劉丹珠，趙蘭芝，方 正

(江西省水利規(guī)劃設(shè)計研究院，江西 南昌 330029)

巖體中普遍含有裂紋，這些裂紋的存在極大的影響了巖石的材料力學特性，在復雜應力條件作用下裂紋會發(fā)生擴展貫通，從而對諸如水利、采礦領(lǐng)域中的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性造成巨大的影響[1- 2]。對于復雜應力條件下裂紋擴展規(guī)律，國內(nèi)外許多學者進行了大量研究，物理試驗方面，張國凱[3]對含多條節(jié)理的巖石進行單軸壓縮試驗，研究不同節(jié)理組對裂紋擴展規(guī)律的影響；申建軍[4]對含雙穿透型裂紋的花崗巖試件在單軸壓縮下的裂紋擴展貫通規(guī)律進行了研究；黃彥華[5]對含斷續(xù)三裂隙單軸應力下的試件破壞規(guī)律進行研究。以上試驗研究主要針對二維穿透性裂紋，很少涉及到三維內(nèi)裂紋的擴展規(guī)律。數(shù)值模擬方面，李竟艷[6]基于Weibull分布表征巖石材料性能的非均勻性，對巖石在單軸壓縮下的裂紋擴展規(guī)律進行研究；郭雙[7]利用DDA法對地應力條件下爆破巖體破碎過程進行了數(shù)值模擬；梅世倫[8]對某礦坑巖質(zhì)邊坡利用abaqus進行數(shù)值模擬分析，但是基于試驗的數(shù)值模擬均未涉及三維內(nèi)裂紋，事實上，三維內(nèi)裂紋廣泛存在于巖體中，三維內(nèi)裂紋的研究對正確認識裂紋擴展規(guī)律，防治巖體災變具有重要意義。

水力壓裂技術(shù)自從國外引進后，被廣泛應用于水利、礦業(yè)、巖土工程、地熱開發(fā)、地應力測量、石油天然氣等領(lǐng)域[9- 10]，同時許多學者對各種工況下的水力壓裂規(guī)律，以及縫網(wǎng)的交匯，注液的操作方法進行了大量的研究，如M.A.Kayupov等[11]對含孔洞的立方體試件進行了注水破壞試驗；崔聰[12]對鉆孔水力壓裂的裂紋擴展過程進行了數(shù)值模擬研究，但是以上研究均未擺脫二維的范疇，對三維水力壓裂的規(guī)律還缺乏一個正確的認識。

本文利用Franc3d軟件，對水力壓裂條件下的裂紋擴展過程以及裂紋尖端的應力強度因子進行了計算，同時與室內(nèi)試驗進行對比，驗證了數(shù)值模擬的準確性。研究成果為三維內(nèi)裂紋的裂紋擴展規(guī)律認識提供了參考。

1 計算理論

Franc3d軟件利用M積分計算應力強度因子，同時基于最大軸向拉應變計算裂紋擴展，裂紋尖端的分量在極坐標下可以表示為：

(1)

式中，KⅠ、KⅡ、KⅢ，—Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型的應力強度因子。

對于線彈性材料，應力應變則滿足胡克定律：

(2)

最大周向拉應變準則認為，裂紋尖端沿著環(huán)向拉應變最大的地方擴展，同時環(huán)向拉應變達到最大時裂紋開始擴展。

最大周向拉應變準則下裂紋起裂方向滿足以下關(guān)系：

(3)

可以得出：

(4)

根據(jù)式(3)～(4)便可以計算出最大周向拉應變準則下的裂紋擴展方向。

2 計算模型

計算模型為含單內(nèi)裂紋的標準立方體試件，如圖1(a)所示。試件尺寸長、寬、高分別為50mm×50mm×100mm，裂紋尺寸為2a=20mm，2b=15mm，材料的彈性模量為E=16GPa，泊松比μ=0.21，密度ρ=2.3g/cm-3，計算模型及模型網(wǎng)格剖分如圖1(b)所示。

