李宏 張斯淇 郭明 李美萱 宋立軍?

1)(吉林工程技術(shù)師范學(xué)院量子信息技術(shù)交叉學(xué)科研究院,長(zhǎng)春 130052)

2)(吉林省量子信息技術(shù)工程實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)春 130052)

1 引 言

單光子源在量子光學(xué)領(lǐng)域至關(guān)重要,理想的單光子源在量子信息和量子通信領(lǐng)域意義重大.1997年,Imamoglu等[1]首次提出光子阻塞的概念,光子阻塞效應(yīng)是實(shí)現(xiàn)單光子源的方法之一.2010年,Liew和Savona[2]在弱Kerr非線(xiàn)性條件下仍獲得強(qiáng)的反聚束效應(yīng),首次提出非常規(guī)光子阻塞的概念.近年來(lái),腔光力系統(tǒng)在理論和實(shí)驗(yàn)上都取得了快速的發(fā)展[3-7],為量子現(xiàn)象和光學(xué)效應(yīng)研究提供了新途徑,尤其在非線(xiàn)性方面為光子阻塞機(jī)制實(shí)現(xiàn)單光子源奠定了基礎(chǔ).Birnbaum等[8]首次在腔量子電動(dòng)力學(xué)(quantum electro-dynamics,QED)系統(tǒng)中成功觀(guān)測(cè)到光子阻塞效應(yīng)以來(lái),人們分別在耦合空腔陣列[9,10]、一維光波導(dǎo)[11]、量子腔耦合系統(tǒng)[12]、光學(xué)系統(tǒng)[13-22]和電路Q(chēng)ED系統(tǒng)[23]中觀(guān)測(cè)到光子阻塞現(xiàn)象.在實(shí)現(xiàn)非常規(guī)光子阻塞方面同樣進(jìn)展迅速,如耦合單量子點(diǎn)腔系統(tǒng)[24]、有損雙模納米諧振腔系統(tǒng)[25,26]、三階非線(xiàn)性耦合的單模腔[11,15,27]、二階非線(xiàn)性耦合腔[10,28]、高斯壓縮態(tài)[29]和耦合光機(jī)械系統(tǒng)[30]等均觀(guān)測(cè)到了非常規(guī)光子阻塞現(xiàn)象.2018年,Wicz等[31]利用非互易量子光學(xué)首次揭示了依賴(lài)方向的光子阻塞效應(yīng).同年,石海泉等[32]在多模光力系統(tǒng)中研究了非傳統(tǒng)聲子阻塞效應(yīng).

本文研究基于包含簡(jiǎn)并光學(xué)參量放大(optical parametric amplifier,OPA)的Fabry-Perot腔內(nèi)實(shí)現(xiàn)非常規(guī)光子阻塞的可能性.盡管相關(guān)系統(tǒng)與內(nèi)容已經(jīng)有人研究,但本文包含復(fù)合型驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的相位,并解析給出包含此相位的最優(yōu)化條件.通過(guò)數(shù)值模擬,驗(yàn)證了優(yōu)化條件的有效性.研究發(fā)現(xiàn)復(fù)合型驅(qū)動(dòng)的相位對(duì)非常規(guī)光子阻塞效應(yīng)有著顯著的影響.

2 物理模型

考慮典型的光力系統(tǒng)：在Fabry-Perot腔中包含簡(jiǎn)并的OPA裝置,如圖1(a)所示,系統(tǒng)的哈密頓量可以寫(xiě)為[33]

其中a(a?)是 光模的降(升)算符,ωa是腔場(chǎng)的共振頻率,ωl是驅(qū)動(dòng)激光頻率,?eiφ是復(fù)合型驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度,G是OPA的非線(xiàn)性增益,θ是外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)OPA的相位.

