張 鋒, 羅順安, 張 勇, 林繼銘

(華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院, 福建 廈門 361021)

在齒輪系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制中，參考信號(hào)的選擇直接影響控制效果[1-2]，為獲得與實(shí)時(shí)振動(dòng)高度相關(guān)的參考信號(hào)，可根據(jù)實(shí)時(shí)采集的振動(dòng)信號(hào)估計(jì)齒輪嚙合頻率，再在線合成[3]，因此快速、準(zhǔn)確地估計(jì)齒輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)的頻率在其振動(dòng)主動(dòng)控制中有重要作用。

通過振動(dòng)信號(hào)估計(jì)齒輪嚙合頻率的方法有多種，如FFT(Fast Fourier Tranform)[4]、MUSIC(Multiple Signal Classification)[5]等，但FFT由于柵欄效應(yīng)，當(dāng)數(shù)據(jù)量較少時(shí)，分辨率較低[6]；MUSIC雖然具有較高的分辨率，但實(shí)現(xiàn)過程涉及自相關(guān)矩陣計(jì)算和奇異值分解，計(jì)算量及數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量大[7]，難以根據(jù)振動(dòng)信號(hào)實(shí)時(shí)地估計(jì)嚙合頻率，而二階IIR(Infinite Impulse Response)自適應(yīng)陷波器通過調(diào)整單個(gè)參數(shù)就能實(shí)現(xiàn)對(duì)頻率的估計(jì)，計(jì)算簡單，被廣泛應(yīng)用在振動(dòng)主動(dòng)控制中對(duì)實(shí)時(shí)嚙合頻率的在線估計(jì)[8-9]，用于調(diào)整參數(shù)的自適應(yīng)算法是影響頻率估計(jì)速度與精度的主要因素，平滑梯度(Plain Gradient, PG)算法[10]計(jì)算復(fù)雜度低，實(shí)時(shí)應(yīng)用簡單，但存在收斂速度緩慢，穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差較大等不足，不能滿足齒輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)頻率估計(jì)中對(duì)速度和精度的要求；Punchalard等[11]對(duì)PG算法進(jìn)行改進(jìn)，得到改進(jìn)平滑梯度算法(Modified Plain Gradient, MPG)，MPG算法采用一種新的代價(jià)函數(shù)以提高陷波器的收斂速度，但沒有解決穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差較大的問題；Loetwassana等[12]在MPG算法的陷波器系數(shù)更新方程中引入偏差抵消項(xiàng)，得到一種無偏平滑梯度算法(Unbiased Plain Gradient, UPG)，與MPG算法比較，引入的偏差抵消項(xiàng)使UPG算法具有小的穩(wěn)態(tài)偏差，但降低了收斂速度，且當(dāng)待估計(jì)信號(hào)信噪比較低時(shí)，UPG算法仍存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差。

為滿足齒輪箱振動(dòng)信號(hào)頻率估計(jì)中對(duì)高收斂速度、低穩(wěn)態(tài)誤差和低穩(wěn)態(tài)偏差的同時(shí)需求，將變步長(Variable Step-Size, VSS)方法應(yīng)用在UPG算法中，得到變步長無偏平滑梯度(VSSUPG)算法，通過對(duì)比VSSUPG陷波器與UPG、MPG陷波器輸入信號(hào)頻率估計(jì)的響應(yīng)特性，驗(yàn)證了所提算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上同時(shí)具有更好的性能。并與FFT和比值校正FFT的頻率估計(jì)特性進(jìn)行比較，結(jié)果VSSUPG陷波器對(duì)頻率變化具有更好的追蹤性能，適用于通過實(shí)時(shí)振動(dòng)信號(hào)在線估計(jì)齒輪嚙合頻率。將兩個(gè)VSSUPG陷波器串聯(lián)構(gòu)成級(jí)聯(lián)陷波器組，通過二級(jí)齒輪箱振動(dòng)加速度信號(hào)實(shí)時(shí)地估計(jì)其兩個(gè)嚙合基頻，實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示該自適應(yīng)陷波器組能夠快速且準(zhǔn)確地估計(jì)出對(duì)應(yīng)頻率，驗(yàn)證了VSSUPG算法在實(shí)際應(yīng)用中的有效性。

1 二階IIR自適應(yīng)陷波器

二階IIR自適應(yīng)陷波器的傳遞函數(shù)為

式中：a為陷波器系數(shù)；ρ(0<ρ<1)為帶寬因子，決定陷波帶寬，ρ越小，陷波寬度越大，當(dāng)ρ=0時(shí)，IIR陷波器退化為FIR陷波器[13]。由傳遞函數(shù)可知，二階IIR陷波器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。e1(k)=x(k)+ax(k-1)+xk-2為陷波器的中間狀態(tài)，e2(k)=e1(k)-ρa(bǔ)e2(k-1)-ρ2e2(k-2)為陷波器的輸出。

