李 鋒， 苑志凱， 何禎鑫， 王兆強(qiáng)

(1.火箭軍工程大學(xué)二系 西安，710025) (2. 火箭軍工程大學(xué)三系 西安，710025)

引 言

氣缸是一種重要的機(jī)械元件，具有污染小、維護(hù)成本低等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于汽車生產(chǎn)線、半導(dǎo)體檢查裝置等工業(yè)設(shè)備。在氣缸壽命預(yù)測方面，目前主要方法是通過加速壽命試驗(yàn)預(yù)測其完整使用壽命[1-3]，缺乏了對其使用過程中剩余使用壽命預(yù)測的研究。目前剩余壽命預(yù)測方法有很多，其中基于Wiener過程的剩余壽命預(yù)測模型因具有較為清晰的物理意義和良好的計(jì)算分析性質(zhì)，應(yīng)用最為廣泛[4]。彭寶華等[5]將該模型與Bayes估計(jì)方法相結(jié)合，對金屬化膜脈沖電容器的剩余壽命進(jìn)行了預(yù)測。Wang等[6]將Wiener過程的退化建模應(yīng)用于發(fā)光二極管的剩余壽命預(yù)測。李瑞等[7]用Wiener過程建立退化模型對自動加熱電纜剩余壽命進(jìn)行了預(yù)測。國內(nèi)目前在機(jī)械元件剩余壽命預(yù)測方面對該方法應(yīng)用較少，主要應(yīng)用集中在對航空發(fā)動機(jī)的剩余壽命預(yù)測[8-9]。

筆者對傳統(tǒng)的基于Wiener過程的剩余壽命預(yù)測模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種基于退化路徑的Wiener過程剩余壽命在線預(yù)測方法。選取CA2系列標(biāo)準(zhǔn)氣缸為對象，進(jìn)行了磨損退化實(shí)驗(yàn)，并將改進(jìn)后的剩余壽命在線預(yù)測方法應(yīng)用于該氣缸，通過理論預(yù)測與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比驗(yàn)證方法的有效性。

1 氣缸剩余壽命預(yù)測模型構(gòu)建

1.1 退化模型構(gòu)建

氣缸的故障原因有很多，主要的故障模式有密封圈磨損造成的過度泄漏和啟動摩擦過大兩種，這兩種故障模式都是摩損累積退化失效過程。令X(t)表示氣缸在t時(shí)刻的性能退化量，以一元Wiener過程可將退化過程{X(t),t≥0}描述如下

X(t)=X(0)+λt+σB(t)

(1)

其中：X(0)為氣缸的初始退化(不失一般性，可令X(0)=0；實(shí)際中若X(0)≠0，可以對數(shù)據(jù)進(jìn)行平移變換將其化為0[4,10])；λ為隨機(jī)參數(shù)，用來刻畫同類設(shè)備不同個(gè)體之間的差異；σ為共性參數(shù)，用來刻畫同類設(shè)備之間的共性；B(t)表示標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，用來刻畫退化過程中的隨機(jī)動態(tài)特性。

以上假設(shè)和規(guī)定是一元Wiener過程退化建模中的常用規(guī)定[5,8,9,11-12]。

在基于退化數(shù)據(jù)的可靠性建模中，通常將性能退化量超過某一預(yù)設(shè)的失效閾值作為產(chǎn)品出現(xiàn)故障的判定，這一閾值通常由實(shí)驗(yàn)、工程經(jīng)驗(yàn)或工業(yè)標(biāo)準(zhǔn)等確定[6]。在這一故障定義下，產(chǎn)品的壽命和剩余壽命均用其性能退化量首次超過預(yù)設(shè)失效閾值的時(shí)間來表示，稱之為首達(dá)時(shí)間。在首達(dá)時(shí)間的意義下，氣缸的壽命T可表示為

T=inf{t:X(t)≥ω,t≥0}

(2)

其中：ω為失效閾值。

根據(jù)文獻(xiàn)[13]可知，壽命T的分布為逆高斯分布，進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到，壽命T的概率密度函數(shù)(probability density function，簡稱PDF)為

(3)

1.2 剩余壽命預(yù)測模型構(gòu)建

在1.1節(jié)已經(jīng)建立了基于Wiener過程的氣缸性能退化模型，并且得到了該模型下氣缸壽命的概率密度函數(shù)。這一部分任務(wù)是依據(jù)觀測到的歷史退化數(shù)據(jù)，求解氣缸剩余壽命的概率密度函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)對氣缸剩余壽命的預(yù)測。目前大多數(shù)模型都是建立在剩余壽命的概率密度函數(shù)僅決定于當(dāng)前時(shí)刻的性能退化量，筆者對傳統(tǒng)的模型進(jìn)行改進(jìn)，建立一個(gè)依據(jù)退化路徑對剩余壽命進(jìn)行預(yù)測的模型。

