陳爐云， 郭永晉

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國家重點實驗室 海洋智能裝備與系統(tǒng)教育部重點實驗室，上海 200240；2.高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

在結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析中，描述振動特性的參數(shù)包括速度(加速度、位移)、力、固有頻率、功率流等。功率流包涵了力、速度的幅值及二者間的相位關(guān)系，能較為全面地表征結(jié)構(gòu)振動過程中能量傳輸機理和規(guī)律。在振動功率流分析中，Lee等[1]分析多域系統(tǒng)振動耦合問題獲得了振動功率流的傳遞規(guī)律，對壓縮機基座的振動傳遞的功率流進行數(shù)值計算。Choi等[2]分析了復(fù)合材料浮筏系統(tǒng)的功率流問題，對具有不同阻尼參數(shù)浮筏結(jié)構(gòu)的減振效果進行了對比。馬豐偉等[3]應(yīng)用靈敏度方法分析了隔振設(shè)備設(shè)計參數(shù)對功率流的影響。王曉樂等[4]針對動力裝置的隔振問題，運用子結(jié)構(gòu)導(dǎo)納法推導(dǎo)整體系統(tǒng)的功率流傳遞方程。

圓柱殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天、海洋工程等領(lǐng)域。對于流場中圓柱殼結(jié)構(gòu)的聲振問題，李廣等[5]利用模態(tài)疊加法推導(dǎo)了點激勵力作用下的殼體結(jié)構(gòu)功率流表達式，探討了三種振動波功率流隨振動頻率和空間變化的傳播特性。陳浩森等[6]分析了流體黏性特性對流場-圓柱殼耦合系統(tǒng)的振動能量流輸入的影響。Liu等[7]基于Flügge薄殼方程和Helmholtz波動方程推導(dǎo)了靜水壓力下環(huán)肋圓柱殼結(jié)構(gòu)在周向余弦線分布力激勵下的輸入功率流特性。葉文兵[8]基于波傳播方法計算了半浸狀態(tài)的圓柱殼結(jié)構(gòu)在周向線激勵作用下的輸入功率流。張森森等[9]運用傅里葉積分變換和勢流理論求解流固耦合方程，推導(dǎo)了阻尼復(fù)合圓柱殼振動功率流計算方法。在上述研究中，研究對象都是處于無限流場空間內(nèi)的聲振問題。

在結(jié)構(gòu)振動-聲輻射分析中，結(jié)構(gòu)聲振特性受邊界條件的影響，如近地面結(jié)構(gòu)的振動-聲輻射受地面反射的影響，水下結(jié)構(gòu)的聲輻射受水面及海底面的影響。半空間域或淺水域的振動-聲輻射問題是研究的熱點。白振國等[10]利用鏡面理論探討了淺水中圓柱殼結(jié)構(gòu)的聲散射特性，對比了水深、潛深對圓柱殼外聲場分布和衰減特性的影響。Lu等[11]基于聲格林函數(shù)，對比了水深對海底聲反射的影響。Hasheminejad等[12-13]應(yīng)用鏡像理論分析了半空間域內(nèi)圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射問題。王鵬等[14-16]針對淺水中圓柱殼結(jié)構(gòu)開展了振動與聲輻射分析，研究了浸深對輸入功率流及聲輻射的影響。對于更復(fù)雜的聲邊界問題，Chan等[17]針對角域內(nèi)的結(jié)構(gòu)振動波的邊界反射問題，應(yīng)用雙反射法進行求解。Ye等[18]推導(dǎo)了同時含自由液面和剛性面的組合聲邊界下的圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射方程。王威等[19-20]結(jié)合保角變換理論和雙反射法推導(dǎo)了組合邊界任意夾角內(nèi)的聲輻射方程，對比了直角空間域內(nèi)邊界特性對圓柱殼結(jié)構(gòu)聲輻射功率及聲指向性的影響。然而，對于含復(fù)雜聲邊界的圓柱殼結(jié)構(gòu)功率流特性問題，目前的研究成果較少。

本文針對含組合聲邊界的圓柱殼結(jié)構(gòu)聲振問題，應(yīng)用雙反射理論推導(dǎo)同時含自由液面和剛性面邊界特性的圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入功率流方程。對比了聲邊界特性、頻率和位置對圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入功率流的影響。

