穆宇光,徐瑞

( 陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)軍政基礎(chǔ)系,河北 石家莊050003)

1.引言

近些年來,由于傳染病在人口增長上的負(fù)面影響,了解這些疾病的動(dòng)態(tài)行為并預(yù)測(cè)可能發(fā)生的情況是十分必要的.因此,建立數(shù)學(xué)模型研究傳染病的動(dòng)力學(xué)行為成為了幫助人們了解傳染病傳播模式和控制疾病的重要工具.在現(xiàn)實(shí)生活中,一些傳染病在染病者康復(fù)后會(huì)賦予其暫時(shí)的或者永久的免疫力,對(duì)于其他一些疾病,康復(fù)的人可能會(huì)隨著潛伏感染的重新激活而復(fù)發(fā)并恢復(fù)為染病者類,例如,牛結(jié)核病和人類皰疹,這類具有復(fù)發(fā)的疾病可以用SIRI(S-susceptible,I-infective,R-removed)傳染病模型來進(jìn)行描述[1?3].

設(shè)S,I,R分別表示易感者,染病者和康復(fù)者的人口密度,文[4]提出了一類具有復(fù)發(fā)的SIRI傳染病模型:

其中Λ是易感人群的補(bǔ)充率,μ是人口的自然死亡率,β是疾病的傳播系數(shù),α是因病死亡率,κ表示了染病個(gè)體轉(zhuǎn)化為康復(fù)個(gè)體的速率,γ表示了康復(fù)個(gè)體因復(fù)發(fā)而成為染病個(gè)體的速率,所有參數(shù)均為正數(shù).

然而,由于不可預(yù)測(cè)的個(gè)體接觸,傳染病的發(fā)展和傳播是不斷變化著的.因此,研究環(huán)境噪聲對(duì)于傳染病的影響是十分必要的[5?9].結(jié)合文[4,6],本文研究了一類具有復(fù)發(fā)和飽和發(fā)生率的隨機(jī)SIRI傳染病模型:

其中λ表示染病個(gè)體轉(zhuǎn)化為康復(fù)個(gè)體的速率,為飽和發(fā)生率,B(t)是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),σ表示白噪聲的強(qiáng)度,其余參數(shù)與模型(1.1)相同,且所有參數(shù)均為正數(shù).易得

則

因此

是系統(tǒng)(1.2)的正向不變集.假設(shè)(S(0),I(0),R(0))∈Γ,且S+I+R=1,(?,F,{Ft}t≥0,P)是一個(gè)完備概率空間,σ-代數(shù)族{Ft}t≥0滿足非降和右連續(xù),并且B(t)是定義在完備概率空間(?,F,{Ft}t≥0,P)上的布朗運(yùn)動(dòng),Rn+={x ∈Rn:xi>0,1≤i ≤n}.

2.系統(tǒng)正解的存在與唯一性

為了研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為,首先應(yīng)該證明系統(tǒng)在任何初值下是否存在一個(gè)唯一的全局解(也就是說,在有限時(shí)間內(nèi)未出現(xiàn)爆破).眾所周知,為了保證隨機(jī)微分方程存在唯一全局解,系統(tǒng)的系數(shù)通常被要求滿足線性增長條件和局部Lipschitz條件[10].然而系統(tǒng)(1.2)的系數(shù)并不滿足線性增長條件,但是滿足局部Lipschitz條件,因此系統(tǒng)(1.2)的解可能會(huì)在某個(gè)有限時(shí)間點(diǎn)發(fā)生爆破.本節(jié)中,根據(jù)文[11]中的方法,我們給出如下定理.

定理2.1對(duì)于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,當(dāng)t ≥0時(shí),系統(tǒng)(1.2)存在唯一正解并且它的解將依概率1停留在Γ內(nèi),即當(dāng)t ≥0時(shí),(S(t),I(t),R(t))∈Γa.s.

證因?yàn)橄到y(tǒng)(1.2)的系數(shù)滿足局部Lipschitz連續(xù)條件,則對(duì)于任意給定初值(S(0),I(0),R(0))∈Γ,在t ∈[0,τe)內(nèi)存在一個(gè)唯一局部正解(S(t),I(t),R(t)),其中τe為爆破時(shí)間[10].為了證明解是全局解,僅需證明τe=∞a.s.設(shè)k0≥1足夠大,使得S(0),I(0),R(0)均位于區(qū)間[1/k0,k0]內(nèi).對(duì)于每一個(gè)整數(shù)k ≥k0,定義停止時(shí)間

設(shè)inf ?=∞(其中?表示空集).因此,當(dāng)k →∞時(shí),τk單調(diào)遞增.設(shè)τ∞=limk→∞τk,顯然τ∞≤τea.s.如果τ∞=∞a.s.則τe=∞a.s.并且當(dāng)t ≥0時(shí),(S(t),I(t),R(t))∈Γa.s.因此,要證明定理成立,僅需證τ∞=∞a.s.設(shè)τ∞=∞a.s.不成立,則存在一對(duì)常數(shù)T >0和ε ∈(0,1)使得P{τ∞≤T} > ε,因此存在整數(shù)k1≥k0使得P{τk≤T} ≥ε對(duì)于任意k ≥k1成立.

