（河北工業(yè)大學 機械工程學院 機械工程系，天津 300130）

0 引言

近年來3D打印機、激光雕刻機、激光切割機以及激光打標機等智能設備興起，引發(fā)了科技愛好者的興趣。CoreXY機構(gòu)是廣泛應用于這些設備中的機構(gòu)之一，CoreXY結(jié)構(gòu)相對緊湊，同樣體積的情況下，可以實現(xiàn)相對較大的打印尺寸；對于CoreXY結(jié)構(gòu)，在XY平面內(nèi)運動的兩個電機都固定，降低了運動部件的重量，這樣也就降低了運動部件的慣性，同樣驅(qū)動力的情況下，加速度更高，帶來的效果就是運動更加敏捷。相對于笛卡爾直角坐標機構(gòu)、Delta機構(gòu)[1]，CoreXY機構(gòu)具有明顯的優(yōu)勢。為了更加高效精確的控制它，目前比較流行的是廣泛用于數(shù)控機床控制的插補算法，常用的插補算法有逐點比較法、最小偏差法、Bresenham直線生成算法（計算機圖形學中繪制直線的一種經(jīng)典算法[2]）等。這些算法的優(yōu)點是算法簡單、插補計算速度快、插補誤差較小，但同時也存在如下缺點：1）不能兩軸聯(lián)動，影響加工精度；2）插補次數(shù)多，執(zhí)行時間長，影響生產(chǎn)效率[3]。所以為了提高機構(gòu)的執(zhí)行效率和加工精度，引入一種高精度高效率的算法尤為重要。

熔融沉積成型（Fused Deposition Modeling，F(xiàn)DM）是將絲狀的熱熔性材料加熱融化，同時三維擠出機構(gòu)在計算機的控制下，根據(jù)截面輪廓信息，將材料選擇性地涂敷在工作臺上，快速冷卻后形成一層截面。一層成型完成后，機器工作臺下降一個高度（即分層厚度）再成型下一層，直至形成整個實體造型[4]。對于CoreXY 結(jié)構(gòu)的FDM型3D打印機來說，為了快速的打印出高精度的產(chǎn)品模型，需要對打印機的X軸、Y軸、Z軸以及E軸（擠出機構(gòu)）的聯(lián)動控制，四者密切配合運動、缺一不可。尤其是X、Y平面的運動對一臺3D打印機的打印質(zhì)量尤為重要；因此實現(xiàn)對平面機構(gòu)的控制成為3D打印的核心。本文著重論述CoreXY平面機構(gòu)的運動控制，Z軸和E軸的運動控制相對較為簡單，不再詳細論述。目前一些主流的3D打印機固件不開源、國內(nèi)外相關(guān)研究資料較少，算法改進與移植困難，這給我們的研究帶來困難。本文將數(shù)控技術(shù)應用于3D打印行業(yè)，這將會大大方便3D打印愛好者的開發(fā)，同時也降低了入門難度。CoreXY結(jié)構(gòu)3D打印機由于其獨特的傳動方式，以及其較其他機構(gòu)的鮮明優(yōu)勢，這種機構(gòu)的應用前景將不可限量。

為了更準確高效地實現(xiàn)對CoreXY機構(gòu)的運動控制，本文對CoreXY結(jié)構(gòu)所獨有的X、Y平面機構(gòu)進行運動特性分析，將該機構(gòu)與典型的直角坐標機構(gòu)建立一定的數(shù)學轉(zhuǎn)化關(guān)系，引入了一種比最小偏差法更優(yōu)的算法。

1 機構(gòu)特點與運動分析

CoreXY機構(gòu)最大特點是步進電機都固定在機架一側(cè)，無論運動機構(gòu)沿X軸還是沿Y軸向運動，兩個步進電機都不會隨著機構(gòu)運動，因此減輕了機器在運動過程中的負擔，使運動機構(gòu)的動作更加平穩(wěn)。CoreXY機構(gòu)的原理圖如圖1所示。整個機構(gòu)的各種運動方式都是通過一根皮帶的傳動來實現(xiàn)的，這種傳動方式可以有效減輕振動，且避免了安裝絲杠、移動步進電機的負擔，使整體結(jié)構(gòu)更加簡單，運動更加靈活，能夠在一定程度上提高機構(gòu)的工作效率。

機構(gòu)運動位移ΔX，ΔY與步進電機M1、M2的線位移ΔA、ΔB之間的關(guān)系如式(1)和(2)所示：

解方程組可得：

上式中：ΔX、ΔY 分別為3D打印機工料擠出機構(gòu)所在的滑塊分別沿X正方向和沿Y正方向的位移，ΔA、ΔB分別為步進電機M1、M2的線位移，為了方便以順時針為負、逆時針為正來標記ΔA、ΔB的方向。

