模型，引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑探究中感悟領(lǐng)略建模的思想和方法，提升學(xué)生的抽象、概括和演繹推理能力．

1.3 提煉模型，形成方法

基本模型1 在直線l上求一點(diǎn)P，使線段PA+PB最短．

如圖1，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，∵PA=PA′，∴PA+PB=PA′+PB=A′B．此時(shí)，線段A′B最短．

圖1 圖2

基本模型2 如圖2，當(dāng)A、B兩點(diǎn)位于直線l的異側(cè)時(shí)，連接AB交直線l于點(diǎn)P，AP+BP=AB.此時(shí)，線段AB最短．

基本模型3 如圖3，⊙O中過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦是直線AB，當(dāng)弦CD⊥AB于點(diǎn)P時(shí)，弦CD是過(guò)點(diǎn)P最短的弦．

圖3 圖4

基本模型4 如圖4，⊙O外一點(diǎn)P與⊙O上的點(diǎn)連接的線段中，PA最短，PB最長(zhǎng)，當(dāng)⊙O動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)P的連線PO構(gòu)成的角的度數(shù)最大時(shí)，有PC、PD與⊙O相切的位置．

2.凸現(xiàn)主體，回歸模型

2.1 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)思維

數(shù)學(xué)模型描述了各變量間內(nèi)的數(shù)量和位置關(guān)系，是指反映特定問(wèn)題的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)，幾何最值問(wèn)題學(xué)習(xí)內(nèi)容通過(guò)數(shù)學(xué)建模來(lái)表達(dá)和體現(xiàn)，把數(shù)學(xué)模型看做是幾何知識(shí)的起點(diǎn)和主線．探究建模，不是簡(jiǎn)單地對(duì)數(shù)學(xué)公式、定義、定理、公理等逐條羅列，而是挖掘一組問(wèn)題包含的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)建模解決問(wèn)題達(dá)到建構(gòu)內(nèi)化知識(shí)結(jié)構(gòu)的目的．

圖5 圖6

2.2 合理設(shè)計(jì)，強(qiáng)化聯(lián)系

圖7

拓展1 如圖7，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、D重合)，連接AP，過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為H，連接DH，若正方形的邊長(zhǎng)為4，求線段DH長(zhǎng)度的最小值．

2.3 關(guān)注生成，優(yōu)化策略

圖8

拓展2 如圖8，菱形ABCD的邊AB=8，∠B=60°，P是AB上一點(diǎn)，BP=3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，當(dāng)CA′的長(zhǎng)度最小時(shí)，求CQ長(zhǎng)度．

3.追根溯源，積累經(jīng)驗(yàn)

3.1 動(dòng)態(tài)探究，尋求本質(zhì)

數(shù)學(xué)建模的目的指向探究幾何最值問(wèn)題的本質(zhì)，通過(guò)動(dòng)態(tài)變換建模求解，引導(dǎo)學(xué)生獲得一些關(guān)于幾何最值知識(shí)或者建模技能和“基本經(jīng)驗(yàn)”，在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中尋求不變規(guī)律，在感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的體驗(yàn)過(guò)程中積累基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

圖9

3.2 變式拓展，活化思維

變式1 如圖10，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別以點(diǎn)A(2,3)，B(3,4)為圓心，以1,3為半徑作⊙A，⊙B，點(diǎn)M，N分別是⊙A，⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求PM+PN最小值．

圖10 圖11

3.3 變式感悟，發(fā)展能力

變式2 如圖12，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,0),(0,2)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(-1,0)，半徑為1，D是⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段DA與y軸將交于點(diǎn)E，求△ABE面積的最小值．

圖12 圖13

4.反思結(jié)構(gòu)，優(yōu)化方法

將幾個(gè)背景相似、角度不同，但又在建模方法和解題技巧等方面具有相似性或有內(nèi)在聯(lián)系的幾個(gè)最值問(wèn)題組合在一起，作為一個(gè)幾何最值問(wèn)題系列展開(kāi)探究，反思?xì)w納，通過(guò)拓展問(wèn)題，上升到思想方法的層面上去發(fā)展學(xué)生的思維能力．

拓展在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3,2),B(1,5)，(1)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,m)，問(wèn)m為何值時(shí)，△PAB的周長(zhǎng)最短，并求出△PAB的周長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為C(0,a)，D(0,a+4)，問(wèn)a為何值時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)最短，并求出此時(shí)的周長(zhǎng)．

圖14 圖15

(2)如圖15，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，點(diǎn)A′(-3,2)，作A′B′∥y軸，取A′B′=CD=4，有B′(-3,6)，連接BB′交y軸于點(diǎn)D，∵A′B′∥CD，且A′B′=CD，有A′B′DC，直線BB′解析式為得此時(shí)四邊形ABDC周長(zhǎng)最短，為

5.解法自然，通性通法

設(shè)計(jì)問(wèn)題對(duì)幾何最值問(wèn)題從不同角度、不同情形、不同層次做出有效變化，使幾何最值問(wèn)題的條件、結(jié)論及形式發(fā)生變化，以探究的變式問(wèn)題為思維的載體，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)體驗(yàn)幾何模型的形成過(guò)程、邏輯推導(dǎo)過(guò)程和類比拓展提升過(guò)程．

變式如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，A(-4,0),B(0,4)，點(diǎn)C、D分別為OA、OB的中點(diǎn)，若正方形OCED繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到正方形OC′E′D′，記旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<360°)，連接AC′，BD′，設(shè)直線AC′與BD′相交于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的縱坐標(biāo)的最大值．

圖16 圖17

《數(shù)學(xué)課標(biāo)(2011版)》中倡導(dǎo)“讓學(xué)生獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”．學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)是學(xué)生自主建構(gòu)自己對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的過(guò)程，學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程是真正意義上的再創(chuàng)造過(guò)程．

探究幾何最值問(wèn)題，既要學(xué)會(huì)構(gòu)圖，循點(diǎn)覓形，生長(zhǎng)圖形，在動(dòng)態(tài)變化中整體把握?qǐng)D形間的聯(lián)系，提煉出基本模型，化繁為簡(jiǎn)，模型引領(lǐng)，揭示幾何最值問(wèn)題的本質(zhì)屬性．

求解幾何最值問(wèn)題是要順著問(wèn)題解決的脈絡(luò)，引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題解決中建立幾何模型解決問(wèn)題，再?gòu)膯?wèn)題解決后自己產(chǎn)生新問(wèn)題，再質(zhì)疑，變式拓展，解一題，連一片，通一類，通過(guò)“螺旋遞進(jìn)式”的探究培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，提升學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而體會(huì)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的無(wú)窮樂(lè)趣，體悟成功的喜悅．