假設(shè)驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度?非常小,通過(guò)U=exp[iωlta?a]旋轉(zhuǎn)變換,有效哈密頓量變?yōu)?/p>

其中Δa=ωa-ωl表示腔的失諧量.在下面的研究中,主要探索相位φ對(duì)光子阻塞的影響.

圖1 (a)用激光抽運(yùn)OPA,在腔內(nèi)產(chǎn)生參量放大的腔結(jié)構(gòu)示意圖;(b)量子干涉系統(tǒng)的躍遷路徑Fig.1.(a)Schematic diagram of the cavity setup with an OPA which is pumped by a laser to produce parametric amplification in the cavity;(b)transition paths of the system for quantum interference.

用等時(shí)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)分析光子阻塞效應(yīng),其表達(dá)式如下：

二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(0)＞1 表示光子存在聚束效應(yīng),會(huì)極大提高腔內(nèi)雙光子存在的概率,反之g(2)(0)＜1表示光子存在反聚束效應(yīng),會(huì)有效抑制腔內(nèi)雙光子存在的概率.如果二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(0)!0,表示系統(tǒng)處于完全光子阻塞機(jī)制下,腔內(nèi)同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)光子的概率趨近于零.

考慮到系統(tǒng)的耗散,系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化過(guò)程可以由如下主方程描述：

其中κ表示腔的耗散率.通過(guò)數(shù)值求解主方程得到穩(wěn)態(tài)解

3 數(shù)值結(jié)果

圖2 等時(shí)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(0)隨OPA非線(xiàn)性增益G的變化?/κ=0.01,θ=-0.0341π,Δa=1Fig.2.Variation curves of the zero-time-delay second-order correlation functiong(2)(0)with the nonlinear gainGof the OPA.Other parameters are?/κ=0.01,θ=-0.0341π,Δa=1.

圖3 等時(shí)二階關(guān)聯(lián)函數(shù) l g[g(2)(0)]數(shù)值結(jié)果隨OPA非線(xiàn) 性 增 益G和 相 位θ的 等 高 線(xiàn) 圖?/κ=0.01,Δa=1,φ=0.5radFig.3.C[ontour p]lot of the second-order correlation functions l gg(2)(0)vs.the nonlinear gainGof the OPA and phaseθ.Other parameters are?/κ=0.01,Δa=1,φ=0.5rad.

本文所有計(jì)算結(jié)果都是基于弱驅(qū)動(dòng)條件,令?/κ=0.01,數(shù)值模擬結(jié)果如圖2和圖3所示.為方便起見(jiàn),將耗散率κ歸一化.在圖2中,展示了關(guān)聯(lián)函數(shù)數(shù)值計(jì)算結(jié)果隨相位φ和G的變化,結(jié)果表明對(duì)于不同的G存在光子反聚束效應(yīng).相位φ分別取0.5,0.8和1.2 rad,數(shù)值結(jié)果表明φ=0.5rad時(shí)對(duì)應(yīng)優(yōu)化的強(qiáng)反聚束效應(yīng).為了[得到對(duì)應(yīng)]反聚束效應(yīng)的優(yōu)化參數(shù),圖3展示了 l gg(2)(0)隨OPA非線(xiàn)性增益G和相位θ的等高線(xiàn)圖,其他參數(shù)為φ=0.5rad,Δa=1 .由圖3可見(jiàn),在一小區(qū)域內(nèi)g(2)(0) 1,這區(qū)域內(nèi)選定參數(shù)可實(shí)現(xiàn)強(qiáng)的反聚束效應(yīng).