1 無限流場中圓柱殼結(jié)構(gòu)聲模型

1.1 圓柱殼模型

無限長圓柱殼結(jié)構(gòu)浸沒于密度為ρf、聲速為cf的無限流場中。圓柱殼殼體厚度h與中面半徑R滿足h/R<<1。以圓柱殼結(jié)構(gòu)中心為原點建立柱坐標(biāo)系，z、θ和r分別表示殼體軸向、周向和徑向方向，u、v和w分別表示殼體中面的軸向、周向和徑向位移，如圖1所示。

圖1 流場中圓柱殼結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系

1.2 Flügge殼體運動方程

根據(jù)Flügge薄殼理論，流場中無限長圓柱殼結(jié)構(gòu)運動控制方程寫成

(1)

式中:[Li,j]為Flügge薄殼振動微分算子;[u,v,w]T為殼體中面位移;[0,0,Fr]T為作用在圓柱殼上徑向外激勵力;[0,0,Pr,f]T為作用在結(jié)構(gòu)表面的流體等效載荷。

在圓柱殼結(jié)構(gòu)振動過程中，振動波沿結(jié)構(gòu)軸向傳播，周向取駐波形式的解(省略時間簡諧項eiωt)?；诓▊鞑シ椒ǎ瑲んw中面位移可寫成

(2)

式中:n為周向模態(tài)階數(shù);i為單位虛數(shù);kn為軸向波數(shù)。Un、Vn、Wn分別為波數(shù)域下軸向、周向和徑向位移幅值。

1.3 聲輻射方程

設(shè)圓柱殼外部流場為理想聲介質(zhì)，自由聲場中的聲壓方程滿足Helmholz波動方程

(3)

在柱坐標(biāo)系下，應(yīng)用分離變量法求解式(3)，圓柱殼結(jié)構(gòu)遠場聲壓可寫成

(4)

在流體與圓柱殼結(jié)構(gòu)交界面上滿足速度連續(xù)條件，即流體徑向位移等于殼體表面徑向位移

(5)

(6)

對式(6)求導(dǎo)，得圓柱殼結(jié)構(gòu)表面徑向速度

(7)

2 直角空間域內(nèi)圓柱殼聲振方程

對于水中圓柱殼結(jié)構(gòu)，存在同時含有自由液面和剛性壁面的組合聲邊界狀態(tài)，如懸浮于碼頭附近近水面潛艇的聲輻射問題。本文對由剛性壁面和自由液面組成的三維直角空間域內(nèi)圓柱殼結(jié)構(gòu)聲振特性進行研究，分析聲邊界特性對輸入功率流的影響。

2.1 直角空間域概述

對于無限長圓柱殼，如忽略軸向坐標(biāo)z的因素，可將三維直角空間域問題轉(zhuǎn)化為二維平面問題，如圖2所示的右下區(qū)域。

設(shè)z方向為圓柱殼軸向方向、x軸正方向朝下、y軸正方向朝右。圓柱殼中心與剛性壁面及自由液面間距離分別為l和s，并滿足(l>R,s>R)。

2.2 雙反射理論

對于同時存在剛性壁面和自由液面的直角空間域內(nèi)的聲輻射問題，利用雙反射理論獲得受控空間內(nèi)圓柱殼結(jié)構(gòu)聲振特性。

圖2中，聲學(xué)系統(tǒng)由一個真實聲源和三個鏡像聲源組成。實線環(huán)OT為真實圓柱殼結(jié)構(gòu)；虛線環(huán)O1為自由液面反射形成的鏡像圓柱殼結(jié)構(gòu)；虛線環(huán)O2為剛性壁面反射形成的鏡像圓柱殼結(jié)構(gòu)；虛線環(huán)O3為雙反射形成的鏡像圓柱殼結(jié)構(gòu)。

圖2 圓柱殼結(jié)構(gòu)雙反射圖

以4個圓環(huán)的形狀中心O為原點建立柱坐標(biāo)系(r,θ,z)。在z=0平面上的任意場點P，其聲壓函數(shù)p(r,θ,z)由4個柱面波聲壓方程疊加。

p(r,θ,z)=pT(rT,θT,z)+p1(r1,θ1,z)+

p2(r2,θ2,z)+p3(r3,θ3,z)

