毋翠玲 和小軍

【摘 要】本文簡(jiǎn)要介紹 4 MAT 學(xué)習(xí)模式，闡明數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的關(guān)系，以普通高中課標(biāo)教材必修一“用二分法求方程的近似解”的問題設(shè)計(jì)為例，論述“四何”（為何—是何—如何—若何）數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)法及其應(yīng)用，并對(duì)基于 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的數(shù)學(xué)教學(xué)提出四條建議。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué) 4MAT 學(xué)習(xí)模式 數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì) “四何”問題設(shè)計(jì)法

【中圖分類號(hào)】G? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）01B-0027-03

問題是數(shù)學(xué)的心臟。對(duì)于問題設(shè)計(jì)，有學(xué)者提出了具體的設(shè)計(jì)模式。譬如基于 PBL（Problem-based Learning）教學(xué)視角設(shè)計(jì)問題，綜合教學(xué)資源、教學(xué)目標(biāo)、學(xué)習(xí)者特征，構(gòu)建問題設(shè)計(jì)模型（楊雪，孫杰等，2011 年），該模式重視問題的情境性、可挑戰(zhàn)性和開放性。另外，有學(xué)者基于學(xué)生學(xué)習(xí)視角分析 3 C 3 R（content，context，connection，researching，reasoning，reflecting）問題設(shè)計(jì)的構(gòu)成要素、基本觀點(diǎn)及應(yīng)用價(jià)值，指出問題設(shè)計(jì)的六個(gè)要素，從靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)角度設(shè)計(jì)問題（馮銳，繆茜惠，2010 年），該模式重視問題的全面性。有學(xué)者基于信息技術(shù)視角構(gòu)建面向理科、文科的問題設(shè)計(jì)框架（胡小勇，2006 年），該模式有框架清晰、易于操作的特點(diǎn)。以上模式分別基于問題解決、學(xué)生學(xué)習(xí)、信息技術(shù)視角設(shè)計(jì)問題，存在問題情景設(shè)置困難、考慮要素過多、問題設(shè)計(jì)框架過于理想化等缺點(diǎn)。4 MAT（natural learning mode）學(xué)習(xí)模式根據(jù)人的學(xué)習(xí)風(fēng)格不同將問題分成四類，以循環(huán)的方式進(jìn)行編列，旨在提高學(xué)習(xí)者的綜合素質(zhì)。筆者基于 4 MAT 學(xué)習(xí)模式，指出 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的系統(tǒng)學(xué)習(xí)循環(huán)圈與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，然后提出“四何”數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)法，結(jié)合高中數(shù)學(xué)具體案例設(shè)計(jì)問題，并對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法提出建議。

一、4 MAT 學(xué)習(xí)模式簡(jiǎn)介

1979 年麥克錫（Bernice McCarthy）創(chuàng)立 4 MAT 學(xué)習(xí)模式，這種模式經(jīng)過不斷完善發(fā)展，已成為一種頗有影響的教學(xué)模式。圖 1 展示了 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的核心理念：任何學(xué)習(xí)都是由“為何—是何—如何—若何”組成的循環(huán)圈，依次對(duì)應(yīng)“把握學(xué)習(xí)價(jià)值—透徹理解概念—積極操練技能—靈活應(yīng)用”四個(gè)階段的學(xué)習(xí)。其間學(xué)習(xí)者左右腦交替輪換歷經(jīng)八個(gè)學(xué)習(xí)階段：連接與關(guān)注—— 想象與講解—— 練習(xí)與擴(kuò)展—— 提煉與表現(xiàn)。

二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的關(guān)系

有學(xué)者對(duì) 4 MAT 學(xué)習(xí)模式進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)證研究，結(jié)果顯示學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)明顯高于傳統(tǒng)教學(xué)的成績(jī)（Enver Tatar and Ramazan Dikici，2008 年）。學(xué)生在課程成績(jī)、學(xué)習(xí)態(tài)度上都好于傳統(tǒng)教學(xué)（Sevinc，Mert Uyangor，2012）。傳統(tǒng)教學(xué)中，教師也重視引導(dǎo)學(xué)生使用恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，但未必知道讓學(xué)生使用某種學(xué)法的原因，也未必了解左右腦與學(xué)生學(xué)法之間的關(guān)系。事實(shí)上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)左右腦的協(xié)作能力有較高的要求，通常數(shù)學(xué)成績(jī)突出的學(xué)生左右腦的協(xié)作能力較強(qiáng)。4 MAT 系統(tǒng)學(xué)習(xí)循環(huán)圈具有左右腦交替輪回的特色，可以促進(jìn)左右腦協(xié)調(diào)合作，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)。由此可以看出，4 MAT 學(xué)習(xí)模式與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般模式存在一定的關(guān)系。如下表 1 展示兩者間關(guān)系。

