劉紀(jì)軒,王改霞,李學(xué)志

(1.空軍工程大學(xué)航空機(jī)務(wù)士官學(xué)?；A(chǔ)部,河南 信陽(yáng)464000; 2.信陽(yáng)學(xué)院數(shù)學(xué)與信息學(xué)院,河南 信陽(yáng)464000; 3.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 新鄉(xiāng)453007)

1.引言

世界衛(wèi)生組織駐華代表處利千基博士強(qiáng)調(diào),乙型肝炎和丙型肝炎均為慢性感染傳染病,可能長(zhǎng)期不出現(xiàn)癥狀,有時(shí)會(huì)長(zhǎng)達(dá)數(shù)年或數(shù)十年.至少有60%的肝癌病例因沒有及時(shí)檢測(cè)和治療病毒性乙型肝炎和丙型肝炎所致.我國(guó)約有2800萬(wàn)人慢性乙肝患者,肝硬化、肝癌患者中,乙型病毒性肝炎感染引起的分別高達(dá)60%-80%.

從肝炎病毒入侵到臨床出現(xiàn)最初癥狀以前,這段時(shí)期稱為潛伏期[1?5].乙肝潛伏期為6周～6個(gè)月,一般為3個(gè)月.潛伏期隨病原體的種類、數(shù)量、毒力、人體免疫狀態(tài)而長(zhǎng)短不一.對(duì)于乙肝疾病可以采用隔離治療,隔離期限根據(jù)醫(yī)學(xué)檢查結(jié)果確定.由于乙肝疾病可能長(zhǎng)期不出現(xiàn)癥狀,且不同年齡的人對(duì)乙肝疾病的潛伏期長(zhǎng)短、感染能力及傳播能力不同,因而研究年齡結(jié)構(gòu)乙肝傳染病模型具有重要的實(shí)際意義.

2.模型

把總?cè)丝诜譃橐赘蓄?、潛伏類、染病類、隔離類、免疫類,分別用S(a,t),E(a,t),I(a,t),Q(a,t),R(a,t)表示各類年齡密度函數(shù),a為年齡,t為時(shí)間.μ(a)為年齡依賴自然死亡率,[ε(a)]?1平均潛伏周期,[α(a)]?1為平均染病周期,[g(a)]?1為平均隔離周期,b(a)為年齡依賴出生率.令感染力函數(shù)為[6]

其中β(a)為年齡依賴的染病率,k(a)為年齡依賴的接觸率.不考慮因病死亡,則年齡結(jié)構(gòu)乙肝SEIQR傳染病模型為

把(2.1)前四個(gè)方程相加得總?cè)丝谀挲g密度函數(shù)P(a,t)=S(a,t)+E(a,t)+I(a,t)+Q(a,t)+R(a,t)滿足

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的Mckendrick-von Forester方程.假設(shè)所有的參數(shù)都非負(fù)[7],且

假設(shè)當(dāng)個(gè)體超過(guò)一定生育年齡時(shí)b(a)=0.假設(shè)總?cè)丝谔幱诜€(wěn)定狀態(tài)[8],即假設(shè)

設(shè)

則有

由(2.3)得

對(duì)系統(tǒng)(2.1) 作歸一化處理[9]

則系統(tǒng)(2.1) 轉(zhuǎn)化為

3.無(wú)病平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

系統(tǒng)(2.4) 平衡解滿足

易得(3.1)的無(wú)病平衡點(diǎn)E0(1,0,0,0,0).為討論其穩(wěn)定性,將系統(tǒng)(2.4)在E0處線性化[9],考慮如下形式的指數(shù)解

省略高階項(xiàng)得

其中

為常數(shù).由(3.2)第二個(gè)方程得

代入(3.2)第三個(gè)方程得

把(3.4)代入(3.3),兩邊同除以V0(其中V00) 可得特征方程為

定義基本再生數(shù)[9]?0=G(0),即

則有下面的定理:

定理3.1若?0<1,則無(wú)病平衡點(diǎn)E0(1,0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的; 若?0>1,則無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.

