江蘇省無錫市南湖中學 (214121)

郭淑婭

江蘇省太湖高級中學 (214125)

何喜平

基于對提高學生的學習興趣和增強數(shù)學教學的育人功能的思考，筆者一直在探索如何使數(shù)學課堂在提升學生核心素養(yǎng)的同時再帶給學生一些美妙的感受，如帶給學生一些心靈啟迪，或者帶給學生一些輕松與幽默等，使數(shù)學課堂變得輕松和諧，這能使學生對學習數(shù)學產(chǎn)生更多的積極情感與積極行為.經(jīng)過一段時間的探索與實踐，略有心得體會，在高三的一輪復習《函數(shù)與方程》中用三個成語“盲人摸象”“萬象更新”“大象無形”引導課堂，給學生在知識的獲取與能力的發(fā)展方面提供一些啟迪，得到大多數(shù)學生的積極回應，現(xiàn)撰寫成文與同行交流.

一、教學過程簡介

1.盲人摸象

師：我們都聽過“盲人摸象”的故事，這個成語常用來形容對事物只通過片面的了解就下結(jié)論的現(xiàn)象.但是，這個成語也有積極的一面.試想如果總結(jié)幾位盲人的說法，或者讓一位盲人多摸幾處，大象的大概模樣不也就清楚了嗎？我們的學習過程也是如此，誰能一開始就掌握某一知識的全貌呢？試著回想一下你對某一知識的理解過程，一開始可能只是理解某一部分，然后又理解另一部分……直至你認識到這一知識點的全貌.這是知識從片面到全面，從局部到整體的發(fā)展過程.

問題：關(guān)于x的方程lnx+x-2=0在區(qū)間[1,2]上是否有解？為什么？

師：請大膽地說說你摸的“象”是什么？

生1：我想先求出這個方程的根，然后再看它的根是否在該區(qū)間內(nèi)，但這個方程的根無法求出來.

師：雖然無法解出這道題，但你的方法也是有價值的，因為有一部分題目是可以這樣做的.

生2：我的方法是令f(x)=lnx+x-2，可以判斷出函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)遞增的，又因為f(1)=-1<0,f(2)=ln2>0，故函數(shù)f(x)在(1,2)內(nèi)有唯一零點，即原題答案是有唯一解.

師：很好，你用的是什么方法？

生2：方程lnx+x-2=0的根即為函數(shù)f(x)=lnx+x-2的零點，可用“函數(shù)零點的存在性定理”來判斷.

師：說得很好，你能說說“函數(shù)零點的存在性定理”的內(nèi)容嗎？

生2：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點.

師：很好！還有其他的方法嗎？

圖1

生3：將原方程轉(zhuǎn)化為lnx=-x+2，令f(x)=lnx,g(x)=-x+2，作出這兩個函數(shù)的圖像(如圖1)，因為原方程的根就是這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標，故由圖可知，原方程在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一零點.

師：很好！綜合剛才三位同學摸的“像”，你能說說對于“方程根的個數(shù)問題”有哪些方法可以解決嗎？

生4：有三種解決方法，方法1是直接求出方程的根；方法2是由于方程f(x)=0的根即為函數(shù)f(x)的零點，故可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點的存在性定理來解決；方法3是將方程化為f(x)=g(x)的形式，然后轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖像交點的個數(shù)問題來解決.

師：總結(jié)的很好！非常感謝剛才幾位同學的回答，因為這使我們對“方程根的個數(shù)問題”的認識，由片面到全面、由局部到整體，希望大家牢記這三種常用方法.

2.萬象更新

師：“萬象更新”通常指事物或景象改換了樣子，出現(xiàn)了一番新氣象.我想說的是：第一，通過接下來例題的講解，希望每一位同學都能進一步認識“方程根的個數(shù)問題”及其三種常用方法的應用，從而更新自己原有的知識與方法；第二，當我們內(nèi)心有新的領(lǐng)悟時，外在的面貌往往會表現(xiàn)出一番新氣象，你們所有同學就是我眼中的“萬象”，讓我們共同努力，在課堂中看到“萬象更新”的景象.