(8)

2.3 聲邊界方程

2.3.1 自由液面邊界

(9)

2.3.2 剛性壁面邊界

(10)

2.3.3 雙反射界面邊界

圖3 交界處聲輻射

(11a)

(11b)

3 聲振方程求解

3.1 正交化處理

交界O點同時位于邊界Oy和Ox上，如聲輻射方程滿足式(9)和式(10)的邊界條件，則必滿足式(11)的邊界條件。利用Hankel函數(shù)正交性，對式(9)和式(10)進行正交化變換。

(13)

式中:J()為第一類貝塞爾函數(shù)。

(14)

式中:J()為第一類貝塞爾函數(shù)。

(15)

式中:J()為第一類貝塞爾函數(shù)。

(16)

式中:J()為第一類貝塞爾函數(shù)。

Jg(krr2)ein2θ2=

(17)

將式(17)代入到式(14)中，可得如下方程

(18)

3.2 聲輻射方程

聯(lián)立式(8)、(13)、(15)和(18)，近場處聲壓方程可寫成

(19)

φ2=(-1)n

φ3=(-1)

3.3 復(fù)雜聲邊界的圓柱殼聲輻射方程

在直角空間域圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入功率流計算中，分析結(jié)構(gòu)表面處聲振問題。結(jié)合式(8)和式(19)，獲得直角空間域內(nèi)圓柱殼結(jié)構(gòu)近場聲輻射方程

(20)

結(jié)合式(8)和式(19)，亦可得直角空間域含復(fù)雜聲邊界的圓柱殼結(jié)構(gòu)遠場聲輻射方程。

式(20)的物理解釋如下：根據(jù)圓柱殼結(jié)構(gòu)及其鏡像分布的對稱性特點，真實圓柱殼結(jié)構(gòu)及3個鏡像圓柱殼結(jié)構(gòu)的柱形聲波到達剛性壁面上的任意一點時，法向合成速度為零；在自由液面上的合成聲壓為0。根據(jù)聲波動方程解唯一性原理，式(21)滿足Helmholz波動方程，可認(rèn)為該式是圖3中所描述的直角空間域內(nèi)圓柱殼結(jié)構(gòu)聲振動問題的唯一正確解。

進一步研究表明，如果兩個聲邊界都是自由液面或剛性壁面時，亦可應(yīng)用雙反射法獲得相應(yīng)解析解，對于這類問題在本文中不展開敘述。

3.4 徑向速度

對于直角空間域流場中的受激圓柱殼結(jié)構(gòu)，采用近場聲壓公式，將式(20)代入式(7)，可得到圓柱殼結(jié)構(gòu)表面徑向速度

(21)

4 直角空間域圓柱殼輸入功率流

4.1 輸入功率概述

輸入功率反映了外力輸入到耦合系統(tǒng)中的能量傳遞方式，輸入功率流可寫成

(22)

4.2 圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入功率流

無限長圓柱殼在z=0處受周向余弦分布的簡諧力作用

Fr=F0δ(0)cos(nθ)e-iωt

(23)

式中:ω為圓頻率;F0為激勵力幅值;δ(0)為delta奇異函數(shù)。對于任意形式外激勵力，可通過傅里葉級數(shù)變換進行處理。

將式(23)代入式(22)中，得單位長度徑向線激勵力的輸入功率流

(24)

式中:w(0)為在z=0處的殼體徑向位移。周向線力激勵力輸入到系統(tǒng)的輸入功率流

(25)

4.3 圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入能量流

將式(24)代入式(25)，在rT=R,z=0的圓周上，直角空間域內(nèi)受激圓柱殼結(jié)構(gòu)的輸入功率流可寫成如下形式

(26)

將式 (21)代入式(26)，可得到

(27)

5 數(shù)值計算和討論

根據(jù)式(28)所推導(dǎo)直角空間內(nèi)的圓柱殼結(jié)構(gòu)聲振方程，開展復(fù)雜邊界條件下的圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入功率流的計算，對比圓柱殼結(jié)構(gòu)位置、頻率等參數(shù)對圓柱殼輸入功率流的影響。

