楊麗新

(陜西科技大學(xué) 文理學(xué)院， 陜西 西安 710021)

0 引言

分?jǐn)?shù)階微積分作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支，是傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分的推廣[1-3].最近十年，分?jǐn)?shù)階微積分引起了很多學(xué)者的關(guān)注和研究.分?jǐn)?shù)階微積分在描述粘彈性系統(tǒng)、電磁波等物理過程中有很重要的應(yīng)用，并且描述的系統(tǒng)更加精確[4-6].

另一方面，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)是描述很多的自然現(xiàn)象的有效工具.很多學(xué)者提出了不同的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，并且研究了它們的動力學(xué)行為，文獻(xiàn)[7]討論了分?jǐn)?shù)階Chua 電路系統(tǒng)的混沌同步問題.另外，研究發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)的產(chǎn)生混沌的階數(shù)是0.3，這是到目前為止發(fā)現(xiàn)的混沌系統(tǒng)的最低階數(shù)[8].

目前，不同領(lǐng)域的學(xué)者對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為作了廣泛的研究并得到了優(yōu)秀的成果.但是，尋求項(xiàng)數(shù)更少的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)是一個(gè)重要的研究方向.在文獻(xiàn)[9]中，作者提出了一個(gè)含有五項(xiàng)的整數(shù)階混沌系統(tǒng)，并且研究了此系統(tǒng)的豐富動力學(xué)行為.

1 分?jǐn)?shù)階微積分

(1)

式(1)中：q表示分?jǐn)?shù)階,R(q)表示q的實(shí)部，實(shí)數(shù)a和t分別表示積分的上下限.目前， Riemann-Liouville 和 Caputo 定義是最有效的分?jǐn)?shù)階微積分定義[10].

Riemann-Liouville (RL) 定義如下描述

n-1

(2)

The Caputo 微積分如下:

(3)

式(2)和(3)中：Γ(·)表示伽瑪函數(shù)如下

2 分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

整數(shù)階的很多理論不能直接推廣到分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)中.接下來，給出分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性充分條件[3].

引理1對于如下的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)

(4)

漸近穩(wěn)定的充分條件是矩陣A的特征值滿足如下條件:

在文獻(xiàn)[9]中，作者構(gòu)造了一個(gè)只含有5項(xiàng)的整數(shù)階的混沌系統(tǒng)，方程如下

(5)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取值為a=5,b=90,系統(tǒng) (5) 有豐富的動力學(xué)行為.

接下來，假設(shè)系統(tǒng)的階數(shù)是分?jǐn)?shù)階，則系統(tǒng)(5)對應(yīng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)可以如下描述：

(6)

系統(tǒng)(6)中：qi(i=1,2,3)是分?jǐn)?shù)階的階數(shù).

首先，通過下式計(jì)算系統(tǒng)(6)的平衡點(diǎn)：

(7)

計(jì)算可得如下兩個(gè)平衡點(diǎn)

(8)

并且雅克比矩陣的特征值計(jì)算如下:

λ1=-7.094 3,

λ2=1.470 1+10.544 4i

λ3=1.470 1-10.544 4i

(9)

根據(jù)行列式|λE-J|=0發(fā)現(xiàn)矩陣J-和J+有相同的特征值.其中λ1是一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)且|arg(λ2,3)|=1.432 3，根據(jù)引理1， 若分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(6)的階數(shù)在0.912≤q≤1.0范圍時(shí),分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(6)的兩個(gè)平衡點(diǎn)都不穩(wěn)定.

3 分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)的分岔行為研究

分岔圖是研究混沌系統(tǒng)動力學(xué)行為的一個(gè)重要工具，因此，在本節(jié)內(nèi)容中，分別以階數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)作為分岔參數(shù)，深入研究系統(tǒng)(6)的動力學(xué)行為.對于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，在MATLAB仿真中，采取的方法是預(yù)估-校正算法，接下來，介紹此方法.首先考慮如下方程

(10)

等式(10) 和如下的Volterra積分方程等價(jià)

(11)

令h=T/N,tj=jh,(j=0,1,…,N).則方程(11)的校正式可以離散為如下形式:

(12)

(13)

aj,n+1=

該方法的截?cái)嗾`差是

maxj=0,1,…,N|x(tj)-xh(tj)|=O(hP),

其中p=min(2,1+q).

3.1 系統(tǒng)階數(shù)作為分岔參數(shù)

和整數(shù)階混沌系統(tǒng)相比，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的階數(shù)是一個(gè)很重要的參數(shù)，是影響分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為的關(guān)鍵因素之一.為了驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階吸引子的存在性，選取系統(tǒng)(6)的系統(tǒng)參數(shù)為a-5，b=90,以及系統(tǒng)的初始條件為x(0)=1,y(0)=2,z(0)=3，分別調(diào)整系統(tǒng)的階數(shù)qi(i=1,2,3)的值，觀察系統(tǒng)的動力學(xué)行為.

