王中雙， 韋 靜

(齊齊哈爾大學(xué) 機電工程學(xué)院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006)

肘桿式壓力機機構(gòu)在現(xiàn)代壓力機械中得到了廣泛的應(yīng)用[1]。實際工程中，由于該類機構(gòu)在沖切時會突然受到?jīng)_擊載荷的作用，給機構(gòu)運行帶來較嚴(yán)重的振動、沖擊及噪聲。因此，其動力學(xué)建模與分析問題的研究十分重要。現(xiàn)有的動力學(xué)建模與分析方法[2-3]，如牛頓-歐拉法(Newnton-Euler Method)、拉格朗日法(Lagrange Method)等，往往僅適用于單一機械能域系統(tǒng)的局部動力學(xué)，對多能域并存系統(tǒng)的全局動力學(xué)建模與分析問題具有局限性。針對這類問題，鍵合圖方法[4]優(yōu)勢明顯，在實際工程中得到了日益廣泛的應(yīng)用[5-8]。文獻[9]給出了平面連桿機構(gòu)標(biāo)量鍵合圖模型的建立方法，推導(dǎo)出系統(tǒng)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)及運動副約束反力方程的統(tǒng)一公式，實現(xiàn)了平面四桿機構(gòu)的自動建模與動態(tài)靜力分析。對于較復(fù)雜的平面多體系統(tǒng)(例如：三角形肘桿壓力機機構(gòu))，其標(biāo)量鍵合圖模型比較繁雜，應(yīng)用十分不便。另外，所給出的系統(tǒng)驅(qū)動力矩及運動副約束反力方程的統(tǒng)一公式，是以系統(tǒng)獨立貯能場獨立運動的能量變量為狀態(tài)變量，實際應(yīng)用時需用其以顯式的方式表示系統(tǒng)獨立貯能場非獨立運動的能量變量，這一過程往往比較繁瑣。文獻[10]給出了綜合考慮剛彈性耦合的平面柔性連桿機構(gòu)標(biāo)量鍵合圖模型的建立方法，基于其回轉(zhuǎn)鍵合圖實現(xiàn)了柔性四桿機構(gòu)的動力學(xué)自動建模與動態(tài)靜力分析。該方法除具有上述標(biāo)量鍵合圖法本身的不足之外，所給出的機構(gòu)回轉(zhuǎn)鍵合圖比較抽象，物理意義不直觀。

針對上述問題，文獻[11]提出了向量鍵合圖的概念。除具備標(biāo)量鍵合圖法本身的特點之外，向量鍵合圖包含信息量較大，可以用更加緊湊、簡明的圖形方式，表述復(fù)雜平面連桿機構(gòu)的運動學(xué)及動力學(xué)特征，應(yīng)用更加簡便。文獻[12]根據(jù)運動約束條件，建立了任意齒廓齒輪副的向量鍵合圖模型。在此基礎(chǔ)上，給出了建立含齒輪副平面多體系統(tǒng)向量鍵合圖模型的理論方法，實現(xiàn)了含齒輪副平面多體系統(tǒng)計算機自動建模與動態(tài)靜力分析。文獻[13]建立了雙行星輪輪系機構(gòu)的向量鍵合圖模型，實現(xiàn)了雙行星輪輪系機構(gòu)的計算機自動建模與動力學(xué)分析。文獻[14]基于二狀態(tài)非連續(xù)接觸模型，闡述了含鉸間隙平面四桿機構(gòu)動力學(xué)建模與仿真的向量鍵合圖法。但在處理貯能元件的微分因果關(guān)系及建立系統(tǒng)動力學(xué)方程方面，在方法上還局限于手工處理。

目前，關(guān)于應(yīng)用向量鍵合圖法進行肘桿式壓力機機構(gòu)動力學(xué)建模與分析的文獻報道甚少，其研究工作有待于進一步深入。本文基于向量鍵合圖，推導(dǎo)出以系統(tǒng)獨立貯能場能量變量向量(包括獨立運動及非獨立運動的能量變量向量)為狀態(tài)變量的系統(tǒng)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)及運動副約束反力方程的統(tǒng)一公式，更便于復(fù)雜機構(gòu)的計算機自動建模與動力學(xué)分析。根據(jù)運動約束條件，將平面運動構(gòu)件、轉(zhuǎn)動鉸及移動鉸的向量鍵合圖模型組合起來，建立了三角形肘桿壓力機機構(gòu)的向量鍵合圖模型。在此基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了在脈沖負(fù)載作用下三角形肘桿壓力機機構(gòu)的動力學(xué)自動建模與計算，通過對計算結(jié)果的分析與討論，揭示了該機構(gòu)的動力學(xué)性能，驗證了所述方法的可靠性及有效性。