4 光子阻塞最優(yōu)條件

系統(tǒng)演化過(guò)程用Fock態(tài)表示,假設(shè)初始時(shí)刻處在j0i態(tài) 上,系統(tǒng)含時(shí)演化的態(tài)jΨi為

其中Cm(m=0,1,2)表示量子態(tài)的概率幅,通過(guò)求解薛定諤方程可得到Cm,考慮到系統(tǒng)的耗散情況,此時(shí)薛定諤方程為

有效非厄米哈密頓量

通過(guò)對(duì)系數(shù)耦合方程組的求解,可以得到穩(wěn)態(tài)解.當(dāng)態(tài)j2i等于0時(shí),系統(tǒng)可達(dá)到完全光子阻塞效應(yīng),在此條件下可以解出光子阻塞的最優(yōu)化條件.因此,在(9)式中,令C2=0,在弱驅(qū)動(dòng)條件下,方程(9)中第一個(gè)式子總是近似滿(mǎn)足,所以只需考慮最后兩個(gè)方程進(jìn)行計(jì)算：

為了保證C0和C1有非奇異解,可解析給出優(yōu)化條件

和

其中“opt”表示G和θ的優(yōu)化解.值得一提的是,這些條件取決于腔失諧、驅(qū)動(dòng)激光振幅和復(fù)合驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的相位.由于最優(yōu)條件與驅(qū)動(dòng)OPA的抽運(yùn)場(chǎng)參數(shù)相對(duì)應(yīng),所以這些參數(shù)可以通過(guò)調(diào)節(jié)OPA抽運(yùn)場(chǎng)來(lái)控制.當(dāng)最優(yōu)條件(11)和(12)式同時(shí)滿(mǎn)足時(shí),可獲得較強(qiáng)的反聚束效應(yīng).

把方程(6)代入方程(3),在弱耦合條件下,態(tài)的概率幅滿(mǎn)足C0C1C2,此時(shí)得到等時(shí)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)

在弱抽運(yùn)極限下,基態(tài)布居數(shù)近似為1,其他能級(jí)布居數(shù)微乎其微,可忽略不計(jì),在這種情況下,方程(9)變?yōu)?/p>

求解(14)式得到

通過(guò)數(shù)值求解方程(3)模擬了 l g[g(2)(0)]隨外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)OPA的相位θ和復(fù)合型驅(qū)動(dòng)相位φ變化的等高線(xiàn)圖,結(jié)果如圖4所示.其中G滿(mǎn)足(11)式,即G=Gopt.其中紅色虛線(xiàn)由(11)式畫(huà)出,研究發(fā)現(xiàn)非常規(guī)光子阻塞發(fā)生的地方正好是[G取最]優(yōu)值的地方.同樣地,在圖5中,模擬了 l gg(2)(0)隨非線(xiàn)性增益G和復(fù)合型驅(qū)動(dòng)相位φ變化的等高線(xiàn)圖,其中θ滿(mǎn)足(12)式,即θ=θopt.其中紅色虛線(xiàn)部分由(12)式畫(huà)出,發(fā)現(xiàn)非常規(guī)光子阻塞發(fā)生的地方正好是θ取最優(yōu)值的地方.由此可知,光子的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)可以通過(guò)改變復(fù)合型驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度的相位φ、OPA的非線(xiàn)性增益G和外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)OPA的相位θ來(lái)調(diào)節(jié).系統(tǒng)的躍遷路徑如圖1(b)所示,雙光子激發(fā)共有2條躍遷路徑,一條是由驅(qū)動(dòng)場(chǎng)激發(fā)從j0i態(tài)到j(luò)1i態(tài),然后從j1i態(tài) 再到j(luò)2i態(tài);另一條是 OPA作用直接從j0i態(tài) 到j(luò)2i態(tài).當(dāng)滿(mǎn)足阻塞優(yōu)化條件時(shí),這兩條路徑上的光子發(fā)生量子干涉相消,干涉的結(jié)果為光子不能占據(jù)j2i態(tài),所以發(fā)生強(qiáng)反聚束效應(yīng),即產(chǎn)生光子阻塞效應(yīng).

圖4 等時(shí)二 階 關(guān)聯(lián)函數(shù) l g[g(2)(0)]數(shù) 值結(jié)果隨 相 位 θ 和φ的等高線(xiàn)圖 ? /κ=0.01,Δa=1,G=GoptFig.4.C[ontour p]l ot of the second-order correlation functions l gg(2)(0)vs.the phase θ and φ .Other parameters are ? /κ=0.01,Δa=1,G=Gopt.