圖1 CoreXY 機構(gòu)傳動原理示意圖

當步進電機M1和M2以相同的速度順時針或逆時針同向轉(zhuǎn)動時，機構(gòu)的滑塊就會沿X軸方向水平運動，ΔA、ΔB的大小、方向相同；此時有：

當步進電機M1和M2以相同的速度、相反的方向轉(zhuǎn)動時，機構(gòu)的滑塊就會沿Y軸方向運動，此時：ΔA、ΔB的大小相同，方向相反；此時：

當步進電機M1轉(zhuǎn)動，步進電機M2靜止時，滑塊將沿著Y=X方向移動；此時：

同理當步進電機M2轉(zhuǎn)動，步進電機M1靜止時，滑塊將沿著Y=-X方向移動；此時：

由上可知，CoreXY機構(gòu)可以非常方便的實現(xiàn)滑塊沿著X、Y軸方向和Y=X、Y=-X方向移動，這就為下文的控制算法引入埋下伏筆。

2 運動控制算法研究

2.1 逐點比較法

這里我們先引入逐點比較法，逐點比較法的廣泛應用于數(shù)控領(lǐng)域，近來隨著增材制造和激光加工的興起，該算法也被應用于FDM型3D打印機的控制中。

要實現(xiàn)3D打印機的連續(xù)運動，需要將建立好的三維模型用切片軟件進行切片，得到所需打印模型的G代碼，代碼中存放的是無數(shù)層切片的坐標值，要重復這些軌跡，就要實現(xiàn)擠出機構(gòu)從當前點C（X0，Y0）到目標點D（X1，Y1）的插補運動[5]。

逐點比較法插補過程的每一步都要經(jīng)過以下四個工作節(jié)拍。

1）坐標判斷：計算擠出機構(gòu)的當前位置C（X0，Y0）與目標位置D（X1，Y1）的差值Xe，Ye，并根據(jù)Xe，Ye的符號，判斷進給方向。

2）坐標進給：根據(jù)當前偏差Fn判別的結(jié)果，控制機構(gòu)沿相應的坐標軸進給一步，使擠出機構(gòu)向模型輪廓靠攏。

3）偏差計算：擠出機構(gòu)進給一步后，針對新的擠出機構(gòu)位置，計算新的偏差值Fn+1。

4）終點判別：擠出機構(gòu)進給一步后，需要判別擠出機構(gòu)是否已經(jīng)到達零件輪廓的終點。如果已經(jīng)到達終點，則停止插補過程，目標位置賦值為當前位置；如果未到達終點，則返回到第1）步，重復上述四個節(jié)拍[6]。表1為打印機擠出機構(gòu)各卦限的運動判斷公式。

表1 逐點比較法插補公式表

擠出機構(gòu)在具體卦限的具體進給方向和偏差判斷如圖2，偏差F≥0時，擠出機構(gòu)沿著X軸運動，F(xiàn)＜0時擠出機構(gòu)沿著Y軸運動，步進電機M1和M2以相同的速度順時針或逆時針同向轉(zhuǎn)動時，就可以沿著X軸運動，步進電機M1和M2以相同的速度順時針或逆時針反向轉(zhuǎn)動時，就可以沿著Y軸運動。不妨假設步進電機的脈沖當量為0.1mm，當前點為C（0，0），目標點為D（0.5，0.7）或D（0.7，0.5），圖3為經(jīng)MATLAB仿真得到逐點比較法的運動效果圖，圖中的細線代表實際走過軌跡，粗線代表理想軌跡，由圖3我們可以明顯的看出，從一點到另一點，由于機構(gòu)只沿著X或Y軸運動存在很大的誤差，而且插補效率很低。

圖2 逐點比較法運動判斷圖

圖3 逐點比較法運動效果

2.2 最小偏差法

最小偏差法和逐點比較法的執(zhí)行步驟、判斷依據(jù)基本一致，有所不同的是最小偏差法引入了不止沿著x軸和y軸插補，還引入了45度角插補，共把一個平面區(qū)域分成了八個卦限[7]，其各卦限進給方向和偏差關(guān)系如表2所示，在具體卦限的具體進給方向和偏差判斷如圖4所示，F(xiàn)為偏差，F(xiàn)≥0時，擠出機構(gòu)沿Y=X或Y=-X運動，F(xiàn)＜0時擠出機構(gòu)沿著X或Y軸運動，步進電機M1和M2以相同的速度順時針或逆時針同向轉(zhuǎn)動時，就可以沿著X軸運動，步進電機M1和M2以相同的速度順時針或逆時針反向轉(zhuǎn)動時，就可以沿著Y軸運動，當步進電機M1轉(zhuǎn)動，步進電機M2靜止時，滑塊將沿著Y=X方向移動；當步進電機M2轉(zhuǎn)動，步進電機M1靜止時，滑塊將沿著Y=-X方向移動。

