杜 毅， 宋欣達(dá)， 韓邦成

(1.北京航空航天大學(xué)慣性重點技術(shù)實驗室 北京，100191) (2.新型慣性儀表與導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室 北京，100191) (3.北京市高速磁懸浮電機(jī)技術(shù)及應(yīng)用工程技術(shù)研究中心 北京，100191)

引 言

磁懸浮離心式鼓風(fēng)機(jī)具有轉(zhuǎn)速高、功率大、調(diào)速范圍廣等優(yōu)點，在污水處理、高爐鼓風(fēng)等領(lǐng)域已取得廣泛應(yīng)用[1-2]。在大部分的應(yīng)用場合，對風(fēng)機(jī)靜態(tài)特性都有相應(yīng)要求。文獻(xiàn)[3]中，在控制煉鐵所需高爐風(fēng)壓時，通過使用調(diào)節(jié)閥實現(xiàn)出口風(fēng)壓調(diào)節(jié)，但該方法會增大管道阻力，損耗能量，降低風(fēng)機(jī)工作效率。文獻(xiàn)[4]在控制隧道通風(fēng)系統(tǒng)時，使用變頻調(diào)速的方法，但并未涉及到風(fēng)機(jī)與管道模型研究，未能得到管道出口壓力與電機(jī)轉(zhuǎn)速間精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)關(guān)系，調(diào)速范圍具有隨機(jī)性。文獻(xiàn)[5]提出了使用流量和輸出壓力作為反饋的控制方法，只是其控制對象是針對永磁電機(jī)的磁懸浮軸承間隙，控制范圍有限。傳統(tǒng)Greitzer模型未考慮實際應(yīng)用中由于地形限制而不可避免的彎形管道，并且存在限制使用地形的容腔，所以文獻(xiàn)[5]中所建立的模型并不適用。考慮風(fēng)機(jī)管道沿程壓力損失和局部壓力損失，能夠改進(jìn)傳統(tǒng)Greitzer風(fēng)機(jī)模型，為風(fēng)壓閉環(huán)控制器的設(shè)計奠定基礎(chǔ)。筆者通過實驗得到了電機(jī)轉(zhuǎn)速與鼓風(fēng)機(jī)出口壓力間的關(guān)系，并驗證了模型的有效性和準(zhǔn)確性。

1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

本研究對象為離心式鼓風(fēng)機(jī)，其主要結(jié)構(gòu)部件為葉輪、蝸殼和進(jìn)出氣管道。驅(qū)動電機(jī)是30 kW高速磁懸浮永磁式電機(jī)，三維模型圖如圖1所示。

鼓風(fēng)機(jī)建模方面，最經(jīng)典的動態(tài)模型是由Greitzer[6]提出的，包含了風(fēng)機(jī)、管道和容腔。圖1所示的實驗對象相比圖2(a)所示的Greitzer經(jīng)典模型，并未包含對地形有要求的容腔，考慮了應(yīng)用價值極高的彎行管道，故模型更具有應(yīng)用普適性。

圖2 改進(jìn)模型與原模型對比圖Fig.2 Comparison between improved model and original model

筆者在經(jīng)典風(fēng)機(jī)系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上，針對包含彎管但不包含容腔的風(fēng)機(jī)管道，建立了一個僅以電機(jī)轉(zhuǎn)速作為控制量的數(shù)學(xué)模型，在建模時默認(rèn)閥門保持不變。

1.1 鼓風(fēng)機(jī)升壓階段數(shù)學(xué)模型

對于圖2(b)中階段Ⅰ，外部氣體壓力為p01，經(jīng)過進(jìn)氣管道進(jìn)入鼓風(fēng)機(jī)后，鼓風(fēng)機(jī)對其做功，壓力升至p02，經(jīng)擴(kuò)壓器輸出至出口管道，有如下關(guān)系

p02=ψc(ω,m)p01

(1)

其中：ω為電機(jī)轉(zhuǎn)速；m為氣體質(zhì)量流量；Ψc(ω,m)為鼓風(fēng)機(jī)特性函數(shù)。

1.1.1 鼓風(fēng)機(jī)特性函數(shù)模型

假定鼓風(fēng)機(jī)在對氣體做功過程中，與外界沒有熱交換，視其為等熵過程。對于理想氣體，在等熵過程中，根據(jù)文獻(xiàn)[7]，有熱力學(xué)關(guān)系