（一）輸入階段的學(xué)習(xí)過程。4 MAT 學(xué)習(xí)模式經(jīng)歷連接、關(guān)注兩階段學(xué)習(xí)。在連接階段，學(xué)生運(yùn)用右腦學(xué)習(xí)，自然地將內(nèi)容與生活相連接，而非簡(jiǎn)單的告知;在關(guān)注階段運(yùn)用左腦學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其他學(xué)生的想法、反思學(xué)習(xí)體驗(yàn)并形成自己的疑惑，從而感知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（二）相互作用階段的學(xué)習(xí)過程。4 MAT 學(xué)習(xí)模式經(jīng)歷想象、講解兩階段學(xué)習(xí)。在想象階段，學(xué)生運(yùn)用右腦學(xué)習(xí)，在頭腦里勾勒出原有的數(shù)學(xué)知識(shí)圖像，采用能反映核心概念的右腦分析方式活動(dòng);在講解階段運(yùn)用左腦學(xué)習(xí)，分析、形成核心知識(shí)、新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)雛形。

（三）操作階段的學(xué)習(xí)過程。4 MAT 學(xué)習(xí)模式經(jīng)歷練習(xí)、擴(kuò)展兩階段學(xué)習(xí)。在練習(xí)階段，學(xué)生運(yùn)用左腦學(xué)習(xí)，不斷練習(xí)所學(xué)知識(shí)，旨在達(dá)到熟練的程度;在擴(kuò)展階段，運(yùn)用右腦學(xué)習(xí)，協(xié)調(diào)知識(shí)、技能、學(xué)習(xí)材料和思想方法，初步形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

（四）輸出階段。4 MAT 學(xué)習(xí)模式經(jīng)歷提煉、表現(xiàn)兩階段學(xué)習(xí)。在提煉階段，學(xué)生運(yùn)用左腦學(xué)習(xí)，完善自己的知識(shí);在表現(xiàn)階段，學(xué)生運(yùn)用右腦學(xué)習(xí)，充分表現(xiàn)自己，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

4 MAT 學(xué)習(xí)模式與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般模式具有一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。4 MAT 學(xué)習(xí)模式有八個(gè)階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般模式有四個(gè)階段，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般模式的每一階段對(duì)應(yīng) 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的兩個(gè)階段。倘若將 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的八個(gè)階段融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四個(gè)階段，那么 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的系統(tǒng)學(xué)習(xí)循環(huán)圈將引發(fā)數(shù)學(xué)的系統(tǒng)循環(huán)學(xué)習(xí)，而且可以促進(jìn)左、右腦的協(xié)調(diào)發(fā)展，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

三、基于 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的“四何”數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)法

問題是數(shù)學(xué)的心臟。如果能夠依據(jù) 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的系統(tǒng)學(xué)習(xí)循環(huán)圈設(shè)置問題串，那么就可帶領(lǐng)學(xué)生完成數(shù)學(xué)的系統(tǒng)循環(huán)學(xué)習(xí)。下面具體闡述基于 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的“四何”數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)法。

（一）“四何”數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)法。4 MAT 學(xué)習(xí)模式由“為何”“是何”“如何”“若何”四部分構(gòu)成，由這“四何”出發(fā)設(shè)計(jì)問題的方法，簡(jiǎn)稱“四何”數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)法。

