朱洪濤， 陳品幫， 魏 暉， 梁恒輝

(1.南昌大學機電工程學院 南昌，330031) (2.江西科技學院汽車工程學院 南昌，330098) (3.廣鐵集團惠州工務段 惠州，516000)

引 言

軌道是保障高速鐵路運行安全的重要基礎。在鐵路線的日常運營中，軌道將承受高速行駛下存在的沖擊、列車行駛時存在的振動以及列車的載荷，其結構上的形變及位置上的偏移在所難免。而軌道不平順的發(fā)展，將會對鐵路線的運營產(chǎn)生巨大的影響，例如鐵路運輸?shù)陌踩潭取⒘熊嚦丝偷氖孢m程度以及軌道的養(yǎng)護所需投入的人力物力等方面[1]。軌道質(zhì)量指數(shù)(track quality index，簡稱 TQI)是利用軌檢車及其相應的軌道檢查系統(tǒng)，通過測量采集各項軌道幾何尺寸數(shù)據(jù)，進而得出的一項能夠全面說明該段軌道整體質(zhì)量水平的指標。TQI作為評價軌道整體不平順的重要指標，對于線路養(yǎng)護維修作業(yè)具有重大的指導意義。

預測軌道的TQI，一般是分析軌檢車先前工作中檢查得到的TQI歷史數(shù)據(jù)，得出其變化規(guī)律，從而對將來的TQI數(shù)值進行預測[2]。高建敏等[3]提出將軌道下沉變形與車輛-軌道耦合振動系統(tǒng)相關聯(lián)，用于預測軌道的不平順狀況。韓晉等[4]提出一種以構建非等時距加權灰色預測模型為基礎對軌道不平順進行預測，再引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡模型修復其殘差序列。郭然等[5]基于灰色預測模型建立了更新機制，優(yōu)化了模型并且提高了預測精度。賈朝龍等[6]提出將改進的灰色GM(1,1)與自回歸模型相結合，預測軌道不平順狀態(tài)。 曲建軍等[7]提出將灰色GM(1,1)與馬爾可夫鏈預測理論相結合，用于充分挖掘歷史數(shù)據(jù)背后的潛在價值。國外專家對該領域也有大量研究。Kawaguchi等[8]提出軌道狀態(tài)預測S式、線性以及非線性兩種退化模型。Iyengar等[9]基于隨機過程理論，通過平穩(wěn)高斯隨機過程對不平順進行建模。對于該領域的研究，大多是基于模型驅(qū)動的方式，但對于原始數(shù)據(jù)的可參照性，沒有基于實際檢查情況給出有效處理，如原始數(shù)據(jù)可能存在未對齊的問題，將會影響到預測結果的真實性。

實踐證明，單元區(qū)段內(nèi)軌道不平順狀態(tài)，伴隨著運營時間的增長，其數(shù)據(jù)表現(xiàn)為多階段的、周期性的且是非線性的。筆者通過互相關函數(shù)對不同時間、同一軌道進行檢查得出的大量歷史數(shù)據(jù)進行互相匹配，把各組試驗數(shù)據(jù)進行對齊之后得出的TQI數(shù)值作為觀測值，建立ARIMA模型，從而對軌道不平順的預測進行研究。

1 原始數(shù)據(jù)的處理

1.1 互相關函數(shù)簡介

互相關函數(shù)是信號分析中的概念，表示兩個序列之間的相關程度，即互相關函數(shù)是描述兩個信號y1和y2在兩個任意不同的x1和x2的取值之間的相關程度[10]，該函數(shù)可以表達不同信號之間的相關性。而互相關系數(shù)則是互相關函數(shù)與兩個函數(shù)的均方差乘積之比，其絕對值不大于1，相關程度與其成正比。

令f1(t)與f2(t)為兩個獨立信號，則有

(1)

1.2 原始數(shù)據(jù)的對齊

將同一被測軌道、不同時間檢查得到的歷史數(shù)據(jù)進行里程對齊，取廣鐵集團惠州工務段杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間2013-2015年度的軌道幾何尺寸歷史數(shù)據(jù)為樣本展開研究。原始數(shù)據(jù)沒有對齊通常有兩種情況：a.數(shù)據(jù)表現(xiàn)為直接的平移關系，存在明顯的相位差；b.數(shù)據(jù)表現(xiàn)上存在累積里程誤差，里程逐漸錯開。第1種情況只需將數(shù)據(jù)里程平移即可，而主要需要解決的問題是累積里程誤差。此處以軌距值為例，如圖1所示。