其中：cp為恒壓條件下氣體比熱容；cv為恒容條件下氣體比熱容；κ=cp/cv，為絕熱指數(shù)；T01為風(fēng)機(jī)入口溫度。

在氣體流經(jīng)鼓風(fēng)機(jī)過程中，氣體比焓增加來源于鼓風(fēng)機(jī)對氣體做功。考慮到該做功過程中的損耗，則可得以下關(guān)系

h02=h01+Δhideal-Δhloss

(4)

其中：h01為風(fēng)機(jī)入口處氣體比焓；h02為風(fēng)機(jī)出口處氣體比焓；Δhideal為風(fēng)機(jī)傳遞給氣流的理想比焓；Δhloss為風(fēng)機(jī)對氣流做功過程中所損失的比焓。

結(jié)合式(2～4)，有

(5)

結(jié)合式(1，5)，可以得到鼓風(fēng)機(jī)特性函數(shù)為

(6)

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，風(fēng)機(jī)傳遞給氣流理想比焓可由如下公式給出

(7)

1.1.2 鼓風(fēng)機(jī)內(nèi)氣體損耗模型

氣流經(jīng)鼓風(fēng)機(jī)從p01變化為p02的過程中，鼓風(fēng)機(jī)對氣流做功，會增加氣流比焓。但在該過程中，總會發(fā)生能量損耗，主要來自以下幾方面：a.氣流流入葉輪和擴(kuò)散器時的沖擊損失Δhii和Δhdi；b.流經(jīng)葉輪和擴(kuò)壓器時的表面摩擦損失Δhif和Δhdf；c.在葉輪處由于二次流導(dǎo)致的葉片負(fù)荷損失Δhbl。相比這3種損耗，其他損失可忽略不計，故本研究主要考慮這3種損失。

1) 沖擊損失。沖擊損失主要來源于氣體流入葉輪和擴(kuò)壓器的過程中，為適應(yīng)葉輪方向而改變流向?qū)е碌乃俣葥p失。氣體在進(jìn)入葉輪處的沖擊損失示意圖如圖3所示。

圖3 氣流進(jìn)入葉片時沖擊損失Fig. 3 Incidence losses at the impeller

β1和V1分別為氣流進(jìn)入葉輪時的角度和對葉片的相對速度，β1b為葉片角度，V2為氣流進(jìn)入葉片后的相對速度，ΔV1即為氣流的相對速度損失

(8)

由正弦定理可得

(9)

由圖3可得

(10)

風(fēng)機(jī)葉輪為徑向式葉片結(jié)構(gòu)，則α1=90°。對于管道內(nèi)氣體流速，有以下關(guān)系

v=m/ρ02A1

(11)

結(jié)合式(8～11)可得

(12)

其中：C1為氣體絕對流入速度；U1為葉輪入口處切向速度；β1b為氣流入口處葉片角度；ρ01為入口處氣體持續(xù)進(jìn)氣密度；A1為進(jìn)氣通道面積。

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，氣體在擴(kuò)壓器處沖擊損失和摩擦損失與葉輪處相似。如圖4所示，氣體相對速度為V2，沿角度β2進(jìn)入擴(kuò)壓器，隨即改變速度方向至β2b以適應(yīng)擴(kuò)壓器，在該過程中，其切向速度ΔV2的動能被損耗掉。

圖4 氣流進(jìn)入擴(kuò)壓器時沖擊損失示意圖Fig. 4 Incidence losses at the diffuer

與葉輪處沖擊損失Δhii求法同理，可求得擴(kuò)壓器處氣體沖擊損失為

(13)

為簡化模型，根據(jù)文獻(xiàn)[9]可假定Ca2=Ca1，有

(14)

結(jié)合圖4中幾何關(guān)系與式(13)，可得

(15)

其中：σ為滑移系數(shù)，為出口處氣流切向速度與葉輪切向速度U2之比；β2b為葉片出口角度；D1為入口平均直徑；D2為出口平均直徑。

2) 表面摩擦損失。在氣體流經(jīng)葉輪和擴(kuò)壓器時，氣流與葉輪壁和擴(kuò)壓器壁間的摩擦?xí)?dǎo)致氣體表面摩擦損失。根據(jù)文獻(xiàn)[10]，氣流在葉輪處的摩擦損失可定義如下