首先，假設(shè)系統(tǒng)(6)是等階系統(tǒng)，也就是說階數(shù)qi(i=1,2,3)取相同的值.

選取系統(tǒng)的階數(shù)分別為q=0.84和q=0.86,系統(tǒng)(6)的正平衡點(diǎn)是一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)，如圖1 (a)～(b)所示.繼續(xù)增加階數(shù)q的值到 0.88,系統(tǒng)(6)的相圖呈現(xiàn)出一個(gè)混沌吸引子，如圖1(c)所示.當(dāng)階數(shù)q=0.98系統(tǒng)(6)相圖還是呈現(xiàn)混沌吸引子，但是和q=0.88的吸引子完全不一樣，如圖1(d)所示.從這些相圖，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(6)呈現(xiàn)出豐富的動力學(xué)行為，接下來進(jìn)一步借助于分岔圖，深入分析系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為.

(a)階數(shù)q=0.84系統(tǒng)(6)的相圖

(b)階數(shù)q=0.86系統(tǒng)(6)的相圖

(c)階數(shù)q=0.88系統(tǒng)(6)的相圖

(d)階數(shù)q=0.98系統(tǒng)(6)的相圖圖1 當(dāng)階數(shù)q取不同值時(shí)，系統(tǒng)(6)的相圖

為了更加深入地研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)(6)的動力學(xué)行為，以系統(tǒng)的階數(shù)作為分岔參數(shù)，借助于數(shù)值仿真的方法，當(dāng)q∈[0.88,1]，系統(tǒng)(6)的分岔圖如圖2所示.從圖2可以看出，當(dāng)q∈[0.89,0.95]和q∈[0.96,1]范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)是混沌狀態(tài).但是當(dāng)階數(shù)q=0.95,混沌吸引子突然消失，系統(tǒng)呈現(xiàn)出周期軌道； 當(dāng)q從0.948變化到0.958.系統(tǒng)發(fā)生了鞍結(jié)分岔；當(dāng)階數(shù)q>0.96，系統(tǒng)再一次呈現(xiàn)混沌狀態(tài).對應(yīng)的相圖如圖3 (a)～(b)所示,可以看出，當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)取不同的值時(shí)，系統(tǒng)的吸引子有很大的差別.

(a)q=0.95系統(tǒng)(6)的相圖

(b)q=0.98系統(tǒng)(6)的相圖圖3 當(dāng)q取不同值時(shí)，系統(tǒng)(6)的相圖

眾所周知，對于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，不等階系統(tǒng)的動力學(xué)行為比等階系統(tǒng)的要復(fù)雜很多.接下來，固定分?jǐn)?shù)階數(shù)q2=q3=0.98,以階數(shù)q1作為分岔參數(shù)，分析系統(tǒng)的動力學(xué)行為，當(dāng)q1∈[0.91,0.99]的分岔圖如圖4所示，從圖4可觀察到：當(dāng)參數(shù)q1從0.91開始，經(jīng)過一系列的倍周期分岔進(jìn)入混沌狀態(tài).例如當(dāng)q1=0.92時(shí)2-周期軌道，當(dāng)q1=0.93時(shí)4-周期軌道.并且，可以觀察到混沌系統(tǒng)當(dāng)參數(shù)q1∈[0.975,0.983]時(shí)，發(fā)生鞍結(jié)分岔和霍普夫分岔.

圖4 當(dāng)階數(shù)q1∈[0.91,0.99]時(shí)，系統(tǒng)(6)的分岔圖

3.2 系統(tǒng)參數(shù)作為分岔參數(shù)

為了更進(jìn)一步研究系統(tǒng) (6)的豐富動力學(xué)行為，固定系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階數(shù)q1=q2=q3=0.98，調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)a和b.首先以系統(tǒng)參數(shù)a作為分岔參數(shù)，分岔圖如圖5所示.

圖5 當(dāng)a∈(5.8,6.2)時(shí)，系統(tǒng)(6)的分岔圖

從圖5可以觀察出，當(dāng)參數(shù)a<5.2時(shí)，系統(tǒng)(6)呈現(xiàn)出混沌態(tài)；當(dāng)a∈[5.93,6.08]時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)一系列的周期軌道，例如周期1，周期4等等；當(dāng)分岔參數(shù)a>6.08，系統(tǒng)再一次進(jìn)入混沌態(tài).當(dāng)a=6.08時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生了霍普夫分岔.不同的參數(shù)對應(yīng)的不同吸引子如圖6所示.

