王萍莉,牛裕琪,趙艷敏,王芬玲,史艷華

(許昌學院數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 許昌461000)

1.引言

本文考慮如下二維時間分數(shù)階擴散方程(TFDE)

其中? ?R2是x-y平面上具有Lipschitz連續(xù)邊界??的有界凸區(qū)域,u0(x,y)和f(x,y,t)是給定的適當光滑函數(shù),為Caputo導數(shù),其定義如下

其中Γ(·)是Gamma函數(shù).

分數(shù)階偏微分方程(FPDEs)是傳統(tǒng)模型的擴展,基于分數(shù)微積分的定義發(fā)展起來的，因而根據(jù)定義的方式通常分為時間分數(shù)階,空間分數(shù)階及時空分數(shù)階偏微分方程.隨著FPDEs的不斷發(fā)展,可以發(fā)現(xiàn)其在越來越多的領域內均有重要的應用[1?4],故而人們對其日益重視.從分數(shù)階導數(shù)的定義知道其具有非局部性質,因而相對于整數(shù)階方程來說,分數(shù)階偏微分方程在聲波衰減,物質記憶及遺傳性質,連續(xù)時間隨機游走過程等方面具有更明顯的優(yōu)勢.但對于大多數(shù)FPDEs來說,尋找它們的解析解比較困難,因而尋找其有效的數(shù)值求解方法成了眾多學者研究的熱點之一.針對時間分數(shù)階偏微分方程(TFPDEs)的數(shù)值方法大致分為直接數(shù)值算法和間接數(shù)值算法.早期關于TFPDEs的處理常常采用間接方法,將其轉化為積分微分方程進行求解[5?6].直接方法是對時間分數(shù)階導數(shù)進行直接逼近的數(shù)值方法[7?9],由于直接方法實施起來較直接簡便,因而深受研究者的關注,其中最常見的一種格式即為L1逼近方法.

關于TFPDEs人們研究了多種數(shù)值求解方法,如文[1,8,10-11]中考慮了其有限差分方法,文[12-13]中采用了譜方法,文[15-21]考慮了其有限元方法,除此之外還有許多其他的數(shù)值求解方法[22?23].關于有限元方法,在整數(shù)階偏微分方程方面我們己有些研究成果[24?32].其中文[24-25]分別研究了Hermite型矩形元対橢圓方程及廣文神經(jīng)傳播方程的高精度分析,均得到了超逼近結果.文[29]中提出了Ritz投影與插值算子相結合的技巧,同時該技巧也被應用于其他方程[31?32],也得到較為理想的結果.

本文在空間和時間部分分別采用Hermite型矩形有限元方法及L1逼近格式,針對TFDE 建立了一個無條件穩(wěn)定的全高散逼近格式,利用投影與插值算子相結合的技巧,并巧妙的處理分數(shù)階導數(shù)對其進行了高精度數(shù)值逼近.首先,利用L1逼近的性質及數(shù)學歸納法證明了其逼近格式的穩(wěn)定性; 其次,基于Hermite型矩形元的積分恒等式結果,建立了插值和Ritz投影之間在H1模意義下的超收斂分析; 進而,利用插值與投影相結合,得到了超逼近結果; 最后,借助于插值后處理技術導出了整體超收斂結果.

2.單元構造及全離散格式

設Γh是?上的一族正則的矩形剖分及任意K ∈Γh,設其四個頂點坐標分別為a1(?1,?1),a2(1,?1),a3(1,1),a4(?1,1),平行于x軸和y軸的邊分別為邊長分別為2hx,K,2hy,K,記其中hK是單元K的最大直徑.設=[?1,1]×[?1,1]為平面ξ-η上的參考單元,記為的四個頂點.我們定義有限元如下

則相應的插值函數(shù)為

然后,我們定義相應的有限元空間V h

并且,由文[24]可知,若u ∈H4(?),則有

全文中,C是一個不依賴于h和τ的常數(shù),在不同的地方可以取不同的值.