定義C2-函數(shù)V1:Γ →R+如下:

顯然函數(shù)V1(S,I,R)≥0恒成立.根據(jù)It?o公式可得

其中

由Γ的定義可得,

其中K是正常數(shù).則

對(duì)(2.5)式兩邊同時(shí)從0到τk∧T=min{τk,T}積分,然后取期望可得

設(shè)?k={τk≤T},k ≥k1,根據(jù)(2.1)可得,P(?k)≥ε.注意到對(duì)于任意ω ∈?k,S(τk,ω),I(τk,ω)和R(τk,ω)中至少有一個(gè)等于k或1/k.因此V1(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))不小于

則V1(S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω))≥(k ?1?lnk)∧(1/k ?1+lnk).由(2.7)式可得

其中I?k表示?k的示性函數(shù).令k →∞,則∞≥V1(S(0),I(0),R(0))+KT=∞,顯然存在矛盾.因此必有τ∞=∞a.s.這意味著解(S(t),I(t),R(t))依概率1在有限時(shí)間內(nèi)不會(huì)發(fā)生爆破.證畢.

3.疾病的滅絕性

本節(jié)中,通過構(gòu)建適當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù),我們得到了疾病滅絕的充分條件.

定理3.1對(duì)于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,若則無病平衡點(diǎn)E0依概率全局漸近穩(wěn)定.

證定義Lyapunov函數(shù)

其中a,b是正實(shí)常數(shù).根據(jù)公式可得

因?yàn)镾,I ∈(0,1),則

又因?yàn)?/p>

則由(3.3)式可得

其中

注意到,當(dāng)X(b)<0時(shí),LV2負(fù)定.由(3.5)式可得

當(dāng)φ ?2γλ/(μ+γ)>0且a足夠小時(shí),?>0成立,則函數(shù)X(b)存在兩個(gè)正根b1和b2.因此,對(duì)于任何b ∈[b1,b2]有X(b)<0.將φ=2(λ+μ?β)?σ2代入不等式φ ?2γλ/(μ+γ)>0可得

因此,LV2負(fù)定,無病平衡點(diǎn)E0依概率全局漸近穩(wěn)定.證畢.

定理3.2對(duì)于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,若則(I(t),R(t))指數(shù)收斂于(0,0) a.s.

證設(shè)θ為一正常數(shù).根據(jù)It?o公式可得

由定理2.1可得

由(3.8)式可得,存在m >0使得γ ?θ(μ+γ)< ?mθ成立.因此有μ+λ ?β成立.則m取值范圍如下

設(shè)n=max{β ?(λ+μ)+λθ,?m}<0,因此

對(duì)(3.9)式兩邊從0到t積分,可得

因此,由大數(shù)定理得

則結(jié)合(3.10)和(3.11)式可得

證畢.

4.疾病的持久性

本節(jié),我們研究了疾病的持久性.

定理4.1對(duì)于任意(S(0),I(0),R(0))∈Γ,若R0>1,則系統(tǒng)的解滿足

其中m′=min(2μ,2γ),E?=(S?,I?,R?)為非隨機(jī)系統(tǒng)的地方病平衡點(diǎn).

證設(shè)x,y為正常數(shù),定義函數(shù)

其中

根據(jù)It?o公式可得

計(jì)算可得

因?yàn)镾+I+R=S?+I?+R?=1,則

又因?yàn)棣薎??(μ+γ)R?=0,則

取m′=min(2μ,2γ),則

因此

對(duì)(4.9)式兩邊從0到t積分,可得

因此,由大數(shù)定理得

所以

證畢.

定理4.2設(shè)(S(t),I(t),R(t))是系統(tǒng)(1.2)對(duì)于任意初值(S(0),I(0),R(0))∈Γ的解,若Rs=成立,則疾病將持續(xù)存在,即,

證對(duì)系統(tǒng)(1.2)積分,可得S(t)+I(t)+R(t)=1+e?μt(S(0)+I(0)+R(0)?1),和綜合上式,可得

其中

其中

計(jì)算可得

顯然,當(dāng)t →∞時(shí)

顯然,當(dāng)t →∞時(shí)

將I放大至1,則

綜合上式并結(jié)合文[12]中引理5.2,可得

證畢.

5.數(shù)值模擬

本節(jié)我們應(yīng)用文[13]中提出的Milstein高階方法對(duì)系統(tǒng)(1.2)的解進(jìn)行數(shù)值模擬,參數(shù)根據(jù)參考文[6]選取,部分?jǐn)?shù)值如下表所示

表5.1 數(shù)值模擬中參數(shù)和初值取值

圖中Stochastic表示隨機(jī)系統(tǒng)曲線,Deterministic表示非隨機(jī)系統(tǒng)曲線.

圖5.1中,選取參數(shù)σ=0.4,γ=0.012,使得數(shù)值模擬驗(yàn)證了定理3.1的結(jié)論,此時(shí)疾病將會(huì)滅絕.

圖5.2,5.3中,選取參數(shù)γ=0.03,計(jì)算可得R0=0.875<1,數(shù)值模擬驗(yàn)證了定理3.2的結(jié)論,此時(shí)系統(tǒng)的無病穩(wěn)態(tài)將吸引系統(tǒng)(1.2)的所有正解,并且隨著σ的增大,滅絕的速率也會(huì)增大,因此白噪聲會(huì)加速疾病的滅絕.

圖5.4中,選取參數(shù)σ=0.2,γ=0.1,計(jì)算可得Rs=1.2394>1,數(shù)值模擬驗(yàn)證了定理4.1,4.2的結(jié)論,其中隨機(jī)系統(tǒng)的解在地方病平衡點(diǎn)E?周圍持續(xù)性地周期振蕩,此時(shí)疾病將會(huì)持續(xù)存在.

圖5.1 σ=0.4,γ=0.012

圖5.2 σ=0.2,γ=0.03

圖5.3 σ=2,γ=0.03

圖5.4 σ=0.2,γ=0.1