圖1 數(shù)據(jù)未對齊的情況Fig.1 The situation of data misaligned

當軌道上里程夠長時，數(shù)據(jù)表現(xiàn)可能會存在里程的丟失，數(shù)據(jù)無法對齊，從而存在里程誤差。圖1中表示的是兩組不同時間對同一軌道檢查得到的軌向數(shù)據(jù)，由于檢查時里程輪的滑移或者存在振動導致里程數(shù)據(jù)不準，此時的原始數(shù)據(jù)并不是最佳觀測值，必須將各項軌道幾何尺寸數(shù)據(jù)進行對齊后再帶入使用。采用互相關函數(shù)對多組原始數(shù)據(jù)進行分段匹配，從而將原始數(shù)據(jù)對齊。

將上述歷史數(shù)據(jù)取24組，依次為y1，y2，…，y24，通過迭代求取整體樣本最佳的對齊結果，其中yi與里程x的關系構成函數(shù)y(i)，且y(i)中每一次迭代的步長所對應的里程段均可以擬合出y與x的多項式。方法流程如圖2所示。

以互相關系數(shù)Tc的值為匹配標準，Tc越大說明兩函數(shù)之間的匹配程度越高，所以當某一里程段內(nèi)的y(i+1)與y(i)的迭代匹配過程中存在Tc>Tc+1且有Tc>Tc-1，此時y(i+1)中該段長為0.125a的里程段與y(i)中指定步長為X的里程段為對應段。為保證誤差不被擴大，每兩組數(shù)據(jù)的各段對應匹配之后，均以y(i)與被保留的y(i+1)里程段的里程均值為兩函數(shù)段放大或縮小的標準，再將每個里程段進行拼接，得出新的序列作為新的y(i+1)與y(i+2)進行循環(huán)迭代。將互相關函數(shù)帶入實際情況有f1(t)=y(i)，f2(t+τ)=y(i+1)，則有

(2)

在概率密度分布函數(shù)中，x在實際工程中表示里程，由間隔為0.125m的觀測點得到，所以其概率分布為均勻分布，有pi(x)=1/X，其中X可根據(jù)工程實際需要進行取值。

同理有

其中：pi+1(x)=1/0.125a。

系數(shù)的大小反映了兩段函數(shù)的相關程度，在統(tǒng)計學中有

圖2 迭代求取最佳對齊里程Fig.2 Iteration to get the best alignment mileage

為了保證數(shù)據(jù)的嚴格，在迭代過程中以高度相關為原則，將大量軌道幾何參數(shù)的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過迭代后，得出對齊的原始數(shù)據(jù)投入后續(xù)的使用。對齊效果如圖3所示，圖中僅取200m的單元里程中的波形圖，圖中方塊所示波形為兩組數(shù)據(jù)匹配后拼接得出的新數(shù)據(jù)。

圖3 里程對齊示例Fig.3 Example of mileage alignment

1.3 觀測值的選取

在2013—2015年間，對杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間的軌道幾何形位進行了收集整理，由于軌檢車檢查得到的歷史數(shù)據(jù)過于龐大，且鑒于需要帶入的變量能夠充分表達軌道的均衡性，能夠全面表達軌道各種指標的綜合水平，故選取軌道質(zhì)量指數(shù)TQI作為觀測值，用于模型的建立，來研究軌道不平順的惡化趨勢。其中，7項單項標準差(左右高低、左右軌向、軌距、水平、三角坑7項軌道幾何不平順幅值標準差)之和即為線路軌道質(zhì)量指數(shù)TQI[11]

(3)

其中：σ為每項不平順幅值標準差。

將7項指標的歷史數(shù)據(jù)均進行上述的迭代處理，由數(shù)據(jù)配準之后，可以保證各項數(shù)據(jù)的幅值都是該段軌道上相應的真實幅值，整合得出的TQI數(shù)值能真實反應該段軌道的不平順情況。將大量數(shù)據(jù)整合后，以2013—2014年度的TQI整合數(shù)據(jù)為例，如表1所示。

由于現(xiàn)階段數(shù)據(jù)取得的方式均存在人為成分，且數(shù)據(jù)采集存在自然條件的影響，所以迭代后整合的數(shù)據(jù)必定會存在一定的誤差。將每次檢查中的多組數(shù)據(jù)求取均值，以作為該次檢查的TQI最佳觀測值，其中

表1 2013—2014年度杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350 TQI整合數(shù)據(jù)

(4)

其中：Yi為同一次檢查的第i組觀測值；n為維修作業(yè)前第n次檢查。

2 建立ARIMA模型預測軌道不平順

2.1 ARIMA模型簡介

時間序列模型可以在不考慮其他變量可能對目標值產(chǎn)生影響的情況下，只通過觀測值的變化，利用外推機制來表達時間序列的變化情況。它有兩種類型的隨機序列：確定型隨機序列具有基本的外推方法；而隨機型時間序列存在不同。

預測的隨機序列是由隨機過程產(chǎn)生的，通常有以下幾種。

1) 假定某個隨機過程是線性的，表示為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p

(5)

