曹耐，董平川*，雷剛

1 中國石油大學(xué)(北京)石油工程學(xué)院，北京 102249

2 College Petroleum of Engineering & Geoscience, King Fahd University of Petroleum and Minerals, Dhahran 31261, Kingdom of Saudi Arabia

0 引言

致密變形介質(zhì)油藏的滲流特征與常規(guī)油藏的滲流特征顯著不同[1-2]，有著其特有的滲流規(guī)律，主要表現(xiàn)為2個方面：①孔喉細小、孔喉比大、毛管壓力的影響顯著，非均質(zhì)性強，致使流體滲流偏離Darcy定律，出現(xiàn)非線性-擬線性的非Darcy滲流規(guī)律[3-4]；②實際生產(chǎn)中，儲層骨架產(chǎn)生部分或全部的不可逆變形，巖石滲透率和孔隙度降低[5-6]，對油田的動態(tài)特征有明顯的影響[7]。而且在實際開發(fā)過程中也發(fā)現(xiàn)了很多問題：難以形成有效的驅(qū)動壓力系統(tǒng)，地層壓力下降快，產(chǎn)量迅速遞減，原油有效動用率低[8-10]。

國內(nèi)外學(xué)者對介質(zhì)變形理論做了大量研究：Samaniego等考慮巖石應(yīng)力敏感和流體性質(zhì)，對儲層流體非穩(wěn)態(tài)滲流特征進行了分析[11]。熊建和李凌峰對巖心驅(qū)替實驗結(jié)果進行統(tǒng)計學(xué)分析，發(fā)現(xiàn)低滲透氣藏巖心絕對滲透率隨有效應(yīng)力增加指數(shù)下降，并基于此得到了變形介質(zhì)低滲透氣藏產(chǎn)量預(yù)測公式[12]。Samimi和Ghorbani等采用無單元數(shù)值模擬方法對變形多孔介質(zhì)中多相流體流動規(guī)律進行分析[13-14]。王美楠等結(jié)合二次梯度項及動邊界理論，對低滲透變形介質(zhì)油藏滲流規(guī)律進行了探討和分析[15]。郭平和張楠等建立了啟動壓力梯度和應(yīng)力敏感效應(yīng)共同影響下的單井產(chǎn)能模型，并分析了非達西滲流效應(yīng)對低滲透儲層單井產(chǎn)能的影響[16-17]。雷剛等基于致密砂巖氣藏中氣體非達西滲流特征，考慮儲層絕對滲透率應(yīng)力敏感效應(yīng)影響，推導(dǎo)了致密砂巖在擬穩(wěn)態(tài)流動階段的垂直裂縫井產(chǎn)能方程[18]。Pesavento等對變形介質(zhì)中多相流動研究進行了總結(jié)和分析[19]。

然而，上述研究工作基本上都以巖心實驗、介質(zhì)變形系數(shù)對單井產(chǎn)能和滲流規(guī)律影響為研究目標；針對致密油藏面積井網(wǎng)，考慮介質(zhì)變形影響的研究卻不多[20-22]。齊亞東等建立了特低滲透斷塊油藏不規(guī)則三角形井網(wǎng)有效動用系數(shù)計算模型，并以某特低滲透斷塊油藏為例，對不規(guī)則三角形井網(wǎng)有效動用系數(shù)進行了計算分析[23]。呂棟梁等建立了低滲透油田反九點井網(wǎng)面積波及效率數(shù)學(xué)模型[24]。郭粉轉(zhuǎn)等考慮啟動壓力梯度影響，建立數(shù)學(xué)模型對低滲透油田四點井網(wǎng)和五點井網(wǎng)面積波及效率進行了計算和分析[25-26]。上述研究工作對于分析低滲透油藏面積井網(wǎng)流動規(guī)律具有重大意義，但由于上述文獻并未考慮儲層的介質(zhì)變形，建立的理論模型不適于變形介質(zhì)油藏面積井網(wǎng)生產(chǎn)動態(tài)分析，需增加對變形介質(zhì)油藏面積井網(wǎng)的研究及討論。因此，從滲流理論上揭示變形介質(zhì)油藏井網(wǎng)的流動特征是提高油藏原油有效動用率亟待解決的首要問題之一。