定義氣缸在t1,t2,…,tk時(shí)刻的退化數(shù)據(jù)為X1:k={x1,x2,…,xk}，表示氣缸在tk時(shí)刻前的退化路徑。在首達(dá)時(shí)間的意義下，氣缸的剩余壽命Lk是指從當(dāng)前時(shí)刻開始到性能退化量X(t)首次超過失效閾值的時(shí)間。因此，氣缸的剩余壽命可表示為

Lk=inf{lk:X(lk+tk)≥ω|X1:k}

(4)

其中：lk表示剩余壽命Lk的實(shí)現(xiàn)。

由一元維納過程的齊次馬爾科夫性和獨(dú)立增量性質(zhì)，可得到剩余壽命Lk在給定隨機(jī)參數(shù)λ和退化數(shù)據(jù)X1:k時(shí)的概率密度函數(shù)，表達(dá)式為

(5)

要實(shí)現(xiàn)氣缸剩余壽命的預(yù)測，需要消除式(5)中的未知參數(shù)，求出氣缸在退化路徑X1:k下剩余壽命的概率密度函數(shù)fLk|X1:k(lk|X1:k)。下面思考如何根據(jù)已知的退化路徑X1:k對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，求出fLk|X1:k(lk|X1:k)。

考慮到退化模型中參數(shù)λ的隨機(jī)性，可以通過全概率公式來求解fLk|X1:k(lk|X1:k)

(6)

2 剩余壽命預(yù)測模型求解

前面已經(jīng)給出了氣缸在退化路徑下剩余壽命概率密度函數(shù)求解的全概率公式，要實(shí)現(xiàn)剩余壽命的預(yù)測還需求解隨機(jī)參數(shù)λ的后驗(yàn)分布，并對未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

2.1 參數(shù)λ后驗(yàn)分布的Bayes估計(jì)

(7)

(8)

由于λ|X1:k服從正態(tài)分布，可以得到

(9)

2.2 基于EM算法的未知參數(shù)估計(jì)

為實(shí)現(xiàn)對Θ的估計(jì)，需求解似然函數(shù)

lk(Θ)=lnp(X1:k|Θ)

(12)

其中：p(X1:k|Θ)為退化路徑X1:k的聯(lián)合分布密度函數(shù)。

在退化數(shù)據(jù)X1:k下的最大似然估計(jì)量為

(13)

由于參數(shù)λ的隨機(jī)性和不可觀測性，式(13)將很難直接求解，這里引入期望最大化算法(expectationmaximizationalgorithm，簡稱EM算法)對其求解。EM算法的核心思想是通過添加數(shù)據(jù)包括“缺損數(shù)據(jù)”、未知參數(shù)等，利用簡單的迭代運(yùn)算，求解復(fù)雜分布的極大似然估計(jì)。算法分兩步：a.求期望，稱為E步；b.求極大值，稱為M步。筆者通過添加未知參數(shù)λ，利用EM算法求解似然函數(shù)lnp(X1:k,λ|Θk) 實(shí)現(xiàn)對p(X1:k|Θ)的極大似然估計(jì)，方法如下。

E步

(14)

M步

(15)

首先求解添加未知參數(shù)λ后的似然函數(shù)

lnp(X1:k,λ|Θk)=lnp(X1:k|λ,Θk)+lnp(λ|Θk)

(16)

(17)

3 氣缸剩余壽命預(yù)測在線更新算法

前面求解了p(λ|X1:k)并對未知參數(shù)Θ進(jìn)行了估計(jì)，完成了剩余壽命的PDF隨退化路徑X1:k的在線更新的準(zhǔn)備工作。實(shí)現(xiàn)剩余壽命的PDF隨退化路徑X1:k的在線更新方法如下。

首先，由全概率公式可得

(21)

進(jìn)一步推導(dǎo)可得到剩余壽命PDF的在線更新解析式為

(22)

到此已經(jīng)完成了氣缸退化模型的建立、剩余壽命概率密度函數(shù)的求解以及未知參數(shù)的估計(jì)和在線更新?；谝陨瞎ぷ?，可總結(jié)得到氣缸剩余壽命實(shí)時(shí)預(yù)測的算法如下：

5) 當(dāng)觀測得到tk+1(k≥1)時(shí)刻的新的退化數(shù)據(jù)xk+1后，重復(fù)步驟 2，3，4實(shí)現(xiàn)剩余壽命的更新。

4 實(shí) 驗(yàn)