圖1 二階IIR陷波器結(jié)構(gòu)

為提高算法收斂速度，Punchalard等在MPG算法中采用新的代價(jià)函數(shù)J(a(k))=e1(k)e2(k)，則系數(shù)a(k)的更新方程變?yōu)?/p>

a(k)-μs1(k)e2(k)-μs2(k)e1(k)

Loetwassana等提出的UPG算法相比MPG算法對(duì)低信噪比信號(hào)頻率的估計(jì)具有較小的穩(wěn)態(tài)偏差。將N(z)、H(z)對(duì)輸入信號(hào)包含的噪聲v(k)的響應(yīng)分別表示為v1(k)和v2(k)，將s1(k)的梯度計(jì)算中由于v(k)而產(chǎn)生的梯度噪聲表示為v3(k)。其中v2(k)與v3(k)的互相關(guān)值是導(dǎo)致MPG算法存在穩(wěn)態(tài)偏差的偏差項(xiàng)，可表示為

a(k+1)=a(k)-μe2(k)s1(k)+μαe1(k)s1(k)

圖2 PG、MPG、UPG自適應(yīng)陷波器頻率估計(jì)響應(yīng)

由圖2可知，三種算法中，PG算法需要3 s的迭代才趨于穩(wěn)定，收斂速度最慢，且穩(wěn)定后的偏差和誤差都最大；MPG算法只需1.8 s的迭代就達(dá)到穩(wěn)定，收斂速度最快，但仍存在較大的穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差；UPG算法在三種算法中具有最小的穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差，但在2 s的迭代后達(dá)到收斂，收斂速度低于MPG算法。

2 基于變步長的UPG算法

圖3 步長因子μ與UPG自適應(yīng)陷波器響應(yīng)關(guān)系

為得到收斂速度快且穩(wěn)態(tài)偏差和穩(wěn)態(tài)誤差小的算法，VSS方法[17]應(yīng)用在UPG算法上，構(gòu)成VSSUPG。即在陷波器系數(shù)a(k)遠(yuǎn)離a*階段采用大步長以加快收斂速度，在進(jìn)入a*的鄰域內(nèi)采用小步長以減小穩(wěn)態(tài)誤差。

綜上，VSSUPG算法對(duì)陷波器系數(shù)a(k)的更新過程如下

a(k+1)=a(k)-μ(k)e2(k)s1(k)+μ(k)αe1(k)s1(k)

3 性能比較

圖4 VSSUPG陷波器的頻率估計(jì)響應(yīng)

同時(shí)比較VSSUPG陷波器估計(jì)兩個(gè)頻率所需的時(shí)間，估計(jì)第一個(gè)頻率所需時(shí)間為0.6 s，估計(jì)第二個(gè)頻率所需時(shí)間為0.15 s，由于VSSUPG陷波器是從系數(shù)初始值開始，按照MSEa的負(fù)梯度方向，根據(jù)步長因子搜索最優(yōu)值a*，從響應(yīng)曲線可見，當(dāng)步長因子迭代參數(shù)相同時(shí)，VSSUPG陷波器估計(jì)時(shí)間由濾波器系數(shù)初始值a0與最優(yōu)值a*的接近程度決定。對(duì)比VSSUPG陷波器對(duì)不同信噪比輸入信號(hào)的響應(yīng)，可以看出，信噪比對(duì)收斂時(shí)間沒有明顯影響，而隨著信噪比降低，估計(jì)頻率的穩(wěn)態(tài)偏差與穩(wěn)態(tài)誤差增大，當(dāng)信噪比為0時(shí)，估計(jì)頻率出現(xiàn)震蕩，具有較大的穩(wěn)態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)偏差。

