張 威，馬 宏，吳 濤，李貴新

(航天工程大學 電子與光學工程系,北京 101416)

0 引言

隨著空間應用研究的不斷拓展，空間系統正朝著空間組網的方向迅速發(fā)展，呈現出海量空間布點、分布式星群組網和立體多層分布的新發(fā)展趨勢[1-2]，對衛(wèi)星的管理控制帶來了巨大的挑戰(zhàn)。由于衛(wèi)星數量的急劇增長、地面無線設施的普遍使用，衛(wèi)星在軌運行所面臨的電磁環(huán)境日益惡化，很容易受到各種輻射源有意或無意的干擾。那么，如何利用干擾信號的特點，對衛(wèi)星干擾源進行準確、快速的定位，是衛(wèi)星管理控制中需要解決的關鍵問題之一。

由于衛(wèi)星干擾源是非合作對象，所以對其定位是被動定位[3-4]。目前對衛(wèi)星干擾源進行定位主要是利用干擾信號到達受擾衛(wèi)星及其鄰星的信號參數，主要包括干擾信號的到達時差(Time Difference of Arrival，TDOA)和干擾信號的到達頻差(Frequency Difference of Arrival,FDOA)[5-8]。基于干擾信號到達時差的定位技術，以美國海軍海洋監(jiān)視系統“NOSS”系列衛(wèi)星為典型代表[9]。TDOA定位技術已經相對成熟，主要的算法有平面相交[10]、球面相交[11]、球面內插[12]、泰勒級數[13]、最小二乘[14]、粒子濾波[15]和二次優(yōu)化[16]。而基于信號到達頻差的定位方程較為復雜，解算較為困難。但隨著定位參數測量技術的發(fā)展，FDOA定位技術成為目前衛(wèi)星無源定位技術研究的熱點之一。目前有文獻[17]對僅利用FDOA的輻射定位技術進行研究，但其解算方式采用的是牛頓迭代方式，定位過程中綜合利用了多個輻射源。

由于FDOA定位方程組一般具有非線性的特點，泰勒級數展開算法是求解非線性方程的有效方法，具有精度高、頑健性強等特性。而傳統的泰勒級數展開算法[10]針對的是無地球面約束的定位方程組，需要3個以上獨立的FDOA測量值，但被定位目標往往位于地球表面，引入地球面的約束條件與FDOA測量值構成定位方程組，可以有效增加定位精度，減少有效定位最小觀測衛(wèi)星數量。本文針對含有地球面約束條件的FDOA定位方程組，研究該方程組泰勒級數展開算法的求解方法，推導了詳細的求解過程，并對算法的性能進行了分析和仿真評估。

1 FDOA定位方程

(1)

式中，fc為輻射源信號載波頻率，c為信號傳播速度，假設地球半徑為R，將地球面的約束條件引入FDOA定位方程組，則定位方程如式(2)：

(2)

式中，ΔF1i為FDOA參數，ΔF1i=Δfi-Δf1。

2 算法描述

根據式(2)，對于一組FDOA參數估計結果，存在式(3)中所示的關系式：

(3)

其中，

即衛(wèi)星si與地面輻射源u之間的距離。泰勒級數展開算法需要一個初始估計位置，由于各觀測衛(wèi)星能同時接收到輻射源信號，則輻射源必然位于各觀測衛(wèi)星的共視區(qū)，取衛(wèi)星共視區(qū)內的某一地面接收站的位置ur=[xryrzr]T作為初始估計位置(x(1),y(1),z(1))，將增大算法收斂的概率，將式(3)在初始位置(x(1),y(1),z(1))進行泰勒級數展開，忽略二階以上的分量，得到式(4)為：

ψ1=h1-G1δ1，

(4)

其中,

(5)

(6)

其中，對應量為：

(7)

式中，

式(4)的加權最小二乘解如式(8)所示，

(8)

式中，Qf為FDOA測量值的協方差矩陣。由于所有的FDOA測量值有一個公共的主星多普勒頻移做參考，因此各個ΔF1i之間具有一定的相關性，因此FDOA的協方差矩陣Qf如式(9)所示：

(9)

式中，σ2為FDOA的測量誤差方差。

uTu=R2。

(10)

ψ2=h2-G2δ2，

(11)

其中

(12)

(13)

(14)

(15)

3 算法性能仿真分析

3.1 均方根定位誤差與克拉美羅下限

為了更好地評價算法性能，引入2個概念，分別為均方根定位誤差(Root Mean Square Error，RMSE)與FDOA定位算法的克拉美羅下限(Cramer-Rao Lower Bound，CRLB)，表達式如式(16)和式(17)所示：

(16)

式中，(x0,y0,z0)為輻射源的真實位置，(x,y,z)則為輻射源估計位置。

(17)

(18)