圖1 計算模型

計算邊界條件為底部約束三個方向的位移，根據(jù)文獻[13]的試驗邊界，頂部施加應力邊界為7MPa，側(cè)邊施加應力邊界為3MPa，裂紋內(nèi)表面施加水壓邊界。

3 計算驗證

為驗證本文數(shù)值模擬的合理性，取付金偉[13]等人運用樹脂脆性材料及中空裂隙注水方法進行雙軸水力壓裂試驗的試驗結(jié)果，文獻[13]的內(nèi)水壓力為10MPa，裂紋擴展形態(tài)與本文的數(shù)值模擬結(jié)果對比如圖2所示。由圖2可見，在雙軸壓力以及內(nèi)水壓力的共同作用下，預制裂紋尖端出現(xiàn)了一型包裹狀裂紋，數(shù)值模擬與室內(nèi)試驗取得了較好的一致性，表明運用Franc3d軟件進行水力壓裂數(shù)值模擬的合理性。

4 裂紋擴展過程

含單條內(nèi)裂紋試件在雙軸應力(σ1=7MPa，σ2=3MPa)以及水壓力作用下的裂紋擴展過程如圖3所示。

圖3 裂紋擴展過程

由圖3可見，單裂紋試件在雙軸及不同內(nèi)水壓作用下首先在預制裂紋的上下尖端出現(xiàn)“翼型包裹狀”裂紋，隨著裂紋的逐漸擴展，翼裂紋逐漸貫穿試件形成破壞。值得注意的是，在預制裂紋擴展過程中，裂紋尖端始終呈現(xiàn)圓弧狀擴展，同時，預制裂紋首先貫穿試件的前后表面，而后才貫穿試件的左右表面，這說明預制裂紋的短軸處裂紋擴展速率要大于長軸處的擴展速率，裂紋擴展長度隨時步的變化以及預制裂紋前緣應力強度因子分析一節(jié)中進行詳細的探討。

圖5 應力強度因子變化

5 應力強度因子分析

為定量對比分析不同水力壓裂因子下的預制裂紋尖端應力強度因子的變化規(guī)律，以A點為起點，順時針繞預制裂紋前緣一周回到A點的距離定義為1，則可以繪制應力強度因子隨相對距離的變化規(guī)律，如圖4所示。

圖4 裂紋前緣標識

對計算所得的應力強度因子進行無量綱化處理，定義KR表示為如下形式：

(5)

式中，

Q=1+1.464(a/b)1.65

(6)

式中，σ0—模型邊界上的拉伸應力；a—裂紋的長半軸長度；b—裂紋的短半軸長度。

由式(5)～(6)即可得出無量綱化的應力強度因子隨裂紋尖端路徑的變化規(guī)律。繪制無量綱化應力強度因子變化規(guī)律如圖5所示。

由圖5可見，對于單裂紋，1型應力強度因子在預制裂紋的短軸處(B點)達到最大，而在預制裂紋的長軸端點處(A點)達到最小，這與第4節(jié)數(shù)值模擬結(jié)果一致；2型應力強度因子整體上在預制裂紋的長軸端點處(A點)達到最大，而在預制裂紋的短軸端點處(B點)達到最小為0。3型應力強度因子整體上在預制裂紋的短軸端點處(B點)達到最大，而在長軸端點處(A點)達到最小為0。

6 結(jié)語

利用Franc3d軟件對不同水力壓裂因子下的含單橢圓裂紋標準立方體試件進行了雙軸壓縮數(shù)值模擬研究，并將數(shù)值模擬結(jié)果與室內(nèi)試驗結(jié)果進行對比，驗證了Franc3d軟件的計算精度與計算的合理性。

本文僅研究了單裂紋下水壓致裂裂紋擴展過程，對于多裂紋水壓致裂下的裂紋擴展及相互作用機理研究還需進一步研究。