為對(duì)VSSUPG陷波器估計(jì)頻率的準(zhǔn)確性進(jìn)行測驗(yàn)，將VSSUPG陷波器對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)與FFT和用比值法校正的FFT[18]進(jìn)行比較。采用上述x(k)為待估計(jì)信號(hào)，信噪比的取值由3 dB至24 dB，取值間隔為3 dB。VSSUPG陷波器對(duì)信噪比<10 dB輸入信號(hào)采用上述低信噪比參數(shù)，對(duì)>10 dB信號(hào)采用上述高信噪比參數(shù)。FFT的頻率分辨率由采樣頻率與采樣點(diǎn)數(shù)的比值決定，增加采樣點(diǎn)數(shù)能有效提高頻率估計(jì)精度[19]，但由于振動(dòng)主動(dòng)控制中用于估計(jì)嚙合頻率的振動(dòng)信號(hào)需在線實(shí)時(shí)采集，則增加采樣點(diǎn)數(shù)等同于增加信號(hào)采集時(shí)間，同時(shí)增加數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量，且由于參考信號(hào)根據(jù)估計(jì)頻率在線合成，因而需要對(duì)FFT計(jì)算得到的頻譜進(jìn)行遍歷以搜索峰值并確定對(duì)應(yīng)頻率值，進(jìn)行比值校正同樣需要峰值搜索，增加采樣點(diǎn)數(shù)將增加計(jì)算量，因此根據(jù)1 000 Hz的采樣頻率，選擇合適的采樣點(diǎn)數(shù)512。

將VSSUPG陷波器、FFT、比值校正FFT估計(jì)頻率的MSE進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示。其中圖5(a)對(duì)應(yīng)頻率為70 rad/s的輸入信號(hào)，圖5(b)對(duì)應(yīng)頻率為95 rad/s的輸入信號(hào)。從圖5(a)、5(b)可知，VSSUPG陷波器的估計(jì)頻率平方誤差隨著信噪比增加而減小，而FFT和比值校正FFT無明顯變化，對(duì)于信噪比>10 dB的輸入信號(hào)，VSSUPG的估計(jì)頻率平方誤差小于FFT，而對(duì)于信噪比大于15 dB的輸入信號(hào)，VSSUPG的估計(jì)頻率平方誤差小于比值校正FFT。對(duì)比估計(jì)頻率所需時(shí)間，根據(jù)采樣頻率和采樣點(diǎn)數(shù)可計(jì)算得，F(xiàn)FT及校正FFT所需采集數(shù)據(jù)時(shí)間為0.512 s，加上FFT計(jì)算及峰值搜索所需時(shí)間，則FFT和校正FFT頻率估計(jì)時(shí)間約為6 s。與圖4進(jìn)行比較可知，對(duì)于第一個(gè)頻率的估計(jì)，VSSUPG陷波器與FFT和比值校正FFT所需估計(jì)時(shí)間相等，但當(dāng)頻率發(fā)生突變時(shí)，VSSUPG陷波器在0.15 s內(nèi)達(dá)到收斂，完成對(duì)新頻率的估計(jì)，而FFT和比值校正FFT完成數(shù)據(jù)采集、頻率估計(jì)和峰值搜索仍然需要0.6 s。

綜上分析，從估計(jì)精度上比較，對(duì)于低信噪比信號(hào)，F(xiàn)FT和比值校正FFT能取得較好的估計(jì)精度，但隨著信噪比增大，F(xiàn)FT和比值校正FFT由于柵欄效應(yīng)，估計(jì)精度無明顯改善，而VSSUPG陷波器的頻率估計(jì)精度增高，從而取得比FFT和比值校正FFT更好的估計(jì)精度。從估計(jì)時(shí)間上比較，VSSUPG陷波器的所需頻率估計(jì)時(shí)間受陷波器系數(shù)a(k)的初始值a0與最優(yōu)值a*的接近程度影響，而FFT和比值校正FFT由于需要等待信號(hào)采集，因而當(dāng)采樣點(diǎn)數(shù)固定，則所需時(shí)間相對(duì)固定。在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中，由于驅(qū)動(dòng)與負(fù)載的變動(dòng)，齒輪嚙合頻率經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)小范圍的變化，此時(shí)VSUPG陷波器能實(shí)時(shí)追蹤頻率變化，估計(jì)出對(duì)應(yīng)頻率，而FFT和比值校正FFT需要等待信號(hào)采集，無法做出實(shí)時(shí)的響應(yīng)，對(duì)于短時(shí)的頻率變化無法察覺，因而VSSUPG陷波器更適合于齒輪箱嚙合頻率的在線實(shí)時(shí)估計(jì)，且在多數(shù)情況下，驅(qū)動(dòng)的轉(zhuǎn)速范圍和齒輪結(jié)構(gòu)參數(shù)均為已知量，可作為先驗(yàn)信息用于濾波器參數(shù)的初始值設(shè)定，從而降低VSSUPG陷波器估計(jì)第一個(gè)頻率所需的時(shí)間，齒輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)包含多種頻率成分，可根據(jù)先驗(yàn)信息采用濾波器進(jìn)行濾除以提高待估計(jì)信號(hào)信噪比，從而得到更好的估計(jì)精度。

