盧曼昕 鄧文基

(華南理工大學(xué)物理與光電學(xué)院,廣州 510641)

1 引 言

早在1980年代,有關(guān)量子霍爾效應(yīng)[1]、量子泵浦[2]和幾何相位[3]的研究已經(jīng)揭示了一些典型物理效用的拓?fù)涮匦?霍爾電導(dǎo)是嚴(yán)格量子化的,取決于磁場(chǎng)作用下二維電子氣中電子能帶的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),不依賴樣品的大小、形狀和載流子密度甚至遷移率[4-7],泵浦電荷數(shù)由量子泵浦系統(tǒng)的陳數(shù)(Chern number)所決定[8,9],它們本質(zhì)上都是量子系統(tǒng)周期絕熱演化過(guò)程中的幾何相位,又稱為Berry相位,并具有規(guī)范不變性[3,10,11].

最近十幾年,關(guān)于拓?fù)浣^緣體的發(fā)現(xiàn)再一次引發(fā)了人們對(duì)量子系統(tǒng)拓?fù)涮匦缘臉O大興趣[12-15],拓?fù)湎嚓P(guān)的科學(xué)研究迅速成為不同學(xué)科的研究熱點(diǎn)[16-19],邊緣態(tài)(edge state)、體拓?fù)洳蛔兞?bulk topological invariant)和體邊對(duì)應(yīng)(bulk-edge correspondence)已成為拓?fù)湮锢韺W(xué)的基本概念[20-23].存在受拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊緣態(tài)被認(rèn)為是拓?fù)浣^緣體的主要特征,而電子能帶的拓?fù)洳蛔兞颗c邊緣態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系通常都被歸結(jié)于系統(tǒng)的體邊對(duì)應(yīng)[16],更深刻的認(rèn)識(shí)則植根于調(diào)和分析與K-理論,涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要進(jìn)展[24].

在緊束縛近似下,本文系統(tǒng)地求解了一維二元復(fù)式晶格電子的能量本征值問(wèn)題.如所周知[20],Su-Schrieffer-Heeger (SSH)模型[25]描述最簡(jiǎn)單的拓?fù)浣^緣體.不失一般性,一維二元晶格都可以簡(jiǎn)化為Rice-Mele (R-M)模型[26],而SSH模型只是座能量為零的特例.由于空間反演對(duì)稱性破缺,座能量不為零的其他一維二元晶格都被認(rèn)為是拓?fù)淦接沟?其電子能帶的Zak相位不能作為描述拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湎嗟耐負(fù)洳蛔兞縖22,27].然而,只要原胞內(nèi)兩原子之間的躍遷矩陣元小于最近鄰原胞間躍遷矩陣元,邊緣態(tài)不僅可以存在于SSH拓?fù)渚Ц?而且也可以存在于拓?fù)淦接沟腞-M晶格,且兩種類型的邊緣態(tài)都對(duì)非對(duì)角(躍遷矩陣元)無(wú)序是魯棒的.

本文第2節(jié)在緊束縛近似下系統(tǒng)地研究了一維二元晶格中電子的能量本征態(tài),并根據(jù)推廣的布洛赫定理[28]獲得了有限晶格邊緣態(tài)的解析表達(dá)式;第3節(jié)計(jì)算了電子能帶的Zak相位和纏繞數(shù)(winding number),討論了邊緣態(tài)的存在性和魯棒性(robust);第4節(jié)是簡(jiǎn)單小結(jié).

2 緊束縛模型及其電子態(tài)

2.1 無(wú)限晶格

考慮無(wú)限長(zhǎng)的理想一維二元晶格,每個(gè)原胞包含A和B兩個(gè)原子.在緊束縛近似下,電子的能量本征方程寫(xiě)作[20]

其中E為能量本征值;εα表示格點(diǎn)α的座能量,對(duì)A和B兩種不同原子,可以分別取不同的數(shù)值εA和 εB;tαβ標(biāo)記電子由格點(diǎn) α到格點(diǎn) β 的躍遷矩陣元;φα是電子波函數(shù),α遍歷所有格點(diǎn),對(duì) β 的求和只包含格點(diǎn)α的左右最近鄰.不失一般性,A和B原子的座能量可設(shè)為 εA=V=-εB;躍遷矩陣元取正實(shí)數(shù),原胞內(nèi)和原胞間最近鄰原子的躍遷矩陣元分別記作 tv和 tw,如圖1(a)所示;為簡(jiǎn)單起見(jiàn),以原胞尺寸為長(zhǎng)度單位,即相鄰的兩個(gè)同類原子的間距為 1 .所以一維二元復(fù)式晶格的緊束縛近似總是簡(jiǎn)化為R-M模型[26];特別地,當(dāng)A和B原子的座能量相同,即 V=0 時(shí),退化為SSH模型[25].

