趙丁蘇， 陳 雋,2

(1. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 上海 200092； 2. 同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點實驗室， 上海 200092)

隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和社會生活水平的日益提升，人們對土木工程結(jié)構(gòu)使用性能的要求越來越高。大跨度輕柔結(jié)構(gòu)如人行橋、大跨樓蓋、人行連廊等常呈現(xiàn)出自振頻率低，結(jié)構(gòu)阻尼小的特點，在步行、跳躍等人致荷載作用下容易產(chǎn)生較大的振動，影響結(jié)構(gòu)的使用性能。這類結(jié)構(gòu)的人致振動舒適度問題越來越多地受到研究者和工程界的關(guān)注[1]。

建立合理的人致荷載模型是研究人致結(jié)構(gòu)振動舒適度問題的前提。對于最常見的行人步行荷載，Blanchard等[2-8]在不同時期研究了步行荷載的特性并提出了各自的荷載模型。足底平面內(nèi)，步行荷載具有豎直、前進(jìn)和左右三個方向上的分量。由于實驗條件的限制，現(xiàn)有研究對象或為單向連續(xù)荷載，或為三向的單步荷載，缺少針對三向連續(xù)步行荷載的實驗，從而也缺乏對荷載三分量間相關(guān)性的認(rèn)識。在人致結(jié)構(gòu)振動分析中，對于是否需要考慮步行荷載三向分量間的相關(guān)性，并沒有清晰的認(rèn)識和可靠的依據(jù)。此外，已有荷載模型大都以步頻為基本參數(shù)，缺少針對其他步態(tài)特征如步速的荷載模型，而步速與人群的密度直接關(guān)聯(lián)。因此，有必要通過實驗資料研究三向連續(xù)步行荷載的相關(guān)性并建立多參數(shù)的荷載模型。

為此，本文首先收集了大量的行人三向連續(xù)步行荷載實驗記錄，對三向分量間的相關(guān)特性進(jìn)行了統(tǒng)計分析。在此基礎(chǔ)上，建立了各方向步行荷載分量的傅里葉級數(shù)模型，并由實驗記錄確定了模型參數(shù)及其隨步頻和步速變化的規(guī)律。最后與已有各單向荷載模型進(jìn)行了對比。

1 單人三向連續(xù)步行荷載實驗

通過實驗獲得大量步行荷載時程數(shù)據(jù)并分析其特性，是步行荷載建模的重要步驟和前提。實驗方案和實驗裝置的選擇決定了數(shù)據(jù)記錄的可靠性以及后續(xù)荷載模型的合理性[9]。

1.1 單人三向連續(xù)步行荷載實驗

單人三向連續(xù)步行荷載實驗，由本研究項目的英國合作方在謝菲爾德大學(xué)土木工程實驗室利用測力跑步機完成。與傳統(tǒng)的測力板僅能記錄單向(或三向)的單步荷載相比，測力跑步機的優(yōu)勢在于不需要很大的實驗空間，可同步記錄三向且連續(xù)的步行荷載時程數(shù)據(jù)，并且可以方便地調(diào)整以實現(xiàn)各種步行速度[10]。測力跑步機的運動平面近似剛性，避免了人-結(jié)相互作用的影響。

實驗共有85名測試者參加(包括57名男性和28名女性)，均為健康的成年人。測試者的年齡范圍為29.8±9.1歲，體重范圍為75.8±15.2 kg，身高范圍為174.4±8.2 cm。實驗前所有測試者均需簽署知情同意書，實驗時均著舒適合腳的平底鞋在測力跑步機上預(yù)演連續(xù)步行過程直至步態(tài)自然。起始的步行速度為2 km/h，間隔為0.5 km/h，各位測試者根據(jù)自身情況選擇各自的最大步行速度，平均每位測試者完成10個不同步行速度的實驗工況。實驗共獲得850條三向連續(xù)步行荷載時程數(shù)據(jù)，采樣頻率均為200 Hz。

與已有研究不同的是，本次實驗控制參數(shù)為步行速度而非步行頻率。步行頻率是指單位時間內(nèi)的步數(shù)，決定了步行荷載時程的各階主頻，是已有荷載模型中常用的參數(shù)。為與現(xiàn)有模型對照，通過實測數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)步行頻率的均值與步行速度間存在明確的關(guān)系，如圖1所示，采用冪函數(shù)擬合可得

圖1 步行頻率與步行速度之間的關(guān)系

(1)

