張治國(guó), 封文江, 鄭 偉, 陳 皓

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 沈陽(yáng) 110034)

0 引 言

從量子力學(xué)發(fā)展一開(kāi)始,量子與經(jīng)典對(duì)應(yīng)關(guān)系就是一個(gè)熱門話題,其中要數(shù)Bohr的對(duì)應(yīng)原理最為流行[1-4]。該原理指出,在大量子數(shù)近似下量子力學(xué)應(yīng)過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)。許多研究工作都是從波函數(shù)或Schr?dinger方程出發(fā)的。近來(lái),Heisenberg對(duì)應(yīng)原理[5-8](HCP)越來(lái)越受到研究者的關(guān)注[16-18]。Heisenberg對(duì)應(yīng)原理從量子矩陣元出發(fā),指出量子力學(xué)矩陣元在經(jīng)典近似下對(duì)應(yīng)經(jīng)典物理量的Fourier系數(shù),根據(jù)Heisenberg對(duì)應(yīng)原理[5-8],所有可能的矩陣元之和將給出經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程的解。因此,HCP提供了一種從量子力學(xué)的經(jīng)典極限得到經(jīng)典方程的解的方法[3]。HCP的思想應(yīng)用到含時(shí)線性系統(tǒng),得到含時(shí)哈密頓諧振子的經(jīng)典精確解。

很多人研究過(guò)含時(shí)線性勢(shì)(TLP)的精確波函數(shù)[4-6],不同于通常的不變量理論,有學(xué)者[5]通過(guò)假定某種形式的波函數(shù),直接從薛定諤方程中導(dǎo)出波函數(shù),這種方法也稱作試探函數(shù)法[3-7]。然而,文獻(xiàn)[5]中的方法對(duì)于通常在推導(dǎo)中的變形和假設(shè)理解起來(lái)有一點(diǎn)復(fù)雜和困難。在文獻(xiàn)[5]中,將TLP的波函數(shù)與自由粒子聯(lián)系起來(lái)。在本文中,將TLP的波函數(shù)應(yīng)用到含時(shí)系統(tǒng)中[4-6]。利用試探波函數(shù)方法,發(fā)現(xiàn)HCP可以應(yīng)用到TLP問(wèn)題上,并且得到了體系的波函數(shù)[3,7]。含時(shí)線性薛定諤方程的解析解在許多物理問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用。例如,一個(gè)在含時(shí)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的帶電粒子,噪聲引起電流反轉(zhuǎn)[9],在線性勢(shì)中布朗粒子的運(yùn)動(dòng)[10-13]等。

1 含時(shí)系統(tǒng)的精確波函數(shù)

系統(tǒng)含時(shí)線性勢(shì)的哈密頓量

(1)

其中M(t)和F(t)分別是含時(shí)質(zhì)量和外力。

在不含時(shí)情況下,體系的波函數(shù)為

(2)

其中E是能量。

含時(shí)系統(tǒng)(1)中的波函數(shù)可看作(2)的一般情況。

(3)

其中A(t)、B(t)、C(t)和f(x,t)都是實(shí)函數(shù)。

以式(3)作為試驗(yàn)函數(shù),我們著手開(kāi)始。

引進(jìn)一個(gè)變量

y=A(t)[x+B(t)]

(4)

波函數(shù)式(3)可以改寫為

(5)

與式(2)比較可以發(fā)現(xiàn),φ(y)是含時(shí)系統(tǒng)在F=1,M=1/2和E=0時(shí)體系的波函數(shù),并且滿足

(6)

因此,含時(shí)體系波函數(shù)涉及含時(shí)體系(6)。

將式(5)代入薛定諤方程Hψ(x,t)=i?ψ(x,t)/?t,并且使其兩邊的實(shí)部和虛部分別相等。有

將式(6)代入式(7a)結(jié)果是

(8)

回想起f(x,t)=D(t)x+φ(t),從式(8)得到

(9)

為簡(jiǎn)化式(7b),將證明φ(y)和?φ(y)/?y是彼此正交的。

利用式(10),方程式(7b)歸納為

(11)

第2個(gè)方程意味著C是個(gè)常量。第2個(gè)方程進(jìn)一步變成dA/dt=0(因此,A也是一個(gè)常量)并且

(12)

函數(shù)D(t)由方程式(9)的第1式給出,其中A0為常量。

(13)

函數(shù)g(t)滿足方程dg(t)/dt=F(t),并且事實(shí)上就是經(jīng)典的動(dòng)量。將式(13)代入式(12),得到

(14)

將式(13)、式(14)代入式(9)中的第2個(gè)方程,得到

(15)

將式(13)～式(15)代入式(3),最終導(dǎo)出波函數(shù)。在含時(shí)情況下,常數(shù)A、B0分別為A=(2MF)1/3和B0=E/F。因此,B0是量子數(shù)。對(duì)于含時(shí)體系,歸一化條件為

(16)

決定常數(shù)C=A。

在A=0和B=0情況下,如果將本文中A看作文獻(xiàn)[5]中的B,波函數(shù)式(3)將滿足在文獻(xiàn)[5]中的艾里包的解(8)。

這里注意到導(dǎo)出波函數(shù)的方法是非常基本并且過(guò)程非常的簡(jiǎn)單。

2 量子經(jīng)典對(duì)應(yīng)

假設(shè)Ω是薛定諤繪景中的一個(gè)算符,假定一個(gè)量

(17)

是所有可能的量子矩陣元的和。根據(jù)HCP[1-3],在經(jīng)典極限下,每一個(gè)量子矩陣元對(duì)應(yīng)著經(jīng)典物理量的付里葉展開(kāi)的一個(gè)系數(shù)。

因此,在經(jīng)典極限下,ΩB0(t)應(yīng)該就是一個(gè)經(jīng)典的物理量。從薛定諤方程Hψ(x,t)=i?ψ(x,t)/?t,有

(18)

(19)

從形式上,方程(19)等同于經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程。

同樣可以再次合理預(yù)期,xB0(t)、pB0(t)會(huì)變成經(jīng)典方程的解。

從定義(17)直接計(jì)算,并且由波函數(shù)(3)可給出

在推導(dǎo)中用到了下列關(guān)系:

(21)

我們看到pB0(t)是經(jīng)典動(dòng)量。由式(20)容易證明關(guān)系pB0(t)=MdxB0(t)/dt,這意味著xB0(t)是經(jīng)典坐標(biāo)。因此,xB0(t)和pB0(t)確實(shí)是經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程的解。

3 結(jié) 論

本文中通過(guò)將波函數(shù)與含時(shí)體系關(guān)聯(lián)起來(lái),得到了含時(shí)線性勢(shì)的精確波函數(shù)。更早得到的解就是這里給出的解的特殊情況。利用精確波函數(shù),通過(guò)量子矩陣元推導(dǎo)出了經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程的解。這說(shuō)明HCP在理解量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)關(guān)系上是一個(gè)非常顯著的工具。經(jīng)典精確解本身就是在經(jīng)典力學(xué)中獲得粒子軌道非常重要的途徑。