則(1.1)的變分形式為: 求u:(0,T]→H10(?)滿足

接下來,先將區(qū)間[0,T]分成N個相等的子區(qū)間: 0=t0< t1< ··· < tN=T,時間步長為τ=T/N且tn=nτ,n=0,1,··· ,N.對(0,T]上的光滑函數(shù)φ,定義

其中

由于bnk=[(n ?(k ?1))1?α?(n ?k)1?α]?[(n ?k)1?α?(n ?(k+1))1?α]和φ(k)=(n ?k)1?α?(n ?(k+1))1?α在0

基于Hermite型矩形元和L1法,則(2.2)的全離散逼近格式為: 對于給定的Un?1,求Un∈V h滿足

其中Rh:H10(?)→Vh是Ritz投影算子,定義如下

并且,根據(jù)文[33],有

3.穩(wěn)定性,超逼近和超收斂分析

本節(jié)中,我們將研究全離散格式的穩(wěn)定性,并給出相應的超逼近和超收斂結果.

首先我們給出定理3.1,它表明全離散格式是無條件穩(wěn)定的.

定理3.1設Un為(2.4)的解,則有

其中C1=max{Γ(2?α),(1?α)?1Tα}.

證在(2.4)中令vh=Un,則有

注意到DαtUn的定義,可得

利用Cauchy-Schwarz不等式及(3.3),并注意到∥?Un∥20≥0,bnk<0(0≤k

即有

下面利用數(shù)學歸納法證明(3.1)式成立.當n=1時,注意到?b10=1,由(3.4)式可得

定理成立.

假設n ≤s時定理成立,下證n=s+1時定理成立.

定理3.1得證.

其次,基于分析需要,我們先給出下面幾個引理.

引理3.1對任意的u ∈H10(?)∩H4(?),有∥Rhu ?Ihu∥1≤Ch3∥u∥4.

證注意到(2.1)和(2.5)式,易得

再利用H10(?)空間中的模等價關系,引理3.1得證.

引理3.2[7]設φk≥0(k=1,···),φ0=0,γ >0,其滿足則有

引理3.3[17]設為?上的一序列函數(shù),可得

為了得到超逼近和超收斂結果,我們首先給出一些記號和誤差方程.記聯(lián)立(2.2)和(2.4),我們可得如下誤差方程

定理3.2設un,Un分別為(2.2)和(2.4)在t=tn時刻的解.對任意的t ∈(0,T],若u(x,y,t)∈H4(?),ut(x,y,t)∈H3(?),utt(x,y,t)∈L2(?),以及任意的正整數(shù)1≤n ≤N,則有

證在(3.5)中,令vh=θn,則有

注意到(2.5),可知(?ρn,?θn)=0,因此我們有

借助于Dαtθn的定義,我們得到如下等式

由引理3.3可得

由Cauchy-Schwarz不等式及(2.3),(3.9)式右端的第二項可以估計為

由引理3.2,上式則得

利用(2.6)和(3.13),可得L2意義下的最優(yōu)誤差估計

接下來,為了估計∥θn∥1,我們在(3.5)中令vh=Dαtθn,則有

利用引理3.3,(3.15)的左端可變形為

對(3.15)右端的每一項進行估計.

由Cauchy-Schwarz不等式和(2.6),我們有

由投影的定義，可得

由(2.3),則有

利用引理3.2和上式,我們可得到超逼近結果

由(3.13)和(3.20),則有

由引理3.1和(3.21)及三角不等式,易得

又借助于上式及插值性質,可得

定理3.2得證.

為了得到整體超收斂，我們將相鄰的九個單元合并成一個大單元,且定義插值算子滿足

其中,Q3為雙三次的多項式空間,C(ˉe)為ˉe的連續(xù)函數(shù)空間,Zi,i=1,2,··· ,16,為這九個單元的所有頂點.

引理3.4[24]設u ∈H4(?),則上述定義的插值算子滿足

其中Sh3為雙三次有限元空間.

定理3.3在定理3.2的條件下，我們有

證根據(jù)定理3.2及(3.23)-(3.25)得

則定理得證.