根據(jù)布洛赫定理,一維二元復(fù)式晶格中電子的能量本征函數(shù)可普遍地假設(shè)為布洛赫行波,即

其中n為長(zhǎng)鏈中的原胞序數(shù);φA和 φB分別表示A和B子晶格上布洛赫波的復(fù)數(shù)振幅;k為布洛赫波矢,且可以限定 k ?[0,2π).代入(1)式可得

圖1 (a)R-M緊束縛模型,tv和 t w 分別表示原胞內(nèi)和原胞間電子的躍遷矩陣元;(b),(c)分別為無(wú)限SSH晶格和R-M晶格的電子能譜;藍(lán)色實(shí)線和紅色點(diǎn)線分別取tv=tw=1和tv=0.8,tw=1.2,R-M晶格 V=0.2;(d),(e)分別展示包含15個(gè)原胞的有限SSH晶格和R-M晶格的能量本征值隨躍遷矩陣元的變化,tv=1+cosθ,tw=1-cosθ;當(dāng) tv＜tw時(shí),兩者都涌現(xiàn)出一對(duì)邊緣態(tài)Fig.1.(a)Schematic diagram of tight-bonding R-M model,tvand t w denote the intracellular and intercellular hopping elements,respectively;(b)and (c)are energy spectrum of electron in infinite SSH model and R-M model,where the solid blue lines are drawn for tv=tw=1,and the red dot line for tv=0.8,tw=1.2,and V=0.2 for R-M model;(d)and (e)shown the eigen energies of electron in finite (15 cells)SSH lattice and R-M lattice varying with the hopping elements,tv=1+cosθ,tw=1-cosθ;for both of them,a couple of edge states emerge when tv＜tw.

能量本征值和本征函數(shù)分別為

和

值得指出的是,這一能量-波矢共同本征態(tài)波函數(shù)具有一個(gè)相位不確定性.

若V=0,R-M模型簡(jiǎn)化為SSH模型,能量本征值和本征函數(shù)(4)和(5)式分別簡(jiǎn)化為

和

其中幺模復(fù)數(shù)

由(4)式可知,R-M晶格中電子的能帶結(jié)構(gòu)受tv,tw和V三個(gè)參數(shù)的調(diào)控,上下能帶之間的帶隙為

只有當(dāng)V=0,即退化為SSH晶格時(shí)才能通過(guò)調(diào)節(jié)兩個(gè)躍遷矩陣元tv和tw的相對(duì)取值閉合能隙,實(shí)現(xiàn)量子拓?fù)湎嘧?如圖1(b)和圖1(c)所示.

2.2 有限晶格

實(shí)際樣品均為有限晶格,拓?fù)淠軒Ю碚撝豢紤]包含N個(gè)完整原胞的情形.如果忽略晶格的表面效應(yīng),將這樣一段原子鏈?zhǔn)孜蚕噙B,它與無(wú)限晶格的主要差別就是采用了周期性邊條件,即從而波矢取N個(gè)分離值,即

并以熱力學(xué)極限N→∞近似描述晶格的電子結(jié)構(gòu).由于存在受對(duì)稱性保護(hù)的邊緣態(tài)是拓?fù)浣^緣體的主要特征,通常采取自然邊條件,假設(shè)電子被完全限制在有限晶格內(nèi),即

此時(shí)晶格的平移對(duì)稱性被破壞,電子的能量本征態(tài)不再是簡(jiǎn)單的布洛赫波.

在采用推廣的布洛赫定理求解有限晶格能量本征態(tài)的新方案中[28],仍然假定波函數(shù)的試探解為(2)式的形式,但不再預(yù)設(shè)波矢取實(shí)數(shù),即更一般地假設(shè)k=β+iα.代入本征方程(3)可得

顯然,為了確保能量本征值為實(shí)數(shù),復(fù)波矢的允許值分成兩大類：或者波矢只有實(shí)部 β,虛部α=0;或者波矢可以具有非零的虛部α,但實(shí)部只能取特殊的值,即β=0 或者 π .