式中：fp為步行頻率(Hz)；v為步行速度(m/sec)。冪函數(shù)擬合滿足邊界條件v=0 m/s,fp=0 Hz。

圖2所示為實測記錄的步行頻率頻數(shù)分布直方圖，分布范圍是1～3 Hz，其中步行頻率低于1.5 Hz和高于2.5 Hz的數(shù)據(jù)量較少，因此本文研究的步行頻率范圍為1.5～2.5 Hz。

圖2 步行頻率頻數(shù)分布直方圖

1.2 三向連續(xù)步行荷載特性分析

(1) 時頻特性

如圖3所示，步行荷載包括左右側(cè)向Fx、前進(jìn)方向(也稱縱向)Fy以及豎向Fz三個分量，三者滿足右手坐標(biāo)系法則。圖4是某男性測試者(年齡：28歲；體重：83.3 kg；身高：175 cm)在步速為1.39 m/s時的步行荷載三個分量的時程曲線及其對應(yīng)的傅里葉幅值譜，其中時程曲線已經(jīng)體重歸一化。對比可知，三個分量的時域波形特征差異明顯；荷載幅值方面，豎向Fz最大，縱向Fy其次，側(cè)向Fx最小。由時程曲線形狀和傅里葉幅值譜峰值特點可知，行人連續(xù)步行的三個分量均可視作周期過程。

圖3 步行荷載的三個分量

(2) 峰值因子

各方向上步行荷載峰值與人體重力的比值稱為荷載峰值因子μk，計算表達(dá)式為

(2)

該因子反映了荷載的動力效應(yīng)，對確定等效靜力荷載有重要意義。本實驗數(shù)據(jù)中側(cè)向荷載峰值因子約為0.1～0.2，縱向約為0.1～0.4，豎向則約為1.2 ～1.7。圖5反映了實測的三個方向的荷載峰值因子隨步頻增大而增大的情況，豎向荷載分量最為明顯，通過線性擬合可得峰值因子和步頻的關(guān)系如下

(a) 側(cè)向步行荷載時程曲線及其傅里葉幅值譜

(b) 縱向步行荷載時程曲線及其傅里葉幅值譜

(c) 豎向步行荷載時程曲線及其傅里葉幅值譜

圖4 步行荷載時程曲線及其傅里葉幅值譜

Fig.4 Time histories of walking load and its Fourier amplitude spectrum

μx=0.088 5fp-0.041 4=0.153 5v0.415 3-

0.041 4

(3)

μy=0.187 5fp-0.128 4=0.325 2v0.415 3-

0.128 4

(4)

μz=0.421 8fp+0.697 7=0.731 6v0.415 3+

0.697 7

(5)

式中:fp為步行頻率(適用范圍1.5～2.5 Hz)。上式同時給出了峰值因子隨步速變化的關(guān)系，適用步速范圍為0.7～2.41 m/s。

(a) 側(cè)向步行荷載峰值因子

(b) 縱向步行荷載峰值因子

(c) 豎向步行荷載峰值因子

圖5 步行荷載峰值因子

Fig.5 Peak factor of walking load

(3) 相關(guān)性分析

對每一條實測荷載記錄的三個分量進(jìn)行相關(guān)性分析，計算兩兩間的相關(guān)系數(shù)，公式為

(6)

式中:x,y代表某兩個分量;xi、yi表示對應(yīng)分量離散時程的第i個值。r取值在(-1,1)之間，當(dāng)|r|≥0.8時,兩分量可視為高度線性相關(guān)；0.5≤|r|≤0.8時，視為中度線性相關(guān)；0.3≤|r|≤0.5時，視為低度線性相關(guān)；當(dāng)|r|<0.3時，說明兩個變量之間的線性相關(guān)程度極弱[11]。

圖6(a)～(c)分別給出了Fx和Fz、Fy和Fz以及Fx和Fy之間的相關(guān)系數(shù)，三組結(jié)果分別在-0.1～0.1、-0.5～0.5以及-0.2～0.2之間?？傮w上，從線性相關(guān)系數(shù)的角度，步行荷載三個分量間呈現(xiàn)低相關(guān)性，縱向(Fy)和豎向(Fz)間相關(guān)性略強。據(jù)此，可將人在剛性表面上行走產(chǎn)生荷載的三向分量視為相互獨立進(jìn)而分別建模。

2 荷載模型建立與參數(shù)分析

2.1 三向步行荷載傅里葉級數(shù)模型

前述分析表明，行人的連續(xù)步行過程可視作一個周期過程，且三向分量間的相關(guān)性較弱，因而三向荷載分量均可獨立采用傅里葉級數(shù)形式來表示。由步行荷載傅里葉幅值譜(圖4)可知，不僅在基頻處出現(xiàn)峰值，在前幾階倍頻處峰值也比較明顯，表明步頻的倍頻成分對步行荷載也有影響，僅考慮一階諧波的模型不能準(zhǔn)確描述步行荷載，應(yīng)該考慮多倍頻的影響[12]。因此，三向步行荷載模型可表示為