同樣以0.1mm為步進電機的脈沖當量，假設當前點為C（0，0），目標點為D（0.4，0.7）或D（0.7，0.4），經(jīng)過MATLAB仿真得到最小偏差法運動效果圖5，圖中的細線代表實際走過軌跡，粗線代表理想軌跡，由圖5可知，最小偏差法比逐點比較法在效率和精度上有了明顯的提高，但依然存在著較大的誤差，效率也并不高，所以現(xiàn)在就引入改進算法。以上兩種算法只局限于沿著X軸、Y軸和45度方向進給，其他角度的直線只能靠插補來實現(xiàn)。我們不妨假設，可以沿著其他角度插補，這就需要兩個步進電機同時以不同的速度運動，這樣就可以實現(xiàn)各種角度的高精度、高效率運動。

表2 最小偏差法插補公式表

圖4 最小偏差法運動判斷

圖5 最小偏差法運動效果圖

2.3 改進算法

2.3.1 原理描述

為了實現(xiàn)機構(gòu)X、Y軸的聯(lián)動，需使電機M1和M2同時以不同速度運動，同時開始同時結(jié)束，其第一卦限運動示意圖如6所示。

圖6 改進算法運動示意圖

由圖6可知，對于任意方向的直線插補，ΔX和ΔY的大小并不一定相同，此時：

由此我們可以得到兩個步進電機的轉(zhuǎn)動的線位移的比例關(guān)系，兩個電機需要在相同時間完成轉(zhuǎn)動，所以電機的位移之比等于角速度之比，又由于步進電機的角速度ω1、ω2是由控制器輸出的脈沖的周期T1、T2決定，所以可得：

由式(7)可知我們可以通過控制其輸出脈沖的周期以達到控制機構(gòu)滑塊沿著任意方向運動。

這種方法的難點在于周期大小選擇，脈沖周期過大和過小都會無法驅(qū)動步進電機，所以我們可通過設置及極限值的方法來限制不合適的脈沖，步進電機可以平穩(wěn)驅(qū)動的脈沖周期大約為10μ s～3ms，對于128細分的驅(qū)動器，最小的驅(qū)動周期可達3μs；對于普通的驅(qū)動器沒有那么多細分，由式(7)可知，當直線方向接近Y=X時，驅(qū)動步進電機M2的脈沖周期則趨于無窮大，這樣這種方法就會產(chǎn)生死區(qū)，為了解決這一缺陷我們可以采取和最小偏差法相結(jié)合的方法，在死區(qū)時采用最小偏差法，其他時候采用這種方法，這樣就會大大提高機構(gòu)的運動速度和精度。

2.3.2 算法實現(xiàn)步驟

對于算法的實現(xiàn)，需要確定CoreXY機構(gòu)兩個步進電機的旋轉(zhuǎn)方向、驅(qū)動脈沖周期以及脈沖數(shù)目，因此可以分為以下3個步驟：

若符合要求，則適用改進算法；若不符合，則適用最小偏差法。

2）電機方向和步數(shù)確定：步進電機的轉(zhuǎn)動方向和轉(zhuǎn)動步數(shù)可以由下式確定：

式中X、Y為擠出機構(gòu)沿X軸和Y軸脈沖當量的數(shù)目，可以通過Xe，Ye分別除以脈沖當量得到，A、B分大小別為步進電機M1和M2所需轉(zhuǎn)動的脈沖數(shù)，符號代表步進電機的轉(zhuǎn)動方向。

3）電機脈沖周期確定：由式(7)可以確定步進兩個步進電機脈沖周期之比，通常以周期較小者為基準周期，基準周期選用可平穩(wěn)驅(qū)動步進電機的最小周期Tmin。

假設取當前點為C（11.3，-8.4），目標點為D（12.5，-8.7），脈沖當量為0.01mm，規(guī)定最小周期Tmin=0.5ms，最大周期Tmax=2.5ms，則易得Xe=1.2，Ye=-0.3，換算為脈沖當量數(shù)目為X=120，Y=-30，方向為第四象限。

（1）由式(8)知Xe，Ye在不等式范圍內(nèi)，適用改進算法。

（2）由式(9)、式(10)計算得A=90，B=150，步進電機M1的需要轉(zhuǎn)動的脈沖數(shù)為90，方向為逆時針，步進電機M2的需要轉(zhuǎn)動的脈沖數(shù)為150，方向為逆時針。

3 結(jié)束語

我們分析了CoreXY機構(gòu)的運動特性以及基于該機構(gòu)3D打印機的常用運動控制算法，對比的各種算法的優(yōu)缺點，提出了一種改進算法，運用這種算法，配合數(shù)據(jù)校正算法，再配合步進電機的梯形加減速算法[8]，PID算法控制擠出絲的溫度，配合Z軸和E軸的運動，可以獲得很好的打印精度和速度。