首先關(guān)注波矢為實(shí)數(shù)的情形.仍然得到(4)式的正負(fù)兩支能帶和(5)式中的對(duì)應(yīng)波函數(shù).對(duì)于有限晶格,還需保證波函數(shù)滿足邊條件(11)式.注意到能量本征值是波矢的偶函數(shù),相向而行的兩個(gè)布洛赫波是能量簡(jiǎn)并的,所以它們適當(dāng)?shù)木€性疊加才可能給出有限晶格中擁有同一本征值的能量本征態(tài).設(shè)

其中原胞序數(shù)n=0,1,2,···,N+1.代入(11)式可得

若tv=tw,它在區(qū)間[ 0,2π)內(nèi)共有 2 (N+1)個(gè)實(shí)數(shù)解,其中僅有開(kāi)區(qū)間 (0,π)內(nèi)N個(gè)實(shí)波矢態(tài)可按(13)式疊加成有限晶格的2N個(gè)能量本征態(tài),即

類似地,若tv＞tw,仍然可以按(15)式在開(kāi)區(qū)間(0,π)內(nèi)求得N個(gè)實(shí)波矢并按(13)式疊加成有限晶格的2N個(gè)能量本征態(tài);但是,若tv＜tw,則方程(15)在開(kāi)區(qū)間 (0,π)內(nèi) 只有N-1 個(gè)實(shí)數(shù)解,且只能按(13)式疊加形成有限晶格的 2 (N-1)個(gè)駐波形式的能量本征態(tài),缺失的兩個(gè)能量本征態(tài)的波矢必定具有非零的虛部.

考慮k=π +iα的情形,則由(12)式可得正負(fù)兩支能帶為

注意到E±(π-iα)=E±(π +iα),為了得到滿足邊條件(11)式的能量本征態(tài),可設(shè)

其中n=0,1,2,···,N+1.代入(11)式可得

顯然,在 0＜tv＜tw的前提下,這個(gè)關(guān)于 α的超越方程的確存在一對(duì)實(shí)數(shù)解,并由(18)式得出一對(duì)能量本征態(tài),即

作為對(duì)比,圖1(d)和圖1(e)分別展示了有限SSH晶格(V=0)和R-M晶格(V=0.2)中電子的能量本征值隨原胞內(nèi)躍遷矩陣元tv和原胞間躍遷矩陣元tw的變化方式.為圖中曲線不要過(guò)分密集,晶格只包含了15個(gè)完整原胞,僅30個(gè)原子.注意到這個(gè)二能帶結(jié)構(gòu)取決于兩個(gè)躍遷矩陣元的比值tv/tw,可采用一個(gè)參量 0≤ θ≤π 描述全部可能情形,即tv=1+cosθ,tw=1-cosθ.值得關(guān)注的是,無(wú)論是SSH拓?fù)渚Ц襁€是反演對(duì)稱性破缺的R-M拓?fù)淦接咕Ц?當(dāng)θ變化跨越θ=π/2的臨界點(diǎn)都涌現(xiàn)一對(duì)邊緣態(tài),即在射線tv=tw將tv-tw平面分割為不同的兩相,若 0≤tv＜tw則存在邊緣態(tài),若 0≤tw＜tv則無(wú)邊緣態(tài).圖2進(jìn)一步給出了有限R-M晶格中典型能量本征態(tài)波函數(shù)的數(shù)值計(jì)算結(jié)果,它們與根據(jù)推廣的布洛赫定理求得的解析解完全吻合.

圖2 一維二元有限晶格的邊緣態(tài)(其中30個(gè)原胞數(shù)包含60個(gè)格點(diǎn),參數(shù)取θ=0.58π,即tv=0.75,tw=1.25)(a)有限SSH晶格V=0,兩個(gè)邊緣態(tài)都同時(shí)出現(xiàn)在晶格的兩端,它們的本征能量都逼近于零;(b)有限R-M晶格V=0.2,紅色空心圓和藍(lán)色實(shí)心圓點(diǎn)分別表示逼近上能帶底和下能帶頂兩個(gè)邊緣態(tài),分別局域在晶格的左右端Fig.2.Edge states of electron in one-dimensional two-tile finite lattice;the parameters are taken as 30 cells (60 atoms),θ=0.58π,i.e.tv=0.75,tw=1.25 ：(a)V=0 for SSH lattice,the eigen-energy values of the two edge states approach to zero,and each of the edge states appears at two ends of the lattice;(b)V=0.2 for R-M lattice,the red hollow circles stand for the edge state near the upper band,the blue solid dot for the edge state near the lower band;one of them is localized at the left end,and the other at the right end.