“為何”即 Why 類問題。此類問題的設(shè)計(jì)應(yīng)以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力為目標(biāo)，教師以回顧復(fù)習(xí)舊知為先導(dǎo)，精心設(shè)計(jì)問題情境，譬如，游戲情境、實(shí)踐情境、現(xiàn)實(shí)情境、過程式情境、懸念情境、競(jìng)賽情境、類比和猜想情境、爭(zhēng)論性情境。以“動(dòng)”“活”“挑戰(zhàn)”“沖突”等學(xué)習(xí)動(dòng)力源為依據(jù)，創(chuàng)設(shè)構(gòu)造情境、動(dòng)態(tài)情境以進(jìn)行問題設(shè)計(jì)。

“是何”即 What 類問題。此類問題的設(shè)計(jì)應(yīng)以喚起學(xué)生的自我監(jiān)控為目標(biāo)，可采用元認(rèn)知提示語的方法，使學(xué)生可以調(diào)用自己的思維策略，主動(dòng)探究問題。學(xué)生能夠?qū)嵤┳晕冶O(jiān)控是設(shè)計(jì)問題的依據(jù)。

“如何”即 How 類問題。此類問題的設(shè)計(jì)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力為目標(biāo)，可采用理解性提示語的方法。問題設(shè)計(jì)應(yīng)以調(diào)用學(xué)生已具備的原理、概念和理論，培養(yǎng)學(xué)生將知識(shí)應(yīng)用于具體情境的能力為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

“若何”即 What…if not 類問題。此類問題的設(shè)計(jì)應(yīng)以激發(fā)學(xué)生多方向思維，培養(yǎng)學(xué)生多角度、深層次思考問題的能力為目標(biāo)，結(jié)合波利亞“怎樣解題表”的第四個(gè)步驟“回顧與反思”設(shè)計(jì)問題。以解題后的“再認(rèn)識(shí)”和“元認(rèn)知成分”為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

通過“四何”問題的驅(qū)動(dòng)，學(xué)生完成 4 MAT 學(xué)習(xí)模式四個(gè)象限八個(gè)階段的系統(tǒng)學(xué)習(xí)循環(huán)圈。其中，“為何”“是何”層次較低，“如何”“若何”層次較高。這樣循環(huán)上升的問題設(shè)計(jì)，不僅使問題具有梯度，而且交替輪回使用左右腦，滿足了用心反思、直觀感知、付諸行動(dòng)等不同學(xué)習(xí)風(fēng)格的需求。

（二）“四何”數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)法的應(yīng)用與舉例?！坝枚址ㄇ蠓匠痰慕平狻弊鳛槠胀ǜ咧姓n標(biāo)教材的新增內(nèi)容，融數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程兩大數(shù)學(xué)思想方法于一體，是函數(shù)部分的升華，廣泛受到一線教師的高度重視。下面以“用二分法求方程的近似解”的問題設(shè)計(jì)為例，介紹“四何”數(shù)學(xué)問題設(shè)計(jì)法的應(yīng)用。

1.設(shè)置“為何”問題，明確“為什么學(xué)”。播放幸運(yùn) 52 猜價(jià)格的游戲節(jié)目及一段視頻：一個(gè)風(fēng)雨交加的夜晚，工人師傅維修電話線路故障的畫面，通過設(shè)計(jì)游戲或?qū)嵺`情境，從而引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。當(dāng)學(xué)生達(dá)到“心憤憤”“口悱悱”的狀態(tài)時(shí)，順勢(shì)針對(duì)情境直接設(shè)計(jì)問題，可以激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力。譬如，設(shè)計(jì)如下問題：①大家通過幸運(yùn) 52 猜游戲的節(jié)目，思考如何能更快地猜出價(jià)格？（激發(fā)認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力）②通過觀看《工人師傅維修》的視頻，思考如何能更快找到故障所在？（激發(fā)認(rèn)知內(nèi)驅(qū)力）③通過這兩個(gè)例子的解答對(duì)三次方程 2x3+3x-3=0 根的求解有什么啟發(fā)？（產(chǎn)生困惑，明確學(xué)習(xí)“用二分法求方程的近似解”的意義）