例1 若關(guān)于x的方程ex-ax=0(a∈R)有兩個根，則實數(shù)a的取值范圍是.

師：請思考這道題該怎么解？

圖2

生5：將原方程轉(zhuǎn)化為ex=ax，然后作出f(x)=ex與g(x)=ax的圖像(如圖2)，函數(shù)g(x)的圖像可視為一條經(jīng)過原點的直線，a表示其斜率，故先求出g(x)與f(x)相切時的斜率，設切點為(x0,ex0)，則切線方程為y-ex0=ex0(x-x0)，將原點(0,0)代入，得x0=1，故切線斜率為e，所以實數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).

師：很好！還有不同方法嗎？

師：怎么行不通呢？將你的做法具體說一說.

圖3

生7：不對，因為函數(shù)g(x)的定義域為{x|x≠0}，故它的單調(diào)減區(qū)間應為(-∞,0),(0,1).它的圖像應如圖3，當x=1時，f(x)有極小值e，故實數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).

師：三位同學都說得很好，這兩種做法都屬于方法3.能用方法2做嗎？

生8：令f(x)=ex-ax，則f′(x)=ex-a，若a≤0，則f′(x)>0，故函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能有兩個零點；若a>0，令f′(x)=0，得x=lna，故當x∈(-∞,lna)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當x∈(lna,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增.當x=lna，函數(shù)f(x)有極小值f(lna)=a-alna，若a-alna≥0，即a∈(0,e]，f(x)至多一個零點，不合題意；若a-alna<0，即a∈(e,+∞)，因為f(0)=1>0，且當x→+∞時，f(x)→+∞，故函數(shù)f(x)在(-∞,lna)，(lna,+∞)各有一個零點，即原方程有兩個根.綜上，實數(shù)a的取值范圍是(e,+∞).

師：回答的很好，通過這道題，我們再次看到了如何用方法2與方法3來解決“方程根的個數(shù)問題”，接下來請大家思考例2.

生9：我仍然是用方法3來嘗試解這道題的，但是遇到麻煩了.

師：說說你進行到了哪一步？

圖4

生9：函數(shù)g(x)有三個不同的零點，即方程f(x)=a有三個不同的根，于是我將函數(shù)f(x)的圖像作出來(如圖4)，設直線y=a與函數(shù)f(x)的圖像交點橫坐標從左到右依次為x1,x2,x3，但是接下來就不會做了.

師：很好！這里要求x1x2x3的范圍，如何產(chǎn)生范圍呢？

師：很好！看到剛才諸位同學活躍的表現(xiàn)，我感覺到在課堂中“萬象更新”的場面.

3.大象無形

師：“大音希聲，大象無形”出自《道德經(jīng)》，是老子提出的一種美學觀念，意為越好的音樂越寂靜無聲，越好的形象越飄渺無形，旨在推崇自然的、而非人為的美.借用“大象無形”這個成語，我想表達兩個意思，第一是許多題目的內(nèi)在本質(zhì)是相同的，但外在形式卻是多樣的，面對多樣的問題，我們要透過現(xiàn)象尋找本質(zhì)；第二是“題無定法”，解題時不能拘泥于某一特定的方法，每一道題都有其不同的切入點，需要大家仔細審題.請大家做下面三道練習.

練習1 若函數(shù)f(x)=x2-ex-ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是.

師：誰能說說第一題是怎么做的？

生10：函數(shù)f(x)=x2-ex-ax在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，即f′(x)>0有解，因為f′(x)=2x-ex-a，故可化為不等式a<2x-ex有解，即a<(2x-ex)max.令g(x)=2x-ex，則g′(x)=2-ex，由g′(x)>0，得x

師：很好，此題本質(zhì)上是不等式有解的問題，應當注意與“方程根的個數(shù)問題”間的區(qū)別.第二題該怎么解呢？

圖5

師：此題本質(zhì)上還是“方程根的個數(shù)問題”，你能從不同的角度考慮，很好！第二種解法也行，課后去將它完成，同學們之間也可以相互討論.第三題該怎么做呢？

師：很好！第二小題怎么解呢？

生13：這道題的本質(zhì)是不等式的恒成立問題，但我遇到困難了.