3 拓?fù)洳蛔冃耘c邊緣態(tài)

拓?fù)鋵W(xué)主要研究幾何對(duì)象在連續(xù)變換下保持不變的特性,即拓?fù)洳蛔兞?拓?fù)淠軒Ю碚撘越^緣體哈密頓量的絕熱變型(adiabatic deformation)過(guò)程中保持不變的物理量如陳數(shù)、幾何相位或纏繞數(shù)等來(lái)區(qū)分和定義系統(tǒng)不同的拓?fù)湎?受對(duì)稱性保護(hù)的邊緣態(tài)也常常被認(rèn)為是拓?fù)湎嗟臉?biāo)志[16-22].

3.1 Zak相位

Zak相位是Berry相位在晶格電子能帶問(wèn)題的重要推廣,能帶n的Zak相位定義為[11,22]

其中φn(k)≡φn(k)e-ikn和(k)分別表示布洛赫波的調(diào)制振幅及其厄米共軛,波矢k的積分覆蓋布里淵區(qū),包含該能帶中的全部能量本征態(tài).Zak相位可用于描述一維周期晶格能帶的拓?fù)涮匦?通常認(rèn)為Zak相位取 0 的電子能帶是拓?fù)淦接沟?若非零且為 π 的整數(shù)倍才是拓?fù)淠軒?并且無(wú)限晶格的拓?fù)淠軒Э偘殡S著有限晶格的邊緣態(tài).

將(7)式代入(22)式,計(jì)算可得SSH晶格上下能帶的Zak相位相等,即

其中,±分別表示上下能帶,Δarg (dk)表示在波矢k由0到2π的變化過(guò)程中,復(fù)數(shù)dk幅角的增量.注意到這一增量正比于復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)dk圍繞原點(diǎn)的纏繞數(shù),不難得到

若tw=tv,則SSH晶格的二聚化消失,退化為簡(jiǎn)單原子鏈.

將(5)式的布洛赫波函數(shù)代入(22)式,可得R-M晶格上下能帶Zak相位,即

并且

但由于空間反演對(duì)稱性破缺,不能保證R-M晶格Zak相位的取值為0或 π 的整數(shù)倍.如圖3所示,SSH晶格的Zak相位只取 0 和 π 兩個(gè)分離值,作為拓?fù)洳蛔兞糠謩e標(biāo)志拓?fù)淦接瓜嗪屯負(fù)湎?與此不同,隨著躍遷矩陣元相對(duì)取值tv/tw=cot2(θ/2)的變 化,R-M晶 格 的γ+和γ-可 以 連 續(xù) 改 變;若以Zak相位作為拓?fù)洳蛔兞?則座能量變化的一維二元晶格都將被認(rèn)為是拓?fù)淦接沟?盡管γ+在tv=tw臨界點(diǎn)發(fā)生不連續(xù)躍變,且伴隨著能隙內(nèi)一對(duì)分別靠近導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂?shù)倪吘墤B(tài)的涌現(xiàn).

圖3 一維二元晶格的Zak相位隨躍遷矩陣元的變化,其中紅線表示SSH模型的Zak相位,且γ+=γ-;黑色實(shí)線和虛線分別是R-M晶格(V=0.2)上下能級(jí)的Zak相位γ+ 和 γ-Fig.3.Zak phases variation with the hopping elements and site energy.The red line presents the Zak phase for SSH model,andγ+=γ-.For the R-M lattice withV=0.2,the black solid line and dotted line showγ+ andγ-,respectively.