4.1 問題描述

氣缸的故障原因有很多，主要的故障模式有密封圈磨損造成的過度泄漏和啟動摩擦過大。因氣缸過度泄漏故障通常發(fā)生在啟動摩擦過大之后[2]，筆者針對啟動摩擦過大造成氣缸失效的退化過程進(jìn)行研究。氣缸的最小啟動壓(minimumoperatepressure，簡稱MOP)可以用來表征啟動摩擦力的大小，且測量方便，因此選取該指標(biāo)作為氣缸的性能退化量。ISO1997 3-3[14]規(guī)定在正常使用狀態(tài)下，MOP應(yīng)小于120kPa，因此將氣缸的失效閾值定為120kPa。氣缸的壽命通常用作動次數(shù)(cycles)表示，活塞在缸筒兩端往復(fù)一次記為一個(gè)作動次數(shù)。

筆者在正常工作狀態(tài)(23℃)下對3個(gè)CA2系列標(biāo)準(zhǔn)氣缸樣本進(jìn)行了磨損退化實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中供氣壓力為0.70MPa，活塞桿速度為600mm/s，負(fù)載為3kg，頻率為1Hz。實(shí)驗(yàn)氣缸缸徑為φ50mm，行程為250mm。經(jīng)過近10個(gè)月18×106cycles的測試，每隔5×105cycles記錄氣缸MOP值，最終獲取3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。只有第3組MOP退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最終超過了失效閾值，所以選取第3組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(37個(gè)采樣點(diǎn))驗(yàn)證本研究剩余壽命預(yù)測方法的準(zhǔn)確性。第3組MOP退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的退化路徑如圖1所示，最終在采樣點(diǎn)15.5×106cycles時(shí)MOP超過失效閾值，將此時(shí)刻作為氣缸的失效時(shí)刻。

圖1 氣缸MOP退化路徑Fig.1 MOP degradation path of the cylinder

4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

把氣缸MOP退化實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)帶入筆者提出的剩余壽命在線預(yù)測方法進(jìn)行計(jì)算，并與文獻(xiàn)[5]中的剩余壽命的預(yù)測方法進(jìn)行對比，驗(yàn)證本方法的可行性和準(zhǔn)確性。同時(shí)，由于所提算法需要給定初始參數(shù)，這一部分也將通過調(diào)整初始參數(shù)對本方法的參數(shù)初始值敏感性進(jìn)行分析。為方便敘述，下面均將文獻(xiàn)[5]中的剩余壽命的預(yù)測方法稱為文獻(xiàn)[5]方法。

4.2.1 選擇合適參數(shù)時(shí)的預(yù)測結(jié)果

圖2 最后6個(gè)采樣點(diǎn)剩余壽命的PDFFig.2 The PDF of the residual life at the last six points

為進(jìn)一步從數(shù)值角度比較本研究方法與文獻(xiàn)[5]方法對氣缸退化數(shù)據(jù)的在線預(yù)測能力，采用均方誤差(meansquareerror，簡稱MSE)作為評價(jià)指標(biāo)[15]。定義tk時(shí)刻的均方誤差為

(23)

其中：k為第k個(gè)采樣點(diǎn)；xk為第k個(gè)采樣點(diǎn)實(shí)際退化數(shù)據(jù)；E(X(tk))為預(yù)測的第k個(gè)采樣點(diǎn)退化數(shù)據(jù)X(tk)的期望。

經(jīng)計(jì)算，在整個(gè)退化過程中，兩種方法得到的MSE如圖3所示。由圖3中兩條曲線的對比可以看出，在整個(gè)氣缸退化過程中本研究方法的MSE幾乎始終要小于文獻(xiàn)[5]方法，說明本方法對氣缸退化數(shù)據(jù)的預(yù)測要更準(zhǔn)確。

圖3 兩種方法的MSE對比Fig.3 Mean squared error of the two methods

4.2.2 參數(shù)初始值敏感性分析

為比較參數(shù)初始值對氣缸剩余壽命預(yù)測結(jié)果的影響，選取氣缸MOP首次超過失效閾值前的6個(gè)采樣點(diǎn)，在3種初始參數(shù)設(shè)置情形下分別計(jì)算它們的MSE，計(jì)算結(jié)果如表1所示。3種情形下的MSE都很小，可見本研究方法對初始參數(shù)給定不敏感。

表1 3種情形下最后6個(gè)采樣點(diǎn)的MSE

Tab.1 The mean squared error of the three cases at the last six points

/106cycles1212.50.005 50.010 70.005 313.00.005 40.010 40.005 113.50.005 30.010 20.005 014.00.005 30.009 90.004 914.50.005 00.009 60.004 715.00.004 90.009 30.004 6

5 結(jié) 論

1) 在小樣本情況下與文獻(xiàn)中同類方法相比，本研究方法能更準(zhǔn)確地預(yù)測氣缸剩余壽命且預(yù)測的不確定性更低。

2) 該方法對初始參數(shù)精度要求不高，具有較強(qiáng)魯棒性。

3) 下一步可以通過融合其他相關(guān)信息來提高本研究方法預(yù)測的準(zhǔn)確性和可靠性，例如融合同種(類)產(chǎn)品的離線退化數(shù)據(jù)、壽命數(shù)據(jù)等。