(a) 側(cè)向荷載與豎向荷載的相關(guān)系數(shù)

(b) 縱向荷載與豎向荷載的相關(guān)系數(shù)

(c) 側(cè)向荷載與縱向荷載的相關(guān)系數(shù)

圖6 三向步行荷載的相關(guān)系數(shù)頻數(shù)分布直方圖

Fig.6 Histogram of correlation coefficients of 3-D walking load

(7)

(8)

(9)

式中:G為人體重力；αxi、αyi、αzi分別為側(cè)向、縱向和豎向第i階傅里葉系數(shù)，又稱動載因子(Dynamic Load Factor, DLF)；fx、fy、fz分別為側(cè)向、縱向和豎向荷載頻率，注意側(cè)向荷載頻率應(yīng)為縱向和豎向荷載頻率的1/2；φxi、φyi、φzi分別為側(cè)向、縱向和豎向第i階相位角，取值范圍[-π,π]；Nx、Ny、Nz分別為側(cè)向、縱向和豎向荷載模型中考慮的諧波階數(shù)。

由步行荷載傅里葉幅值譜(圖4)可知，對于豎向和縱向步行荷載，4階以上的DLF值很小，而對于側(cè)向步行荷載，8階以上的DLF值很小。綜合考慮模型精度和實用性，對于側(cè)向荷載考慮8階諧波，對于縱向和豎向荷載則考慮4階諧波。

2.2 動載因子計算方法

對于一個周期過程來說，傅里葉幅值譜基頻及其倍頻處的峰值即為DLF值，可采用峰值法[13]來確定動載因子。但由于行人很難保持每一步完全相同，連續(xù)步行過程實際上是窄帶隨機過程，在傅里葉幅值譜上表現(xiàn)為峰值一定范圍內(nèi)的能量擴散現(xiàn)象(圖4)。計算DLF值時不能僅用峰值能量代替荷載的能量，而應(yīng)考慮各階主頻附近一定范圍內(nèi)的能量，可采用等效能量法[14]確定DLF值。本文將各階主頻處能量擴散的范圍取為0.95ifk～1.05ifk,k=x,y,z。對于步行荷載的各向分量，第i階主頻處波峰的能量為

(10)

式中:Ei是第i階主頻處波峰的能量；A(f)是傅里葉幅值譜中第i階主頻附近的頻率f對應(yīng)的譜值；fk,k=x,y,z分別是側(cè)向、縱向、豎向步行荷載的頻率。利用上述等效能量法可得步行荷載各向分量的第i階動載因子為

(11)

2.3 動載因子和相位角的建議取值

首先將歸一化的實測荷載時程的長度截取為整數(shù)倍的步行周期，在此基礎(chǔ)上求其傅里葉幅值譜，并利用等效能量法計算三向步行荷載傅里葉級數(shù)模型中的動載因子，對所有實測荷載時程重復(fù)上述步驟。

為討論各階DLF隨步行參數(shù)的變化規(guī)律，對于實驗步頻進(jìn)行分區(qū)，共分為4個區(qū)段：1.5～1.75 Hz，1.75～2 Hz，2～2.25 Hz，2.25～2.5 Hz。計算各頻率區(qū)段內(nèi)DLF的均值，發(fā)現(xiàn)其隨步頻大致線性變化，通過線性擬合可得兩者之間的關(guān)系表達(dá)式，如表1所示。為了適用不同應(yīng)用場合，表1中同時給出了各階DLF均值隨步行速度變化的關(guān)系。隨著步行頻率/步行速度的增大，低階DLF的均值呈增大趨勢，高階DLF增大趨勢不明顯。由于步速與人群密度密切相關(guān)[15]，利用表1的關(guān)系式，可完成“假定人群密度-步行速度-步行荷載”的轉(zhuǎn)換，實現(xiàn)人群荷載的模擬。

采用相同步驟，可研究各階相位角隨步行頻率的變化情況，結(jié)果顯示相位角分布非常離散，與步行頻率之間沒有明顯的統(tǒng)計規(guī)律。參考眾多學(xué)者相位角取均值的方式[16]，本文模型豎向荷載的第二階相位角取-π/6，第四階相位角取π/6，其余各階相位角均取0。