5.1 模型概述

在圓柱殼結(jié)構(gòu)聲振特性推導(dǎo)中，將圓柱殼結(jié)構(gòu)定義為無限長結(jié)構(gòu)。在實際工程中，如圓柱殼結(jié)構(gòu)的長度L>>l,s,r,R，圓柱殼兩端對結(jié)構(gòu)聲輻射的影響可用兩端存在兩個無限大聲障板來處理，聲學(xué)計算空間為[-L/2，L/2]。

在數(shù)值計算中，圓柱殼結(jié)構(gòu)基本參數(shù)定義如下：圓柱殼直徑D=1 m；圓柱殼長度L=400 m；殼體厚度h=0.02 m。

殼體結(jié)構(gòu)材料為鋼，其力學(xué)性能為：密度ρS=7 800 kg/m3；彈性模量E=192 GPa；泊松比μ=0.3。流場聲介質(zhì)為水，其聲速cf=1 500 m/s，密度ρf=1 000 kg/m3。

圓柱殼結(jié)構(gòu)在z=0處受簡諧力激勵力的作用，取幅值為單位力進行輸入功率流計算。

5.2 計算方法驗證

為驗證推導(dǎo)公式的正確性，對計算結(jié)果與文獻數(shù)據(jù)進行比較。在對比中，設(shè)s和l值比較大，則圓柱殼結(jié)構(gòu)受邊界的影響將變小，并將逐漸消失。以s=l=50.0 m時直角空間域內(nèi)圓柱殼結(jié)構(gòu)的輸入功率流為例，與參考文獻[18]中輸入功率流值進行對比。對比輸入功率流的模態(tài)分別為n=0和n=1，其無量綱化頻率范圍為0～5，如圖4所示。

由圖4可知，數(shù)值計算結(jié)果與文獻結(jié)果基本吻合，驗證了推導(dǎo)公式的有效性。計算表明，隨著圓柱殼位置離聲邊界距離越遠，其聲振特性與自由空間中的聲振特性趨近。

5.3 輸入功率流對比

圖5所示為圓柱殼結(jié)構(gòu)位于流場中處于不同位置時不同模態(tài)下的輸入功率流的對比圖。

在數(shù)值計算中，分別定義l=2.0 m、s=2.0 m；l=2.0 m、s=5.0 m；l=5.0 m、s=2.0 m；l=5.0 m、s=5.0 m等4種邊界工況，對比4種工況的圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入功率流，分析位置和頻率對輸入功率流的影響。

如圖5所示，對比不同頻率與位置對輸入功率流的影響:

(1) 在高頻率段(Ω>2)，圓柱殼結(jié)構(gòu)位置對輸入功率流影響不是很明顯；同時，隨著模態(tài)階數(shù)的增加，其差異有減少的趨勢。

(n=0)

(n=1)

(2) 在中低頻率段(Ω約為0.1～1.5)，與自由液面的距離對輸入功率流影響很大，在輸入功率流峰值處表現(xiàn)得更為明顯。

(3) 與自由液面的距離對圓柱殼結(jié)構(gòu)的輸入功率流的削減作用十分敏感，隨著頻率增加削減作用逐漸減弱。

(4) 相比而言，圓柱殼結(jié)構(gòu)與自由液面的距離對圓柱殼結(jié)構(gòu)的輸入功率的影響明顯大于與剛性壁面的距離。

(5) 隨著圓柱殼結(jié)構(gòu)與邊界的距離的增加，邊界的影響減弱。

6 結(jié) 論

應(yīng)用雙反射理論結(jié)合鏡像法，獲得同時具有自由液面和剛性壁面邊界的圓柱殼結(jié)構(gòu)振動特性方程。通過數(shù)值計算，對比了直角聲域內(nèi)圓柱殼位置、頻率對輸入功率流的影響。數(shù)值計算表明：在低頻段，與自由液面的距離對圓柱殼結(jié)構(gòu)輸入功率流的削減作用敏感；隨著頻率的增加，邊界條件特性的影響逐漸減少。研究成果可為進一步分析復(fù)雜受控聲域內(nèi)的結(jié)構(gòu)聲振問題提供參考。

(a) n=0

(b) n=1

(c) n=2

(d) n=3

(e) n=4

(f) n=5

圖5 輸入功率流對比圖

Fig.5 The input power flow comparison