3.2 纏繞數(shù)

纏繞數(shù)是刻畫(huà)SSH模型電子能帶拓?fù)湫再|(zhì)的另一個(gè)常用的拓?fù)洳蛔兞縖20,22].由能量本征方程(3)可得R-M模型的體哈密頓量,即

其中,三維矢量d(k)≡(tv+twcosk,twsink,V);σ≡(σx,σy,σz)為贗自旋的泡利矩陣,描寫(xiě)原胞內(nèi)A和B格點(diǎn)的自由度;若V=0 則退化為SSH模型.(27)式中哈密頓量的能量本征態(tài)是贗自旋空間中沿d(k)方向(或反方向)的單位矢量,即=d/|d|,而它繞贗自旋空間z軸的纏繞數(shù)可以定量地表述為[22]

如所周知,隨波矢k由0連續(xù)變化增大到 2π,平面矢量dxy(k)≡(tv+twcosk,twsink,0)繞原點(diǎn)的纏繞數(shù)可以描述SSH能帶的不同拓?fù)湎啵喝魌v＞tw則纏繞數(shù)為 0,能帶是拓?fù)淦接沟?若tv＜tw則纏繞數(shù)為 1,能帶是拓?fù)涞?與采用Zak相位給出一致的結(jié)論.

方程(15)和(20)是否存在虛數(shù)波矢解完全由(8)式中的幺模復(fù)數(shù)dk所決定,R-M晶格存在邊緣態(tài)的充分必要條件仍然是tv＜tw,與座能量V的取值無(wú)關(guān).所以平面矢量dxy(k)繞原點(diǎn)的纏繞數(shù),或者矢量d(k)繞贗自旋空間z軸的纏繞數(shù)可作為R-M晶格存在邊緣態(tài)的判據(jù)：若纏繞數(shù)由 0 變到1,則有限一維二元晶格帶隙中涌現(xiàn)一對(duì)逼近導(dǎo)帶底和價(jià)帶頂?shù)倪吘墤B(tài).

3.3 邊緣態(tài)的魯棒性

拓?fù)浞€(wěn)定性是邊緣態(tài)的重要性質(zhì).考慮雜質(zhì)或無(wú)序?qū)﹄娮討B(tài)的影響和改變,是檢驗(yàn)其魯棒性的簡(jiǎn)單方法.注意到一維二元有限晶格總可以涌現(xiàn)一對(duì)邊緣態(tài),有必要比較雜質(zhì)或無(wú)序?qū)SH邊緣態(tài)和R-M邊緣態(tài)的不同影響.

圖4 非對(duì)角無(wú)序?qū)δ茏V和邊緣態(tài)的影響(非對(duì)角無(wú)序的幅度為ξ=0.5,躍遷矩陣元tv=0.75,tw=1.25)(a),(b)分別是包含15個(gè)原胞的有限SSH晶格和R-M晶格的能譜;(c),(d)分別是包含30個(gè)原胞的有限SSH晶格和R-M晶格的邊緣態(tài)Fig.4.Effects of non-diagonal disorder on the energy spectrum and the edge states.The strength of the off-diagonal disorder is taken ofξ=0.5,hopping elementstv=0.75,tw=1.25 .Panels (a)and (b)present the spectrums of finite SSH lattice and R-M lattice consist of 15 unit cells,respectively;(c)and (d)show the edge states of electron in the finite SSH lattice and the R-M lattice of 30 unit cells.

4 結(jié) 論

結(jié)合數(shù)值與解析的方法求解了一維二元復(fù)式晶格電子能量本征值問(wèn)題,包括得到有限晶格邊緣態(tài)的解析表達(dá)式.在有限晶格中,電子的布洛赫波矢不必一定為實(shí)數(shù),其能量本征態(tài)是能量簡(jiǎn)并的布洛赫態(tài)的疊加態(tài),它們大多仍然是遍布體內(nèi)的駐波態(tài),但在tv＜tw條件下將涌現(xiàn)一對(duì)局域于晶格端點(diǎn)的邊緣態(tài).

與SSH有限晶格一樣,在tv＜tw條件下,R-M有限晶格也可以涌現(xiàn)出一對(duì)邊緣態(tài).盡管與SSH邊緣態(tài)對(duì)稱地局域分布于晶格兩端有所不同,兩個(gè)R-M邊緣態(tài)分別局域分布于有限R-M晶格的兩端,但它們對(duì)非對(duì)角無(wú)序具有類似的魯棒性.雖然空間反演對(duì)稱性破缺的R-M晶格是拓?fù)淦接沟?其Zak相位和纏繞數(shù)都不再是拓?fù)洳蛔兞?但纏繞數(shù)仍然可以作為其對(duì)應(yīng)的一維二元晶格存在邊緣態(tài)的一般判據(jù).