(16)

其中：l為流經(jīng)通道長度；D為管道水力直徑；f為摩擦因子，其取決于雷諾數(shù)Re。

圓形光滑管道Re可取2 500，此處選用布拉修斯公式計算摩擦因子，有如下關(guān)系

f=0.316 4/Re0.25

(17)

由式(16，17)可得，氣體在鼓風(fēng)機(jī)內(nèi)摩擦損失，獨立于電機(jī)轉(zhuǎn)速，而與流量的二次方成正比，故可簡化模型為

Δhfi=kfim2

(18)

氣流在流經(jīng)擴(kuò)壓器時的摩擦損失模型，也可由相似方法建立[11]，模型如下

Δhfd=kfdm2

(19)

其中：kfi，kfd分別為氣體在葉輪處和擴(kuò)壓器處摩擦因數(shù)。

3) 葉片負(fù)荷損失。葉片負(fù)荷損失是由于葉片間壓力梯度造成氣流二次流而產(chǎn)生的[12]。二次流是流體在流動時，存在使其偏離主流流動方向的力(如重力、離心力等)或邊界條件(如彎管曲道或凹凸不平的邊壁)，流體隨之產(chǎn)生的偏離主流流向的流動或偏移[13]。

葉片負(fù)荷損耗模型[14]可由如下公式給出

(20)

其中：Df為擴(kuò)壓因子。

綜上可得，氣流流經(jīng)鼓風(fēng)機(jī)過程中，主要總損失Δhloss為

Δhloss=Δhii+Δhid+Δhfi+Δhfd+Δhbl

(21)

1.2 氣流沿直管流動階段數(shù)學(xué)模型

對于圖2(b)所示氣流沿直管流動階段Ⅱ，壓力為p02的氣體經(jīng)圓形直管道流動至彎管入口，在這個過程中，由于管道內(nèi)壁摩擦氣體會產(chǎn)生沿程壓力損失，故對于彎管入口時壓力為p03，有如下關(guān)系

(22)

其中：Lc為風(fēng)機(jī)出口到節(jié)流閥處管道的長度；ρ02為管道內(nèi)氣體密度；Δpλ為直管內(nèi)氣體沿程壓力損失；λ為沿程阻力系數(shù)，通常取64/Re；v為管道內(nèi)氣體流速。

1.3 氣流沿彎管流動階段數(shù)學(xué)模型

對于圖2(b)所示氣流沿彎管流動階段Ⅲ，壓力為p03的氣體經(jīng)彎管改變流向經(jīng)出口管道輸出，相對在直行管道流動，彎管處氣體流經(jīng)距離較短，故忽略此處沿程壓力損失，其損失主要來自氣體經(jīng)彎管改變流向造成的局部壓力損失，輸出壓力為p，有如下關(guān)系

p=p03-Δpζ=p03-ζρ02v2/2

(23)

其中：Δpζ為彎管處局部壓力損失；ζ為局部阻力系數(shù)。

結(jié)合以上所推導(dǎo)模型公式，最終可得風(fēng)機(jī)管道系統(tǒng)出口輸出壓力與電機(jī)轉(zhuǎn)速和氣體質(zhì)量流量關(guān)系。系統(tǒng)模型如下

(24)

2 出口壓力控制策略

電機(jī)控制器主要由兩部分組成：在轉(zhuǎn)速小于6 kr/min時，調(diào)制方式為脈沖寬度調(diào)制(pulse width modulation，簡稱PWM)，由DSP產(chǎn)生特定占空比的PWM波控制三相逆變器，從未改變定子相電壓；當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速大于6 kr/min時，調(diào)制方式為脈沖幅度調(diào)制(pulse amplitude modulation，簡稱PAM)，通過調(diào)節(jié)可控硅整流器，改變母線電壓，實現(xiàn)電機(jī)調(diào)速目的。