其中：φi為回歸參數(shù)。

此過程稱之為p階自回歸過程，記作AR(p)。

2) 假定某個隨機過程是線性的，表示為

Xt=at+θ1at-1+θ2at-2+…+θqat-q

(6)

其中：θt為回歸參數(shù)；at為白噪聲過程。

此過程稱之為q階滑動平均模型，記作MA(q)。

3) 自回歸滑動平均模型是由上述兩者共同構造而成的隨機過程，即兩式相加而成，稱之為p階自回歸q階滑動平均模型，記作ARMA(p,q)。通常存在時間序列是不平穩(wěn)序列，即非平穩(wěn)的自回歸滑動平均模型。

4) 通過將不平穩(wěn)的時間序列進行差分，得到平穩(wěn)序列再進行建模，該模型稱之為ARIMA(p,d,q),其中d表示將最初的時間序列進行了d次差分后，得到平穩(wěn)的時間序列。

2.2 ARIMA模型的建立

選取廣鐵集團惠州工務段杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間2013—2015年度的歷史數(shù)據(jù)作為樣本，對其進行建模。取其中第1年度的原始數(shù)據(jù)為例，經(jīng)過處理后，得出最佳觀測值，如表2所示。

表2 杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350單元區(qū)段TQI數(shù)據(jù)

Tab.2 TQI data of Unit section in K1317+150-K1317+350 in No.4 road of Chaoshan Railway Station in Hangzhou-Shenzhen line

TQITQI12013.10.028.553132014.04.0310.93122013.10.189.016142014.04.1810.56832013.11.04 8.903152014.05.0511.02342013.11.18 9.314162014.05.1911.47252013.12.02 9.451172014.06.0212.11262013.12.17 9.563182014.06.1811.35472014.01.03 9.662192014.07.0112.18282014.01.17 9.788202014.07.1512.07192014.02.0310.263212014.08.0111.584102014.02.1710.529222014.08.1511.151112014.03.0311.182232014.09.0311.964122014.03.1711.012242014.09.1911.989

通過Eviews軟件對該時間序列進行建模，得出TQI數(shù)值的變化情況,如圖4所示。

圖4 TQI檢查結果Fig.4 TQI inspection results

2.3 模型的識別與定階

基于原始數(shù)據(jù)，具體使用何種結構的模型，需要對其自相關系數(shù)AC與偏相關系數(shù)PAC進行分析，TQI原始數(shù)據(jù)的相關信息如表3所示，其中Prob表示顯著性水平統(tǒng)計量。

表3 原始數(shù)據(jù)的時間序列相關統(tǒng)計信息

Tab.3 Relative statistics information for time series of raw data

由表3可以看出，自相關圖與偏相關圖均不為零且有衰減趨勢，兩者均表現(xiàn)為拖尾。為了將軌道不平順預測進行平穩(wěn)建模，而原始數(shù)據(jù)不一定是平穩(wěn)的，必須先對TQI序列進行平穩(wěn)性檢驗。用單位根檢驗序列是否適用于ARIMA模型，若序列表現(xiàn)為非平穩(wěn)，則對序列進行差分。

表4中列出了TQI原始數(shù)據(jù)序列的單位根檢驗情況以及將其差分后的情況，從中可以看出，TQI原始數(shù)據(jù)序列的ADF檢驗值均大于檢驗水平為1%，5%，10%的臨界值，所以原序列是不平穩(wěn)的ARIMA(p,d,q)，模型的建立需要將序列差分到平穩(wěn)狀態(tài)。由表4可知，將原序列差分后可以得到平穩(wěn)序列，為了能使建模達到最優(yōu)效果，故選取1階差分序列進行建模，1階差分序列的相關信息見表5。

表4 原始數(shù)據(jù)的時間序列單位根檢驗情況

表5 1階差分后原始數(shù)據(jù)的時間序列相關統(tǒng)計信息

Tab.5 Relative statistics information for time series of raw data by first order difference

由表5可以看出，新序列的自相關函數(shù)經(jīng)過1階差分后超出了95%的置信區(qū)域，達到最大值的同時快速下降。相關函數(shù)在1階和3階均明顯非零，由此確定建立ARIMA(1,1,3)模型用于TQI的預測。模型的相關系數(shù)及其顯著性水平如表6所示。

表6 ARIMA(1,1,3)模型相關系數(shù)及顯著性水平

Tab.6 Correlation coefficient and significance level of ARIMA (1,1,3) model

TProbC12.273 2801.638 8367.489 0240.000 0AR(1)0.925 2490.038 47724. 046 3200.000 0MA(1)-1.116 7790.428 671-2.605 2110.017 9MA(2)-0.688 4620.477 808-1.440 8760.166 8MA(3)-0.420 5780.479 451-0.877 2090.391 9