筆者充分考慮致密油藏油水兩相滲流的非線性特征及多孔介質(zhì)變形特征，推導(dǎo)了考慮介質(zhì)變形面積井網(wǎng)的地層壓力、勢函數(shù)、流函數(shù)和平面速度計算表達式，根據(jù)物質(zhì)平衡理論及特征線方法，得到考慮介質(zhì)變形系數(shù)面積井網(wǎng)單元流場分布、油藏波及系數(shù)、見水時間和剩余油飽和度分布等生產(chǎn)指標，并研究了不同介質(zhì)變形系數(shù)對油藏生產(chǎn)影響。

1 致密介質(zhì)變形模型驅(qū)替理論

建立考慮介質(zhì)變形油水兩相滲流數(shù)學(xué)模型的假設(shè)條件為：①水平均質(zhì)等厚的無限大地層布有無限延伸的五點井網(wǎng)；②地層只有油水兩相，流體在多孔介質(zhì)中流動均為二維流動；③不考慮毛管壓力影響；④油井以定液量生產(chǎn)，注入井注入量與油井產(chǎn)液量相等；⑤多孔介質(zhì)發(fā)生變形，儲層滲透率隨壓力發(fā)生變化，而孔隙度隨壓力變化較小不予考慮。

根據(jù)基本假設(shè)條件，可以得到多孔介質(zhì)中油水兩相流體控制方程為：

油水兩相速度方程分別為：

式中k(p)為巖石絕對滲透率。研究結(jié)果表明k(p)為巖石孔隙結(jié)構(gòu)、彈性模量和泊松比等參數(shù)的函數(shù)。目前，國內(nèi)外學(xué)者主要采用指數(shù)函數(shù)來表征巖石絕對滲透率隨有效應(yīng)力的變化規(guī)律[27-28]，關(guān)系表達式為：

將方程(1～4)聯(lián)立并整理(qw+qo=0)，可以得到：

基于不變流線假設(shè)，計算地層壓力場時，不考慮流度在空間上變化，方程(5)可以變形為：

其中

2 模型計算

2.1 壓力計算

方程(6)為調(diào)和方程，采用疊加原理，計算無限大地層矩形5點井網(wǎng)穩(wěn)態(tài)壓力分布。如圖1所示，根據(jù)所建立直角坐標系可以得到，油井坐標為(2nd+md,ma)，注入井坐標(2nd+md+d,ma)，其中(m=0，±1，±2，...；n=0，±1，±2，…)。對于地層中任意點M(x,y)，第m排井排中第n口油井在M點的擬勢函數(shù)為：

其中

第m排井排中第n口注入井在M點的擬勢函數(shù)為：

圖1 矩形五點面積井網(wǎng)示意圖Fig. 1 The sketch map of rectangularfive-spot well pattern

其中

根據(jù)勢疊加原理，無窮井網(wǎng)在M點擬勢函數(shù)為：

其中

對式(9)進行處理，可以得到：

由于ψ=λtU(x,y)，可以得到：

根據(jù)無因次壓力定義，可以得到地層壓力：

其中

若注入井注入壓力為piwf，生產(chǎn)井井底壓力為pwf，則根據(jù)壓力計算公式，可得到無因次注采壓差為：

2.2 流函數(shù)計算

令vt=vo+vw，由式(2)、(3)、(4)可得：

通過方程(10)可以得到五點面積井網(wǎng)任意位置在x，y方向滲流速度：

由于dy=adyD，通過對速度積分可以得到流函數(shù)為：

式中：

2.3 有效動用系數(shù)計算

對于五點井網(wǎng)，x，y軸上主流線均為直線。主流線任意點在x方向上的滲流速度為：

由此可確定x方向上見水時間：

同理可確定y方向上見水時間：

所以可得到見水時間：

根據(jù)(12)，并利用物質(zhì)平衡方法，可得到井網(wǎng)單元有效動用系數(shù)為：

由于地層均質(zhì)，井網(wǎng)單元有效動用系數(shù)即為無窮大面積井網(wǎng)有效動用系數(shù)。

2.4 含水飽和度計算

由方程(1)、(10)可得到：

微分方程(14)特征微分方程為：

沿特征線有：

式(16)說明沿特征線含水飽和度不變，即特征線就為等飽和度線。通過式(15)得到等飽和度面運動特征方程：

求解特征方程(17)可以得到任意時間地層含水飽和度分布。

3 計算實例

為研究儲層有效動用情況，以長慶油田某低滲透砂巖實際儲層特性數(shù)據(jù)及生產(chǎn)數(shù)據(jù)為例，對推導(dǎo)的數(shù)學(xué)模型進行了計算。通過室內(nèi)巖心滲透率應(yīng)力敏感實驗，得到介質(zhì)變形系數(shù)為0.014 MPa-1。計算分析所采用的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)如表1所示。