師：說說你的做法.

師：思路是正確的，可惜還差了一些，哪位同學可以補充一下呢？

師：回答的很好！在求函數(shù)的零點時，還可以用“設而不求”的方法，這與解析幾何是密切聯(lián)系的，說明數(shù)學各章節(jié)間的知識方法是相通的.請大家談談本節(jié)課的收獲.

生15：本節(jié)課的收獲是，一方面是認識了“方程根的個數(shù)問題”及其三種常用辦法；另一方面從這三個“象”的成語感到自己對本課知識的領(lǐng)悟有一個動態(tài)的發(fā)展過程，先是對“方程根的個數(shù)問題”的認識從局部理解到整體把握，然后對這一問題及其解決方法的應用有了進一步的理解，最后的“大象無形”部分，我感覺到了一種境界，一種數(shù)學的美！

二、課后反思

1.對本課教學環(huán)節(jié)設計的思考

數(shù)學學習的目標之一是提高學生的數(shù)學思維能力，包括：觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括.基于此，本堂課的教學過程分為三個環(huán)節(jié)，第一個環(huán)節(jié)是“盲人摸象”，通過學生對問題的解答，由學生總結(jié)并提煉出“方程根的個數(shù)問題”的求解方法；第二個環(huán)節(jié)是“萬象更新”，在教師陪伴下，通過從多個角度剖析例題，使學生加深對這一問題的認識，并掌握其求解方法的應用；第三個環(huán)節(jié)是“大象無形”，在缺少教師幫助的情況下，當學生面對不同形式的問題時，培養(yǎng)其分析問題、解決問題的能力和優(yōu)良的意志品質(zhì)，從而提高學生的數(shù)學思維能力.

2.對數(shù)學課堂新貌設計的思考

教師在數(shù)學課堂上帶給學生的，如果只是數(shù)字、符號、邏輯推理等，這會使課堂氛圍顯得單調(diào)、沉悶、缺乏活力，教學達不到理想的效果.本課用三個成語“盲人摸象”“萬象更新”“大象無形”組成三個教學環(huán)節(jié)，讓學生清晰地感受到課堂的教學過程及其發(fā)展，同時也給數(shù)學課堂注入一些新的元素，使課堂具有故事性、趣味性和意境感，這能使學生提高學習興趣，對數(shù)學學習產(chǎn)生更多的積極情感，在課上展現(xiàn)出新的精神面貌與新的活力，課后樂意細細品味課堂的教學內(nèi)容，使數(shù)學課堂呈現(xiàn)出其應有的面貌.

3.對課堂育人功能設計的思考

從“盲人摸象”環(huán)節(jié)到“萬象更新”環(huán)節(jié)，再到“大象無形”環(huán)節(jié)，經(jīng)歷這些過程可以讓學生明白一些道理：“盲人摸象”，讓學生理解對事物的認識，由片面到全面、由局部到整體是一個過程，應當注重培養(yǎng)勇于探索和與人合作的精神；“萬象更新”，教導學生要及時更新自己的知識與方法，對事物的認識要追求全面與整體；“大象無形”，一方面是讓學生感悟到遇到復雜的問題時，須透過現(xiàn)象看本質(zhì)，要有分析問題和解決問題的能力，另一方面是讓學生明白“題無定法”，要根據(jù)題目的特征尋找解決問題的切入點.用這三個成語既表達了從局部到整體，從簡單到復雜，從現(xiàn)象到本質(zhì)的認識發(fā)展過程，又體現(xiàn)了層層遞進的能力境界.“大象無形”既可以引導學生追求能力發(fā)展的新境界，也可以讓學生感受到數(shù)學的自然之美.