由建模結果的顯著性水平可知ARIMA模型是平穩(wěn)的，標準誤差小，能夠認定ARIMA(1,1,3)模型可以用于TQI預測。TQI預測多項式為

Xt=12.273 28+0.925 249Xt-1-

1.116 779ut-1-0.688 462ut-2-

0.420 578ut-3

3 ARIMA模型試驗

3.1 基于已知數(shù)據(jù)預測未知數(shù)據(jù)

根據(jù)廣鐵集團惠州工務段杭深線潮汕站4道K1317+150-K1317+350間2013—2015年度的24組數(shù)據(jù)，對2015—2016年度第1季度的TQI檢查結果進行預測，預測曲線如圖5所示。

圖5 ARIMA模型試驗Fig.5 ARIMA model test

預測方法通常有兩種：靜態(tài)預測和動態(tài)預測。靜態(tài)預測是滾動的進行下一步的預測，即每預測一次都是基于真實值，以真實值替代預測值，加入到估計區(qū)間，再繼續(xù)下一步預測；而動態(tài)預測是根據(jù)所選擇的一定區(qū)間，進行多步向前預測，每次預測都是基于之前的預測值得出新的預測值。樣本范圍內(nèi)的序列實際值是已知的，樣本外的預測通常因變量的實際觀測值是未知的，所以靜態(tài)預測一般適用于樣本內(nèi)，而對于樣本外選擇動態(tài)預測。

3.2 預測結果的分析

將樣本內(nèi)外的TQI實測值作為參考，驗證ARIMA(1,1,3)模型的靜態(tài)預測與動態(tài)預測的TQI估計值，以相對誤差說明預測精度，如表7所示。

表7 TQI預測值與實測值對比

Tab.7 Comparison of predicted and measured values of TQI

TQI/mm/mm/%/mm/%12013.10.028.5538.895 3.9998.678 1.46122013.10.18 9.016 9.827 8.995 8.797-2.42932013.11.04 8.903 8.190-8.009 9.073 1.90942013.11.18 9.314 9.407 0.998 9.208-1.13852013.12.02 9.45110.207 7.999 9.428-0.24362013.12.17 9.563 9.371-2.008 9.618 0.57572014.01.03 9.662 9.951 2.991 9.773 1.14982014.01.17 9.788 9.494-3.00410.032 2.49392014.02.0310.26310.468 1.99710.481 2.124102014.02.1710.529 9.791-7.00910.638 1.035112014.03.0311.18211.629 3.99710.926-2.289122014.03.1711.01211.113 0.91711.025 0.118132014.04.0310.93111.805 7.99610.958 0.247142014.04.1810.568 9.511-10.00210.961 3.719152014.05.0511.02311.463 3.99211.139 1.052162014.05.1911.47212.504 8.99611.646 1.517172014.06.0212.11212.596 3.99611.785-2.700182014.06.1811.35412.473 9.85611.844 4.316192014.07.0112.18212.912 5.99211.767-3.407202014.07.1512.07111.226-7.00011.826-2.030212014.08.0111.58410.889-6.00011.789 1.770222014.08.1511.15112.043 7.99911.519 3.300232014.09.0311.96412.203 1.99811.701-2.198242014.09.1911.98911.269-6.00612.024 0.292252014.10.0312.08712.449 2.99512.009-0.645262014.10.1711.74911.028-6.13711.904 1.319272014.11.0212.15711.306-7.00011.942-1.769

由表7可以看出，將軌道幾何尺寸歷史數(shù)據(jù)對齊后，最大的相對誤差絕對值低于5%，將各次預測的相對誤差絕對值取均值，得到該ARIMA(1,1,3)模型的平均預測水平只存在1.75%的相對誤差；而基于沒有對齊的數(shù)據(jù)進行預測，其平均預測水平達到5.48%的相對誤差，其相對誤差絕對值最大值遠大于將原始數(shù)據(jù)對齊之后的預測結果。由此可知，該模型得出的預測值與對軌道進行檢查時得出的觀測值之間的誤差是非常小的，可以達到較高的預測精度。

4 結束語

由于軌道檢查得出的軌道幾何尺寸原始數(shù)據(jù)不一定都是對齊的，經(jīng)常伴隨累積里程誤差，會直接影響到軌道不平順預測研究的觀測值。通過互相關函數(shù)的迭代匹配將所有樣本內(nèi)歷史數(shù)據(jù)對齊后，再通過ARIMA模型預測TQI數(shù)值，結果表明：將軌道幾何尺寸原始數(shù)據(jù)對齊后再進行其不平順狀態(tài)的預測研究，預測結果的相對誤差絕對值最大在5%之內(nèi)，樣本內(nèi)相對誤差均值為1.75%，可以達到更高的試驗精度。