(a) 70 rad/s

(b) 95 rad/s

4 齒輪箱嚙合頻率估計(jì)

接下來將VSSUPG自適應(yīng)陷波器應(yīng)用在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)嚙合頻率實(shí)時(shí)估計(jì)上，齒輪箱運(yùn)行過程由于動(dòng)態(tài)激勵(lì)產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)主要頻率成分為齒輪副的嚙合基頻及其倍頻，其中嚙合基頻是齒輪系統(tǒng)振動(dòng)主動(dòng)控制需要獲取的主要參考信號(hào)[20]。設(shè)計(jì)二級(jí)齒輪箱如圖6所示。齒輪副采用標(biāo)準(zhǔn)直齒圓柱齒輪，其中高速軸齒輪齒數(shù)為19，中間軸大齒輪齒數(shù)為37，中間軸小齒輪齒數(shù)為23，低速軸齒輪齒數(shù)為35。

二級(jí)齒輪箱有兩對(duì)嚙合齒輪，從而有兩個(gè)嚙合基頻，采用如圖7所示的級(jí)聯(lián)自適應(yīng)陷波器組分別估計(jì)兩個(gè)頻率。這是因?yàn)楫?dāng)帶寬因子ρ接近于1時(shí)，陷波器Ⅰ和陷波器Ⅱ的陷波帶寬極小，不存在互相重疊的部分，采用陷波器Ⅰ和Ⅱ各自的輸出y1和y2而不是級(jí)聯(lián)陷波器組的總輸出y對(duì)各自系數(shù)進(jìn)行調(diào)整，可使陷波器收斂于不同的局部極小值，從而陷波器Ⅰ可濾除輸入信號(hào)中的一個(gè)正弦分量，剩余的信號(hào)被傳遞給陷波器Ⅱ以對(duì)另一個(gè)正弦分量進(jìn)行濾除，使得級(jí)聯(lián)自適應(yīng)陷波器組能對(duì)多個(gè)頻率分別進(jìn)行估計(jì)。

1-二級(jí)齒輪箱； 2-制動(dòng)器； 3-加速度傳感器； 4-信號(hào)采集器； 5-電機(jī)； 6-調(diào)速器； 7-PC

圖6 二級(jí)齒輪箱與振動(dòng)加速度信號(hào)采集系統(tǒng)

Fig.6 Two-stage gearbox and vibration acceleration signal collection system

圖7 級(jí)聯(lián)VSSUPG自適應(yīng)陷波器組

將加速度傳感器固定在齒輪箱體上，用信號(hào)采集系統(tǒng)采集振動(dòng)加速度信號(hào)。在多數(shù)情況下，電機(jī)能達(dá)到的最高轉(zhuǎn)速都為已知量，可作為先驗(yàn)信息，在本試驗(yàn)中，電機(jī)轉(zhuǎn)速上限為1 200 r/min，根據(jù)傳動(dòng)比可以得出嚙合基頻不超過400 Hz，采用低通濾波器濾除400 Hz以上的高頻成分以提高待估計(jì)信號(hào)信噪比，得到的二級(jí)齒輪箱振動(dòng)加速度信號(hào)如圖8所示。計(jì)算所采集的振動(dòng)加速度信號(hào)的功率譜密度，結(jié)果如圖9所示?？梢娫诖宿D(zhuǎn)速下低速齒輪副嚙合基頻為200 rad/s，高速齒輪副嚙合基率為303 rad/s。

由于自適應(yīng)陷波器以使輸出信號(hào)取得最小值為準(zhǔn)則調(diào)整系數(shù)，因此VSSUPG陷波器Ⅰ估計(jì)的頻率具有較大功率，信噪比較高，設(shè)置參數(shù)為ρ=0.9，γ=0.95，β=0.000 01，μmax=0.000 01，μmin=0.000 001；VSSUPG陷波器Ⅱ估計(jì)的頻率功率較小，信噪比較低，設(shè)置參數(shù)為ρ=0.9，γ=0.98，β=0.000 005，μmax=0.000 01，μmin=0.000 001，根據(jù)電機(jī)轉(zhuǎn)速上限為1 200 r/min的先驗(yàn)信息，設(shè)置陷波器參數(shù)的初始值a0=-1，保持驅(qū)動(dòng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速不變，將加速度傳感器通過信號(hào)采集器輸出的振動(dòng)加速度信號(hào)經(jīng)過低通濾波器濾波后，作為VSSUPG自適應(yīng)陷波器組的輸入信號(hào)，以估計(jì)兩個(gè)嚙合基頻。