在控制系統(tǒng)過工作時，給定所需壓力值，鼓風(fēng)機(jī)工作時，通過管道上的壓力、流量及溫度傳感器，由數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采得當(dāng)前狀態(tài)下鼓風(fēng)機(jī)狀態(tài)量，經(jīng)系統(tǒng)模型計算出當(dāng)前狀態(tài)下對應(yīng)的參考轉(zhuǎn)速，并將出口壓力與設(shè)定標(biāo)準(zhǔn)壓力值做差后經(jīng)過比例積分(proportional & integral，簡稱PI)控制器，控制器輸出結(jié)果疊加到計算所得參考轉(zhuǎn)速中，實現(xiàn)出口壓力閉環(huán)控制。參考轉(zhuǎn)速，經(jīng)轉(zhuǎn)速PI控制器，即可得到母線參考電壓U。通過控制器局域網(wǎng)絡(luò)(controller area network，簡稱CAN)通信，將參考電壓發(fā)送給三相可控硅觸發(fā)板，即可完成對可控硅導(dǎo)通角的控制。調(diào)節(jié)母線電壓，改變電機(jī)轉(zhuǎn)速，實現(xiàn)在不改變管道阻力情況下控制輸出口壓力。

系統(tǒng)控制方案框圖如圖5所示。

由圖中控制方案可得出，該控制策略穩(wěn)態(tài)精度取決于所建立風(fēng)機(jī)數(shù)學(xué)模型精準(zhǔn)度，下面將通過實驗對風(fēng)機(jī)數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗證。

圖5 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig. 5 Control system

3 模型有效性實驗驗證

3.1 實驗平臺

本實驗平臺30 kW磁懸浮高速離心式鼓風(fēng)機(jī)如圖6所示，數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)是基于西門子可編程邏輯控制器(programmable logic controller，簡稱PLC)，型號為S7-200。采樣頻率為0.5 Hz。

圖6 實驗平臺Fig. 6 Experiment platform

3.2 實驗結(jié)果

對于式(24)中參數(shù)，做如下取值：滑移系數(shù)σ取值與葉輪葉片數(shù)量相關(guān)，取為0.875；擴(kuò)壓器入口直徑D1為0.15 m，D2為0.25 m，定壓比熱容cp取為1.005 kJ/(kg·K)，氣體絕熱指數(shù)κ取值為1.41；圓形光滑管道雷諾數(shù)取為2 500，故沿程阻力系數(shù)λ取為0.021 6，局部阻力系數(shù)ζ取為0.25；kfi，kdi為氣體摩擦常數(shù)，與氣體速度平方正相關(guān)，氣體速度可由式(11)利用其質(zhì)量流量計算得出。管道入口處溫度T0和氣體質(zhì)量流量m可由相應(yīng)數(shù)據(jù)采集器在實驗中采集，氣體密度取值為1.200 5 kg/m3；葉片入口與出口角度β2b和β2b分別為45°和41°；直管長度LC為5 m，管道直徑為0.25 m，可計算得相應(yīng)氣體流動橫截面積。

實驗時，控制電機(jī)轉(zhuǎn)速逐漸增加，從6 kr/min升至26 kr/min，轉(zhuǎn)速每變化200 r/min所采相應(yīng)的管道出口壓力數(shù)據(jù)求其均值后，最終得到100組數(shù)據(jù)，計算改進(jìn)模型與原模型在每組數(shù)據(jù)對應(yīng)轉(zhuǎn)速下的輸出壓力理論值，將理論計算所得曲線與實驗所測轉(zhuǎn)速壓力關(guān)系進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7所示。

圖7 不同模型壓力曲線對比圖Fig. 7 The relationship between rotor speed and outlet pressure for different model

計算兩個模型所得壓力與實驗壓力數(shù)據(jù)在各采樣點處相對誤差，結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同模型結(jié)果相對實驗壓力數(shù)據(jù)壓力誤差曲線圖Fig. 8 The relative error between model and experiment for different model

3.3 實驗結(jié)果分析

對于鼓風(fēng)機(jī)，可根據(jù)其輸出風(fēng)壓范圍將其分為低壓、中壓和高壓風(fēng)機(jī)。當(dāng)管道出口壓力(升壓)小于1 kPa時，為低壓風(fēng)機(jī)；大于1 kPa、小于3 kPa時，為中壓風(fēng)機(jī)；大于3 kPa時，為高壓風(fēng)機(jī)。由圖7分析可得，實驗所用鼓風(fēng)機(jī)，在電機(jī)轉(zhuǎn)速小于13 kr/min時，輸出壓力屬于低壓范圍；轉(zhuǎn)速大于13、小于23 kr/min時，輸出壓力處于中壓范圍；轉(zhuǎn)速大于23 kr/min時，輸出壓力屬于高壓范圍。