式中，JFDOA為FDOA定位算法的Fisher信息矩陣，如式(19)所示：

(19)

(20)

式中，F為與約束有關的未知參數的梯度矩陣，當F為零向量時，式(20)退化為式(18)，對于有地球約束的FDOA定位，F=[2x0,2y0,2z0]T，CRLB是任何無偏參數估計均方根誤差的下限。

3.2 仿真分析

為便于仿真，選取4顆高軌觀測衛(wèi)星的星歷，如表1所示，輻射源位于廣州(東經113.3°、北緯23.1°、高程0 km)，地面接收站位于北京(東經116.4°、北緯39.9°、高程0 km)，設FDOA測量時刻為1 Jul 2011 12:00:00.000，則經過計算可得，衛(wèi)星、輻射源及地面接收站該時刻在ECEF坐標系中的位置矢量如表2所示，衛(wèi)星的速度矢量如表3所示。

表1 4顆觀測衛(wèi)星的星歷

衛(wèi)星半長軸/km偏心率軌道傾角/(°)近地點幅角/(°)升交點赤經/(°)平近點角/(°)Sat_142165.03.021×10-44.8508349.663060.3944185.147Sat_243387.410.439×10-44.0394281.546065.3245207.999Sat_342166.42.134×10-42.93697.298145.9889160.899Sat_442166.42.134×10-450.93690.2981140.989060.899

表2 FDOA測量時刻衛(wèi)星、輻射源及地面接收站在ECEF坐標系下的位置矢量

實體X坐標/kmY坐標/kmZ坐標/km衛(wèi)星Sat_1-30427.52329329206.706987295.468928衛(wèi)星Sat_2-4409.34822543141.0431962312.750032衛(wèi)星Sat_3-17931.09925938171.098956401.791048衛(wèi)星Sat_4-459.92456630921.94046128657.538871地面輻射源-2321.7621435391.0713802486.909653地面接收站-2178.6400274388.8418764069.473675

表3 FDOA測量時刻衛(wèi)星在ECEF坐標系下的速度矢量

衛(wèi)星X′坐標/km·s-1Y′坐標/km·s-1Z′坐標/km·s-1Sat_10.0074470.010227-0.255939Sat_20.1357870.019613-0.134817Sat_30.0039150.003678-0.152160Sat_4-0.373110-1.0720971.151666

表4 σ不同取值情況下各算法的RMSE km

由表4可見，泰勒級數展開算法及基于網格搜索的最大似然算法在所給的FDOA測量誤差情況下都能較好地接近克拉美羅下限，但本文研究的泰勒級數算法性能要略好于網格搜索算法。

表5σ=10-2Hz時2種算法的迭代性能比較

算法迭代次數迭代時間/ms泰勒級數算法1415.625網格搜索算法44640.625

由表5可見，泰勒級數算法無論在迭代次數與迭代時間上都優(yōu)于網格搜索算法。

圖1給出了泰勒級數展開算法、基于網格搜索的最大似然算法與CRLB曲線的比較，其中RMSE單位為km，σ單位為Hz。由圖1可知，泰勒級數展開算法與基于網格搜索的最大似然算法的定位性能非常接近，二者在FDOA測量誤差較低時對CRLB的接近性能較差。

圖1 各FDOA定位算法性能對比圖

當觀測衛(wèi)星為4顆時，即Sat_1,Sat_2,Sat_3,Sat_4，對比有、無地球約束時，泰勒級數展開算法的性能。表6給出了2種情況下不同σ時的RMSE，其中，RMSE均為5 000次獨立實驗的統計結果。圖2給出了2種情況下泰勒級數算法與CRLB曲線的比較，其中RMSE單位為km，σ單位為Hz。

表6 σ不同取值情況下各算法的RMSE km

圖2 有、無地球面約束條件下泰勒級數展開定位算法性能對比圖

由表6及圖2可見，當觀測衛(wèi)星數目不變時，加入地球面約束的泰勒級數展開定位算法能夠明顯地提高普通泰勒算法的定位精度，并且能有效逼近克拉美羅界。仿真結果中FDOA測量誤差的標準差σ較低時2種算法的RMSE與CRLB之間的偏離較大，本文總結其主要原因為仿真中一些固定參數的選取誤差，如地球半徑、地球橢圓偏心率及坐標系轉換中的春分點角等參數的選取誤差。

4 結束語

本文提出一種基于地球面約束的泰勒級數FDOA定位算法，經過理論和仿真分析，獲得了如下結論：加入地球面的約束條件可以有效減少定位衛(wèi)星的需求數目，提高FDOA定位的定位精度，該算法能夠有效逼近CRLB，是最優(yōu)的定位估計器。根據多次仿真結果可知，該算法收斂速度快且定位性能略優(yōu)于網格搜索算法，可以用于實際工程，為研究FDOA定位的相關人員提供一定的參考。