2.設(shè)置“是何”問題，明確“學(xué)什么”。采用元認(rèn)知提示語“你知道什么？”“你有什么體會(huì)？”設(shè)計(jì)問題，針對(duì)教學(xué)核心知識(shí)“二分法”與幸運(yùn) 52 猜游戲之間的關(guān)系設(shè)計(jì)問題，提高學(xué)生的元認(rèn)知水平。譬如，設(shè)計(jì)如下問題：①你對(duì)“工人師傅”和“猜價(jià)格”兩例子的處理辦法有什么體會(huì)？（體會(huì)監(jiān)控）②你知道哪些函數(shù)的零點(diǎn)？此三次方程的解應(yīng)該是哪個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)、有沒有零點(diǎn)呢？（思維監(jiān)控，自主探究）③你覺得利用“二分法”求方程的近似解的關(guān)鍵步驟是什么？（自我反?。?/p>

3.設(shè)置“如何”問題，明確“學(xué)以致用”。采用理解性提示語“利用二分法……”設(shè)計(jì)問題，以使學(xué)生靈活應(yīng)用。當(dāng)學(xué)生明確“二分法”的操作步驟后，可直接設(shè)計(jì)利用“二分法”求解的題目。譬如，設(shè)計(jì)如下問題：①用“二分法”求三次方程? 2x3+3x-3=0? 的解（精確到小數(shù)點(diǎn)后 3 位）？（直接操練）②用“二分法”求如下問題：有 27 個(gè)形狀、大小相同的小球，其中有一個(gè)球比其他小球略重，你用天平稱幾次可以找出這個(gè)球？要求次數(shù)越少越好。（復(fù)雜的操練）③用“二分法”求這樣的問題：“上海某公司需要擴(kuò)大規(guī)模，提高生產(chǎn)產(chǎn)值。已知該企業(yè) 2010 年的生產(chǎn)總值為 30 萬元，要使該企業(yè)從 2010 到 2013 年這 4 年的生產(chǎn)總值的總和達(dá)到 210 萬元，則該企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)值的平均年增長(zhǎng)率應(yīng)為多少（精確度為 0.01）？”（靈活應(yīng)用）

4.設(shè)置“若何”問題，明確“還能學(xué)什么”。重點(diǎn)設(shè)計(jì)“還有哪些方法？”等開放性問題，促進(jìn)思維的發(fā)散性。當(dāng)學(xué)生學(xué)完“用二分法求方程的近似解”后，為促進(jìn)知識(shí)的系統(tǒng)性，可設(shè)計(jì)變式問題，增強(qiáng)學(xué)生思維的廣度和深度。譬如，設(shè)計(jì)如下問題：①請(qǐng)同學(xué)們編制一個(gè)問題，同桌交換解答。（多角度思維）②反思這節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，具體說說你學(xué)到了哪些知識(shí)和思想方法？（深層次思考）

4 MAT 學(xué)習(xí)模式在第四象限的任務(wù)是將一節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行整合歸納，并為下一循環(huán)的學(xué)習(xí)作準(zhǔn)備。通過整合并創(chuàng)新知識(shí)，達(dá)到學(xué)習(xí)循環(huán)圈的終點(diǎn)，這個(gè)終點(diǎn)將是下一個(gè)學(xué)習(xí)新的起點(diǎn)。在“四何”問題的帶領(lǐng)下，使學(xué)生完成數(shù)學(xué)系統(tǒng)學(xué)習(xí)循環(huán)圈的學(xué)習(xí)。

四、基于 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的數(shù)學(xué)教學(xué)建議

“四何”數(shù)學(xué)問題的編排具有層次性和循環(huán)性，問題的數(shù)量少而精，問題設(shè)計(jì)緊扣核心知識(shí)，“為何”“是何”“如何”“若何”滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)風(fēng)格。在實(shí)際教學(xué)中教師通過設(shè)置“四何”問題，協(xié)調(diào)四個(gè)象限的活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者完成 4 MAT 學(xué)習(xí)模式的系統(tǒng)學(xué)習(xí)循環(huán)圈。就學(xué)生而言，因?qū)W習(xí)風(fēng)格不同，在某一階段的學(xué)習(xí)會(huì)出現(xiàn)不順利的情況，比如，傾向于用心反思的學(xué)習(xí)者習(xí)慣于觀察、傾聽、反省來過濾知識(shí)，但卻忽略對(duì)知識(shí)的直接體驗(yàn)。事實(shí)上，通過直接體驗(yàn)后再對(duì)知識(shí)進(jìn)行過濾才是教學(xué)的本質(zhì)要求。相反，對(duì)于傾向于直接體驗(yàn)的學(xué)習(xí)者來說，其反思、觀察相對(duì)較弱，事實(shí)上在教學(xué)中引導(dǎo)這部分學(xué)生進(jìn)行反思是有困難的。高中數(shù)學(xué)要強(qiáng)調(diào)學(xué)生多種學(xué)習(xí)方式的鍛煉，掌握查閱資料、合作學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、元認(rèn)知學(xué)習(xí)等學(xué)習(xí)方式。實(shí)際教學(xué)中，教師怎樣才能帶領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn) 4 MAT 學(xué)習(xí)循環(huán)圈呢？

