陳 峰

分式方程的無(wú)解和增根令許多初學(xué)分式方程的同學(xué)頭疼，無(wú)解是不是一定意味著這個(gè)方程有增根？本文試通過(guò)幾道例題來(lái)談?wù)勊鼈兊牟顒e。

一、增根可使分式方程的最簡(jiǎn)公分母為0

A.-3 B.3 C.0 D.以上都不對(duì)

【分析】若原方程有增根，則這個(gè)增根為x=3，是原方程去分母之后得到的整式方程的解。

解：去分母得x-2（x-3）=m，

把x=3代入，得3-0=m。解得：m=3。

技巧點(diǎn)評(píng)：若方程有增根，則一定存在使公分母等于0的未知數(shù)的值。

二、無(wú)解可能出現(xiàn)增根，也可能真沒解

分式方程的根如果是增根，則分式方程無(wú)解。反之卻不一定成立。如果分式方程無(wú)解，還有可能是化為整式方程后，整式方程就是無(wú)解的。

【分析】分式方程無(wú)解，需要分分式方程有增根和整式方程無(wú)解這兩種情況討論。

解：將方程兩邊同時(shí)乘x（x-1），得 x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），

整理方程，得（a+2）x=3。

1）當(dāng)a+2=0，即a=-2時(shí)，一元一次方程無(wú)解。

又∵分式方程無(wú)解，∴x=1即為增根。

當(dāng)增根為1時(shí)，得a+2=3，解得a=1。

綜上所述，當(dāng)a=-2或a=1時(shí)，該分式方程無(wú)解。

技巧點(diǎn)評(píng)：已知分式方程無(wú)解，可先考慮去分母，將它們化成整式方程，然后討論是整式方程無(wú)解，還是分式方程的根為增根。

三、易遺漏的“無(wú)解”

【分析】增根可能是2或-3，但是解為負(fù)數(shù)，所以討論時(shí)，只需要考慮x=-3的情況。

所以當(dāng)k＜3且k≠-12時(shí)，原分式方程的解為負(fù)數(shù)。