圖8 二級(jí)齒輪箱振動(dòng)加速度

圖9 振動(dòng)加速度信號(hào)頻域分布

試驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。其中圖10(a)為VSSUPG陷波器Ⅰ的估計(jì)頻率，圖10(b)為VSSUPG陷波器Ⅱ的估計(jì)頻率。由圖10(a)可知，陷波器Ⅰ在0.5 s內(nèi)達(dá)到收斂，由于驅(qū)動(dòng)電機(jī)轉(zhuǎn)速和制動(dòng)器的輕微變動(dòng)，估計(jì)頻率在200 rad/s附近變動(dòng)，與功率譜計(jì)算結(jié)果相符；在圖10(b)中，陷波器Ⅱ在1.2 s內(nèi)達(dá)到收斂，估計(jì)頻率在303 rad/s附近變動(dòng)，與功率譜計(jì)算結(jié)果相符。對(duì)比圖10(a)和圖10(b)，可以看出，在0～0.5 s內(nèi)，陷波器Ⅰ與陷波器Ⅱ的估計(jì)頻率均趨向200 Hz，在0.5～1.2 s內(nèi)，陷波器Ⅰ的估計(jì)頻率處于穩(wěn)定狀態(tài)，陷波器Ⅱ的估計(jì)頻率趨向300 Hz，即在陷波器Ⅰ完成第一個(gè)基頻的估計(jì)，濾除了輸入信號(hào)中包含的該頻率成分后，陷波器Ⅱ才通過殘余信號(hào)對(duì)另一個(gè)基頻進(jìn)行估計(jì)，從而級(jí)聯(lián)陷波器組所需迭代至收斂的時(shí)間是陷波器Ⅰ估計(jì)第一個(gè)基頻所需迭代時(shí)間與陷波器Ⅱ估計(jì)第二個(gè)基頻所需迭代時(shí)間的疊加。這種時(shí)間上的疊加屬性，使得各串聯(lián)VSSUPG陷波器因?yàn)楦呤諗克俣榷?jié)省的迭代時(shí)間得到累積，因此在基于級(jí)聯(lián)陷波器組估計(jì)多級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)多個(gè)嚙合基頻的應(yīng)用中，采用VSSUPG算法更具優(yōu)越性。

(a) VSSUPG自適應(yīng)陷波器Ⅰ估計(jì)頻率

(b) VSSUPG自適應(yīng)陷波器Ⅱ估計(jì)頻率

5 結(jié) 論

(1) 提出一種VSSUPG算法用于調(diào)整二階IIR自適應(yīng)陷波器系數(shù)，解決了PG、MPG和UPG三種算法不能滿足齒輪系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)頻率估計(jì)中對(duì)高收斂速度和低穩(wěn)態(tài)誤差的同時(shí)需求的不足。對(duì)于同一輸入信號(hào)，VSSUPG陷波器的收斂速度比MPG算法快67%，且具有比UPG算法更低的穩(wěn)態(tài)誤差，仿真結(jié)果驗(yàn)證了VSSUPG算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上具有更好的性能。

(2) 在不同信噪比下比較VSSUPG陷波器與FFT和比值校正FFT頻率估計(jì)的響應(yīng)特性，結(jié)果VSSUPG陷波器對(duì)信噪比大于10 dB的信號(hào)具有比FFT更好的估計(jì)精度，對(duì)信噪比大于15 dB的信號(hào)具有比比值校正FFT更好的估計(jì)精度，同時(shí)VSSUPG陷波器對(duì)頻率的變化具有更好的追蹤性能，適用于齒輪振動(dòng)主動(dòng)控制中通過實(shí)時(shí)采集的振動(dòng)信號(hào)在線估計(jì)嚙合頻率的應(yīng)用。

(3) 設(shè)計(jì)了由兩個(gè)VSSUPG陷波器串聯(lián)構(gòu)成的級(jí)聯(lián)自適應(yīng)陷波器組，應(yīng)用在二級(jí)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合基頻實(shí)時(shí)估計(jì)上，結(jié)果顯示級(jí)聯(lián)陷波器組能分別對(duì)兩個(gè)嚙合基頻進(jìn)行有效的估計(jì)，且對(duì)頻率變化有較靈敏的反應(yīng)。同時(shí)級(jí)聯(lián)陷波器組所需迭代至收斂的時(shí)間是各串聯(lián)陷波器估計(jì)對(duì)應(yīng)頻率所需時(shí)間的疊加，從而VSSUPG算法的高收斂速度在級(jí)聯(lián)陷波器組對(duì)多級(jí)齒輪箱振動(dòng)信號(hào)多個(gè)頻率估計(jì)的應(yīng)用中更具有優(yōu)越性。