（一）教師要引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)和分享體會(huì)。4 MAT 學(xué)習(xí)模式第一象限，通過創(chuàng)設(shè)情景引入教學(xué)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知的動(dòng)機(jī)。在學(xué)生親身體驗(yàn)學(xué)習(xí)情境后，設(shè)置“為何”問題串，組織學(xué)生開展小組合作學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生交流、傾聽與反思。整個(gè)課堂充滿民主開放的氣氛，利于學(xué)生獲取體驗(yàn)并分享體會(huì)。

（二）教師要引導(dǎo)學(xué)生獲取和反省核心知識(shí)。4 MAT 學(xué)習(xí)模式第二象限，要弄清楚核心概念，抓住核心概念所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法、在形式化的背后透視數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。設(shè)置“是何”問題串，在講授的同時(shí)注重學(xué)生的思考和反思，引導(dǎo)學(xué)生將核心知識(shí)和自身融為一體。整個(gè)課堂充滿教師講授和學(xué)生反省的氣氛，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)客觀和主觀的平衡。

（三）教師要善于評(píng)價(jià)并引導(dǎo)學(xué)生自評(píng)。4 MAT 學(xué)習(xí)模式第三象限，要組織學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)。設(shè)置“如何”問題串，在學(xué)生操練后，對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的每一步都要作出評(píng)價(jià)，譬如，用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法，解題速度是否快捷，哪種方法更好，到哪一步作不下去了？有針對(duì)性的評(píng)價(jià)實(shí)際上就是學(xué)生反思成長(zhǎng)，熟練掌握技能的過程。整個(gè)課堂充滿操練和評(píng)價(jià)的氣氛，再次實(shí)現(xiàn)從客觀知識(shí)到主觀體驗(yàn)的平衡。

（四）教師要善于培養(yǎng)學(xué)生的反思和創(chuàng)新能力。4 MAT 學(xué)習(xí)模式第四象限，對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行小結(jié)。設(shè)置“若何”問題串，鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的發(fā)現(xiàn)、體會(huì)。引導(dǎo)學(xué)生反思所掌握的知識(shí)和技能，所經(jīng)歷的過程與方法，所體會(huì)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀。提升學(xué)生知識(shí)的整合和創(chuàng)新能力。這個(gè)階段充滿學(xué)生反省和系統(tǒng)化知識(shí)的氣氛，實(shí)現(xiàn)從實(shí)踐操作到主觀體驗(yàn)的平衡。至此，一個(gè)完整的循環(huán)圈已在教師的組織下完成，這將是新的學(xué)習(xí)循環(huán)圈的起點(diǎn)。

麥克錫（Bernice McCarthy）的 4 MAT 學(xué)習(xí)模式，以循環(huán)連續(xù)體貫穿始終。運(yùn)用全腦學(xué)習(xí)理論，充分發(fā)揮學(xué)生個(gè)體的潛在能力，顧及個(gè)體差異。以“為何”“是何”“如何”“若何”問題串引領(lǐng)學(xué)生思維。教師利用 4 MAT 學(xué)習(xí)模式實(shí)施教學(xué)，關(guān)注學(xué)生提出的問題，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)，在核心概念的帶動(dòng)下讓學(xué)生的主體地位充分得以展現(xiàn)。

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【作者簡(jiǎn)介】毋翠玲（1977— ），女，漢族，河南焦作人，碩士，中學(xué)一級(jí)，玉林師范學(xué)院教育科學(xué)學(xué)院教師，從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究。

（責(zé)編 盧建龍）