3 與已有模型的對比

傅里葉級數(shù)模型是現(xiàn)有荷載模型中最為常見的一種，許多學(xué)者對傅里葉級數(shù)荷載模型進(jìn)行了研究并提出了不同的動載因子建議取值。已有研究大多針對側(cè)向荷載或者豎向荷載，少有關(guān)于縱向荷載的研究。表2、表3分別總結(jié)了不同學(xué)者提出的側(cè)向荷載和豎向荷載的動載因子建議取值。Blanchard等提出的豎向第一階動載因子成為了BSI的荷載取值標(biāo)準(zhǔn)[17]。Murray等[18]給出了豎向前四階動載因子，并成為了AISC的荷載取值標(biāo)準(zhǔn)。Rainer[13]、Kerr[19]、Young[4]、陳雋[8]等都指出不同的步行頻率下動載因子的取值不同，并分別給出了動載因子與步頻之間的關(guān)系表達(dá)式。側(cè)向荷載模型中一般考慮5階諧波，豎向荷載模型中一般考慮3～5階諧波。側(cè)向DLF1的取值范圍為0.04～0.1，豎向DLF1的取值范圍為0.1～0.6。顯然，各學(xué)者所提出的DLF建議取值存在差異，主要可能是因為各研究中的測試者身體特征、步態(tài)特征、樣本數(shù)量以及實驗設(shè)備與方法等都有所不同。

表1 各階動載因子均值及其隨步頻fp和步速v的變化關(guān)系

表2 部分側(cè)向步行荷載模型及其動載因子

表3 部分豎向步行荷載模型及其動載因子

圖7對比了本文模型和已有模型的側(cè)向DLF取值。圖中可見，本文DLF1明顯高于已有模型的建議值，DLF2、DLF3也略高。考慮到側(cè)向荷載對長柔人行橋振動分析的重要性，上述差異需要在設(shè)計中通過不同模型的試算比較予以關(guān)注。

圖8對比了本文建議模型和已有模型的豎向DLF取值?？傮w上，本文DLF取值大小與已有模型具有可比性，變化趨勢類似(例如DLF1曲線和Young模型幾乎完全平行)，但也存在一些顯著的不同。與側(cè)向類似，不同模型間的差異提示，應(yīng)根據(jù)所針對問題的目的和性質(zhì)對行人荷載的計算模型進(jìn)行選取。

圖9給出了不同的步行荷載模型確定的時程曲線比較結(jié)果，假設(shè)人體重力為700 N，步行頻率為2 Hz。本文荷載模型確定的時程曲線與已有模型具有相似性，但在幅值方面也有一定的差異。上述對比中的差異化現(xiàn)象，也從另一個側(cè)面說明了基于不同數(shù)據(jù)來源、不同角度研究步行荷載特性的必要性。

4 結(jié) 論

利用在測力跑步機剛性表面上所獲得的單人三向連續(xù)步行荷載實驗結(jié)果，研究了三向連續(xù)步行荷載的相關(guān)性并建立了荷載的傅里葉級數(shù)模型，主要結(jié)論如下：

(1) 步行荷載三向分量的峰值大小與步行頻率/速度有關(guān)，呈現(xiàn)隨著步行頻率/速度的增大而增大的趨勢，豎向分量表現(xiàn)得最為顯著。

(a) 不同模型第一階DLF比較

(b) 不同模型第三階DLF比較

(c) 不同模型第五階DLF比較

圖7 不同側(cè)向步行荷載模型中的各階DLF比較

Fig.7 Comparison of DLFs of lateral walking load from different models for each order

(a) 不同模型第一階DLF比較

(b) 不同模型第二階DLF比較

(c) 不同模型第三階DLF比較

(d) 不同模型第四階DLF比較

圖8 不同豎向步行荷載模型各階DLF比較

Fig.8 Comparison of DLFs of vertical walking load from different models for each order

(a) 不同側(cè)向荷載模型時程曲線比較

(b) 不同豎向荷載模型時程曲線比較

圖9 不同荷載模型時程曲線比較

Fig.9 Comparison of time histories from different models

(2) 本文數(shù)據(jù)的相關(guān)分析結(jié)果表明，步行荷載三個分量之間呈弱相關(guān)性，因而可將人在剛性表面上行走產(chǎn)生的三向荷載簡化為獨立分量并分別建模。

(3) 分別建立了三向分量的傅里葉級數(shù)模型，并給出了模型參數(shù)的取值方法。同時給出了模型參數(shù)隨步行速度的變化關(guān)系。

(4) 不同側(cè)向和豎向荷載模型的DLF取值和時程曲線都具有一定差異，應(yīng)根據(jù)所針對問題的目的和性質(zhì)對荷載模型進(jìn)行選取。

致謝：感謝英國埃克塞特大學(xué)的James Brownjohn教授在本研究實驗數(shù)據(jù)等方面所提供的大力支持和有益建議。