3.1 典型壓力場、流場分布

通過計算可以得到地層壓力分布如圖2、圖3所示。圖2為地層某區(qū)塊壓力分布，圖3為地層某五點面積井網(wǎng)單元壓力分布。地層壓力場分布圖展現(xiàn)了面積井網(wǎng)生產(chǎn)特征，注入井附近區(qū)域壓力值較高，生產(chǎn)井附近區(qū)域地層壓力值較低，由于面積井網(wǎng)對稱性及地層均質(zhì)性，地層壓力表現(xiàn)為對稱分布。

圖4為地層某五點面積井網(wǎng)單元流場分布，地層流場分布圖展現(xiàn)了面積井網(wǎng)生產(chǎn)特征，近井附近區(qū)域流線密，遠井附近區(qū)域流線疏，主要原因在于近井附近區(qū)域生產(chǎn)壓差大，從而造成流線密集分布。

3.2 介質(zhì)變形系數(shù)對流場分布的影響

對于不同介質(zhì)變形系數(shù)，在流函數(shù)值相等情況下，可得到地層流線分布示意圖如圖5、圖6、圖7所示。

表1 模型基礎(chǔ)數(shù)據(jù)Table 1 The reservoir parameters of the model

圖2 區(qū)塊壓力分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 2 Pressure field distribution of formation area block(α=0.014 MPa-1)

由圖5、圖6和圖7可見，介質(zhì)變形系數(shù)越大，流線波及面積越小。主要原因在于隨著介質(zhì)變形系數(shù)增大，地層滲流阻力增大，滲流速度減小，從而導(dǎo)致流線波及面積減小。

3.3 介質(zhì)變形系數(shù)對見水時間、動用程度的影響

根據(jù)得到壓力計算公式，對于不同介質(zhì)變形系數(shù)，產(chǎn)量與生產(chǎn)壓差關(guān)系曲線圖如圖8所示。

從圖8可以看出，隨著介質(zhì)變形系數(shù)增大，產(chǎn)量增幅隨著生產(chǎn)壓差增大而減小。主要原因在于隨著生產(chǎn)壓差增大，地層滲透率降低，生產(chǎn)阻力變大，從而使得產(chǎn)量與生產(chǎn)壓差關(guān)系不再滿足達西定律。

圖3 五點面積井網(wǎng)單元壓力分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 3 Pressure field distribution of five-spot well pattern unit(α=0.014 MPa-1)

圖4 五點井網(wǎng)單元流場分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 4 Streamline distribution of 5-spot well pattern unit(α=0.014 MPa-1)

通過式(11)、(12)可計算見水時間隨介質(zhì)變形系數(shù)變化規(guī)律如圖9所示。

從圖9可以看出，見水時間隨介質(zhì)變形系數(shù)增加而增大，說明多孔介質(zhì)變形增大了滲流阻力，降低了流體滲流速度。

對于本文所給實例，當介質(zhì)變形系數(shù)為0.014 MPa-1時，油井見水時間為149.6 d，現(xiàn)場分析結(jié)果顯示油井見水時間為166 d，本文計算結(jié)果相對誤差為9.9 %，符合性較好，說明本文計算模型正確。根據(jù)式(13)可計算地層有效動用系數(shù)為11.87 %。

圖5 流場分布(α=0.013 MPa-1)Fig. 5 Streamline distribution (α=0.013 MPa-1)

圖6 流場分布(α=0.017 MPa-1)Fig. 6 Streamline distribution (α=0.017 MPa-1)

圖7 流場分布(α=0.028 MPa-1)Fig. 7 Streamline distribution (α=0.028 MPa-1)

圖8 產(chǎn)量與生產(chǎn)壓差關(guān)系圖Fig. 8 The graph of yield and production pressure drop