圖5 等時(shí)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)lg[g(2)(0)]數(shù)值結(jié)果隨OPA非線(xiàn)性增益G和相位φ變化的等高線(xiàn)圖?/κ=0.01,Δa=1,G=GoptFig.5.C[ontour p]lot of the second-order correlation functions l gg(2)(0)vs.the nonlinear gain of the optical parametric amplifier G and phase φ .Other parameters are?/κ=0.01,Δa=1,G=Gopt.

在圖6中,分別數(shù)值模擬了二階關(guān)聯(lián)函數(shù)g(2)(0)隨 非線(xiàn)性增益 G 和相位 θ 的變化.圖6(a)為模擬得到的 g(2)(0)隨 G 的變化曲線(xiàn),藍(lán)色實(shí)線(xiàn)是由數(shù)值求解方程(3)得到的,紅色菱形是由(13)和(15)式得到的解析結(jié)果,其中 θ=θopt和 φ=0.5rad;圖6(b)為模擬得到的 g(2)(0)隨 θ 的變化曲線(xiàn),藍(lán)色實(shí)線(xiàn)是由數(shù)值求解方程(3)得到的,紅色圓形是由(13)和(15)式得到的解析結(jié)果,其中 G=Gopt和φ=0.5rad.可以看出數(shù)值模擬與解析結(jié)果相符合,說(shuō)明了解析結(jié)果的正確性.

5 結(jié) 論

圖6 (a)二階關(guān)聯(lián)函數(shù) g (2)(0)隨OPA非線(xiàn)性增益 G 的變化,其中藍(lán)色實(shí)線(xiàn)由數(shù)值求解方程(3)得出,紅色菱形由(13)和(15)式解析得出;其他參數(shù)為Δa=1,?/κ=0.01,φ=0.5rad,θ=θopt;(b)二階 關(guān) 聯(lián) 函數(shù) g (2)(0)隨 相位 θ 的變化,藍(lán)色實(shí)線(xiàn)由數(shù)值求解方程(3)得出,紅色圓形由(13)和(15)式解析得出;其他參數(shù)為Δa=1,?/κ=0.01,φ=0.5rad,G=GoptFig.6.(a)The second-order correlation functionsg(2)(0)vs.the nonlinear gain of the optical parametric amplifier G;the blue solid line indicates the numerical results by numerically solving Eq.(3)and the red diamond corresponds to the analytical results of Eq.(13)and Eq.(15);other parameters are Δa=1,?/κ=0.01,φ=0.5rad,θ=θopt;(b)the second-order correlation functions g (2)(0)vs.the phase θ;the blue solid line indicates the numerical results by numerically solving Eq.(3)and the red diamond corresponds to the analytical results of Eq.(13)and Eq.(15).Other parameters areΔa=1,?/κ=0.01,φ=0.5rad,G=Gopt.

本文研究了在Fabry-Perot腔和OPA復(fù)合系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)非常規(guī)光子阻塞效應(yīng),給出了光子阻塞出現(xiàn)的最優(yōu)化條件.研究發(fā)現(xiàn),可以通過(guò)調(diào)整復(fù)合驅(qū)動(dòng)強(qiáng)度中的相位來(lái)實(shí)現(xiàn)光子反聚束效應(yīng).本文考慮了弱驅(qū)動(dòng)和弱非線(xiàn)性條件,通過(guò)選擇最優(yōu)解,從數(shù)值和解析兩方面論證了系統(tǒng)的強(qiáng)反聚束現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)數(shù)值模擬與解析結(jié)果是一致的.本研究為精確控制光子阻塞提供了方案,并為制備優(yōu)良單光子源提供了理論基礎(chǔ).