相比圖7(b)，圖7(a)改進(jìn)后的風(fēng)機(jī)系統(tǒng)模型，理論計算所得電機(jī)轉(zhuǎn)速-壓力關(guān)系曲線與實驗所得曲線整體重合度較好。由式(24)可知，管道內(nèi)壓力損失Δp與氣體質(zhì)量流量m二次方相關(guān)，而m是與電機(jī)轉(zhuǎn)速ω正相關(guān)的，故當(dāng)轉(zhuǎn)速越大時，Δp越大，不考慮管道內(nèi)壓力損失的風(fēng)機(jī)模型計算所得理論曲線與通過實驗所得實際出口壓力-電機(jī)轉(zhuǎn)速關(guān)系曲線的偏差就會越大。在圖7(b)中，電機(jī)轉(zhuǎn)速大于13 kr/min，即鼓風(fēng)機(jī)管道出口壓力處于中高壓階段時，兩條曲線重合度較差，并且理論計算所得值會大于實際所測值。

由圖8分析可得，在鼓風(fēng)機(jī)輸出壓力為低壓，即電機(jī)轉(zhuǎn)速小于13 kr/min時，圖8(a)中，改進(jìn)模型理論計算值與實驗所得值相對誤差范圍為±4%；而圖8(b)中，不考慮管道壓力損失的原模型相對誤差最高可達(dá)9%。在電機(jī)轉(zhuǎn)速大于13、小于23 kr/min，即鼓風(fēng)機(jī)輸出壓力處于中壓階段時，圖8(a)中改進(jìn)模型對應(yīng)的理論與實驗值相對誤差為±3%；圖8(b)中初始模型對應(yīng)的初始模型，其相對誤差范圍為±5%。在電機(jī)轉(zhuǎn)速大于23 kr/min時，鼓風(fēng)機(jī)輸出壓力處于高壓階段，此時圖8(a)中改進(jìn)模型對應(yīng)的相對誤差范圍為±1%；圖8(b)中初始模型的相對誤差范圍為±2.5%。

通過對圖8中相對誤差的比較分析可得，改進(jìn)模型的精準(zhǔn)度整體要高于初始模型，尤其在低速低壓輸出階段效果最好，能達(dá)到5%的優(yōu)化；在中高速階段，輸出壓力達(dá)到1 kPa以上時，此時雖然理論值與實驗值誤差增大，但由于輸出壓力升高，相對誤差反而變小，在中壓輸出階段，改進(jìn)模型精度提高了±2%，在高壓輸出階段，精度提高了±1.5%。由此可得，改進(jìn)模型在低壓輸出階段精度提升顯著，在中高壓輸出階段精準(zhǔn)度也有明顯提升。

4 結(jié)束語

通過對Greitzer模型的改進(jìn)，結(jié)合實際使用條件，去掉對使用環(huán)境要求高的容腔，增加應(yīng)用中不可避免的彎管，對于該種風(fēng)機(jī)管道，建立了一個考慮管道沿程壓力損失和局部壓力損失、以轉(zhuǎn)速作為控制量的數(shù)學(xué)模型，并通過實驗驗證了模型的有效性和準(zhǔn)確性。經(jīng)計算比較得出，在輸出壓力為中壓和高壓階段，相比于實驗結(jié)果，所提改進(jìn)模型輸出壓力相對誤差分別為±3%和±1%，而未考慮管道損耗的風(fēng)機(jī)模型這兩項誤差分別為±4%和±2%，均高于廠家的改進(jìn)風(fēng)機(jī)管道模型，這證明改進(jìn)風(fēng)機(jī)管道模型在精準(zhǔn)性上有所提升。本研究所建立的模型，不僅可用于出口壓力控制，在需要控制特定輸出流量、對出口壓力要求精度不高的使用條件下，可以通過模型變換、建立電機(jī)轉(zhuǎn)速與出口流量的數(shù)學(xué)模型，完成出口流量控制，使模型具有較高的實用價值。