圖9 見水時間與介質(zhì)變形系數(shù)關(guān)系圖Fig. 9 The breakthrough time and media deformation factor

3.4 介質(zhì)變形系數(shù)對剩余油飽和度的影響

在不同介質(zhì)變形系數(shù)下，通過式(17)計算生產(chǎn)50 d后地層剩余油飽和度分布，結(jié)果如圖10和圖11所示。由圖10、圖11可見，隨著介質(zhì)變形系數(shù)增大，地層剩余油飽和度增大，說明應(yīng)力敏感效應(yīng)不利于油藏生產(chǎn)，且應(yīng)力敏感效應(yīng)越強烈，油藏采出程度越低。

3.5 介質(zhì)變形系數(shù)對水驅(qū)前緣的影響

在不同介質(zhì)變形系數(shù)下，通過式(17)計算生產(chǎn)130 d后地層含水飽和度分布，結(jié)果如圖12所示。由圖12可見，隨著介質(zhì)變形系數(shù)增大，水驅(qū)前緣移動距離減小。在同一位置，含水飽和度隨變形系數(shù)的增大而減小。說明應(yīng)力介質(zhì)變形對水驅(qū)效率有不利影響，巖石應(yīng)力效應(yīng)越強烈，水驅(qū)油效果越差。

圖10 剩余油飽和度分布(α=0.028 MPa-1)Fig. 10 Remaining oil saturation distribution (α=0.028 MPa-1)

圖11 剩余油飽和度分布(α=0.014 MPa-1)Fig. 11 Remaining oil saturation distribution (α=0.01 MPa-1)

圖12 含水飽和度與介質(zhì)變形系數(shù)關(guān)系圖Fig. 12 The water saturation with media deformation factor

4 結(jié)論

(1)基于油水兩相滲流方程，結(jié)合介質(zhì)變形方程，推導(dǎo)了考慮介質(zhì)變形的五點面積井網(wǎng)壓力、流函數(shù)解析公式。

(2)根據(jù)地層流場分布，得到油井見水時間，結(jié)合物質(zhì)平衡理論，推導(dǎo)出無因次井網(wǎng)單元有效動用系數(shù)計算公式，進而可以定量計算低滲透介質(zhì)變形油田五點面積井網(wǎng)的有效動用系數(shù)。理論計算見水時間與實際生產(chǎn)情況基本一致，相對誤差為9.9 %，符合性較好，說明本文計算模型正確。根據(jù)油水兩相滲流方程，得到了等飽和度面運動特征方程，進而可以得到地層剩余油飽和度分布。

(3)介質(zhì)變形系數(shù)造成面積井網(wǎng)動用程度降低，油藏采出程度降低。隨著介質(zhì)變形系數(shù)增大，地層滲流阻力增大，滲流速度減小，從而導(dǎo)致流線波及面積減小、油井見水時間增長；同時，由于介質(zhì)變形系數(shù)增大，生產(chǎn)阻力隨生產(chǎn)壓差的增大而增大，水驅(qū)前緣移動距離減小，進而對儲層滲透率產(chǎn)生重大影響，使產(chǎn)量與生產(chǎn)壓差的關(guān)系不再遵循達西定律，產(chǎn)量增幅變小。

符號注釋：

式中：v—為流體滲流速度，m/d；k0—巖石初始滲透率，μm2；k(p)—地層壓力為p時地層絕對滲透率，μm2；p—地層壓力，MPa；p0—初始地層壓力，MPa；kr—相對滲透率；μ—流體黏度，mPa·s；α—介質(zhì)變形系數(shù)，1/MPa；q—源匯項，1/d；φ—地層孔隙度，%；S—流體飽和度，%；t—時間，d；U—無因次壓力；λt—混合流體流度，μm2/(mPa·s)；▽—Laplace算子，表示內(nèi)積；Q—油井產(chǎn)量，m3/d；C,C1,C2—常數(shù)；r—距離，m；h—油層厚度，m；ψ—擬勢函數(shù)，m2/(d·MPa)；vt—混合流體速度，m/d；T—見水時間，d；A—井網(wǎng)單元面積；ω—積分變量；fw—Leverrett分流函數(shù)；下標：o—油相，w—水相；m—井排排數(shù)，n—油井或注入井井數(shù)，M—地層中任意點。