(a)階數(shù)qi(i=1,2,3)=0.98、a=5.2，系統(tǒng)(6)的相圖

(b)階數(shù)qi(i=1,2,3)=0.98、a=6.8，系統(tǒng)(6)的相圖

(c)階數(shù)qi(i=1,2,3)=0.98、a=7.3，系統(tǒng)(6)的相圖

當(dāng)選取分?jǐn)?shù)階的階數(shù)為q1=q2=q3=0.91,系統(tǒng)參數(shù)a=5,調(diào)整系統(tǒng)的另一個(gè)參數(shù)b，觀察系統(tǒng)的動力學(xué)行為.

通過大量的數(shù)值計(jì)算和仿真，對于參數(shù)b,系統(tǒng)(6)的動力學(xué)行為可以概括如下:

(1)當(dāng)參數(shù)b≤175,系統(tǒng)呈現(xiàn)周期軌道，如圖7(a)所示；

(2)當(dāng)參數(shù)175

(3)當(dāng)參數(shù)b>193,系統(tǒng)呈現(xiàn)出一個(gè)混沌吸引子，如圖7(c)所示.

通過選取不同的分岔參數(shù)，對系統(tǒng)(6)的動力學(xué)行為進(jìn)行了詳細(xì)研究，結(jié)果表明，新系統(tǒng)的階數(shù)和系統(tǒng)的參數(shù)都對它的動力學(xué)行為產(chǎn)生很大的影響，不同的階數(shù)和參數(shù)，系統(tǒng)的吸引子有很大的差異.

(a)階數(shù)q1=q2=q3=0.91、b=175，系統(tǒng)(6)的相圖

(b)階數(shù)q1=q2=q3=0.91、b=180，系統(tǒng)(6)的相圖

(c)階數(shù)q1=q2=q3=0.91、b=200，系統(tǒng)(6)的相圖圖7 系統(tǒng)的階數(shù)值為q1=q2=q3=0.91，當(dāng)參數(shù)b 取不同的值時(shí)，系統(tǒng)(6)的相圖

4 分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)的投影同步

在本小節(jié)內(nèi)容，主要研究分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)的投影同步問題.非線性系統(tǒng)的同步在各個(gè)領(lǐng)域具有很大應(yīng)用前景，很多學(xué)者提出不同類型的同步.例如完全同步、相同步、內(nèi)同步、外同步研究結(jié)果已有很多[11-15].但是投影同步是比較重要的一類同步形式，接下來給出投影同步的定義[16].假設(shè)驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的方程分別如下描述：

(14)

(15)

其中：x=(x1,x2,…,xn)∈Rn,y=(y1,y2,…,yn)∈Rn分別是狀態(tài)向量;q∈(0,1]是分?jǐn)?shù)階數(shù).f,g:Rn→Rn是連續(xù)的非線性函數(shù)，U(t,x,y)是待設(shè)計(jì)的控制器.對于驅(qū)動系統(tǒng)(14)和響應(yīng)系統(tǒng)(15)，當(dāng)且僅當(dāng)下式成立

(16)

則稱兩個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了投影同步.

其中M(t)=diag(φ1(t),φ2(t)),…,φn(t))是標(biāo)度矩陣.

對于分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)(6),構(gòu)造驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)分別如下：

(17)

(18)

為了實(shí)現(xiàn)驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的同步，首先定義誤差系統(tǒng)如下：

(19)

圖8 驅(qū)動系統(tǒng)(17)和響應(yīng)系統(tǒng)(18)的誤差曲線隨時(shí)間的演化過程(當(dāng)標(biāo)度矩陣選取為M(t)=diag(sin(πt),1,2)時(shí))

根據(jù)誤差系統(tǒng)，設(shè)計(jì)如下的控制器：

(20)

為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)控制器的有效性，借助數(shù)值仿真驗(yàn)證，誤差曲線隨時(shí)間的演化過程如下：

從圖8可以看出，誤差曲線隨著時(shí)間的演化最后趨于零，表明驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)在控制器的作用下，實(shí)現(xiàn)了投影同步.

5 結(jié)論

本文提出了一個(gè)新的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng).首先，從理論上研究了系統(tǒng)的一些基本特征.其次，借助于數(shù)值仿真的方法，調(diào)整系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)，得到系統(tǒng)在不同條件下的吸引子以及分岔圖.研究結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)有不同的分岔行為，包括倍周期、霍普夫、鞍結(jié)分岔等形式.最后，對分?jǐn)?shù)階新系統(tǒng)的投影同步進(jìn)行了研究，設(shè)計(jì)了合理有效的控制器，實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動和響應(yīng)系統(tǒng)的同步控制.