證注意到

當(dāng)G(0)>1時(shí),即?0>1時(shí),方程(3.5)有唯一的正實(shí)根,此時(shí)無(wú)病平衡點(diǎn)E0不穩(wěn)定.當(dāng)G(0)<1時(shí),也即?0<1時(shí),方程(3.5)有唯一的負(fù)實(shí)根λ?.λ?是G(λ)=1的占優(yōu)實(shí)根,事實(shí)上,設(shè)λ=x+iy是(3.5)的任意根,由于

由G(λ)的遞減性得,Reλ ≤λ?.也就是說(shuō)當(dāng)?0<1,則無(wú)病平衡點(diǎn)E0(1,0,0,0,0)是局部漸近穩(wěn)定的.證畢.

定理3.2若?0<1,則無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證令

其中s(a,t)≤1,則將(2.4)式沿特征線積分得到

代入(3.7)得

令

對(duì)(3.9)式兩邊取t →+∞時(shí)的上極限,由Fatou引理得

令C是常數(shù),

則(3.10)式變?yōu)?/p>

代入(3.11)得

從(3.12)式可以看出,若?0<1,則C=0,從而F(a)=0,因此

從而由(3.8)式得

從而有l(wèi)imt→+∞s(a,t)=1.

故若?0<1,則無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

4.地方病平衡點(diǎn)的存在性和穩(wěn)定性

前面得到當(dāng)?0>1時(shí),無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定.實(shí)際上此時(shí)存在地方病平衡點(diǎn).

定理4.1當(dāng)?0>1時(shí),系統(tǒng)(2.4)存在唯一的地方病平衡點(diǎn).

證若系統(tǒng)(2.4)存在地方病平衡點(diǎn)E?(s?(a),e?(a),i?(a),q?(a),r?(a)),則滿足

其中

為常數(shù),顯然每一個(gè)正數(shù)V ?對(duì)應(yīng)唯一的地方病平衡點(diǎn).由(4.1)中的前兩個(gè)式子得

將i?(a)代入(4.2)后,兩邊同除以V ?(其中V ?0),有

若(4.4)有一個(gè)正解V ?,那么系統(tǒng)(2.4)就存在地方病平衡點(diǎn).又s?(a)+e?(a)+i?(a)+q?(a)+r?(a)=1,且s?(a)>0,則i?(a)<1.對(duì)任意的V ?>0,有

其中N是總?cè)丝?β+=max{sup[0,+∞)β(a)}.

若V ?=β+N,則H(β+N)<1.又H(V ?)是關(guān)于V ?的單調(diào)遞減連續(xù)函數(shù),因此若H(0)=?0>1則H(V ?)=1在區(qū)間(0,β+N)上存在唯一正解.即當(dāng)?0>1時(shí),系統(tǒng)(2.4)存在唯一的地方病平衡點(diǎn).證畢.

令

求解(4.6) 得

將i(a)代入T(λ)換序并整理得

若

則有

定理4.2若條件(4.9)滿足,則

1)T(λ)關(guān)于λ遞減且當(dāng)λ →+∞時(shí)趨近于0;

2)T(0)<1.

證1) 若條件(4.9)滿足,則可得到(4.8)式中括號(hào)內(nèi)式子大于零,因而T(λ)≥0關(guān)于λ指數(shù)遞減,且當(dāng)λ →+∞時(shí)T →0.

2) 令λ=0得

由(4.4)可以看出上式第一個(gè)積分等于1.因此,T(0)<1.證畢.

定理4.2及(4.8)說(shuō)明方程T(λ)=1,也就是(4.7)有唯一的負(fù)實(shí)根且所有的復(fù)根實(shí)部都小于這個(gè)負(fù)實(shí)根.因此有

定理4.3假設(shè)(4.9)成立,則系統(tǒng)(2.4)的地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定.