1 系統(tǒng)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)及運動副約束反力方程的統(tǒng)一公式

圖1為構(gòu)成系統(tǒng)的基本場及結(jié)型結(jié)構(gòu),Xi1為系統(tǒng)獨立貯能場中對應(yīng)獨立運動的能量變量向量，Zi1為相應(yīng)的共能量變量向量，皆為m1維列向量；Xi2為系統(tǒng)獨立貯能場中對應(yīng)非獨立運動的能量變量向量，Zi2為相應(yīng)的共能量變量向量，皆為m2維列向量。其中，下標(biāo)i1為系統(tǒng)獨立貯能場的獨立運動，下標(biāo)i2為系統(tǒng)獨立貯能場的非獨立運動。Din、Dout分別為耗散場的輸入、輸出向量，皆為L維列向量。U1為驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)向量，U2為運動副約束反力向量，U3為作用在系統(tǒng)上的已知源輸入，分別為m1、m2及m3維列向量。

獨立貯能場特性方程

圖1 系統(tǒng)基本場及結(jié)型結(jié)構(gòu)

Zi1=Fi1Xi1

(1)

Zi2=Fi2Zi2

(2)

式中:Fi1、Fi2分別為m1×m1、m2×m2矩陣。

耗散場特性方程

Dout=RDin

(3)

式中：R為L×L矩陣。

由圖1得系統(tǒng)的結(jié)型結(jié)構(gòu)方程

(4)

(5)

Din=JLi1Zi1+JLi2Zi2+JLLDout+JLu1U1+JLu2U2+JLu3U3

(6)

對應(yīng)系統(tǒng)向量鍵合圖約束反力向量0-結(jié)的流和方程為

0=JCi1Zi1+JCi2Zi2+JCLDout+JCu3U3

(7)

式(4)～式(7)中的各系數(shù)矩陣J表示圖1中源場、獨立貯能場及耗散場的輸入、輸出向量與結(jié)型結(jié)構(gòu)的關(guān)系，稱之為結(jié)型結(jié)構(gòu)矩陣。

由式(1)～式(7)經(jīng)代數(shù)處理得系統(tǒng)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)及運動副約束反力方程的統(tǒng)一公式如下

當(dāng)JCL=0

(8)

式中：

B1=(I1-JLLR)-1JLi1Fi1，B2=(I1-JLLR)-1JLi2Fi2，B3=(I1-JLLR)-1JLu1

B4=(I1-JLLR)-1JLu2，B5=(I1-JLLR)-1JLu3，Ti1i1=Ji1i1Fi1+Ji1LRB1

Ti1i2=Ji1i2Fi2+Ji1LRB2，Ti1u1=Ji1LRB3+Ji1u1，Ti1u2=Ji1LRB4+Ji1u2

Ti1u3=Ji1LRB5+Ji1u3

當(dāng)JCL≠0時

(9)

式中：

TCi1=JCi1Fi1+JCLRB1，TCi2=JCi2Fi2+JCLRB2

TCu1=JCLRB3，TCu2=JCLRB4

TCu3=JCLRB5+JCu3，Du1u1=Ti1u1+Ti1u2(-TCu2)-1TCu1

由所建立的系統(tǒng)向量鍵合圖模型，可以確定系統(tǒng)獨立貯能場特性方程、阻性場特性方程中的系數(shù)矩陣、結(jié)型結(jié)構(gòu)矩陣及已知勢源向量。將上述矩陣及向量、系統(tǒng)獨立貯能場中對應(yīng)獨立運動的能量變量向量Xi1及其導(dǎo)數(shù)、系統(tǒng)獨立貯能場中對應(yīng)非獨立運動的能量變量向量Xi2代入到以上述算法為基礎(chǔ)所編制的MATLAB軟件中去，可以直接確定相應(yīng)的系統(tǒng)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)向量及運動副約束反力向量，實現(xiàn)平面多體動力系統(tǒng)的計算機自動建模及動態(tài)靜力分析。

2 三角形肘桿壓力機機構(gòu)向量鍵合圖模型

由單一平面運動構(gòu)件各鉸接點速度矢量、質(zhì)心速度矢量及角速度的幾何及運動關(guān)系，可以建立其向量鍵合圖模型，詳見文獻[11]。將曲柄AB、三角形肘桿BDE、構(gòu)件CD、構(gòu)件EF及滑塊的向量鍵合圖按照圖2所示機構(gòu)構(gòu)件間的運動約束(旋轉(zhuǎn)鉸、移動副)關(guān)系組合起來，可以建立三角形肘桿六桿壓力機機構(gòu)的向量鍵合圖模型，如圖3所示。有關(guān)旋轉(zhuǎn)鉸、移動副向量鍵合圖模型的建立方法，詳見文獻[11]。

圖2 三角形肘桿六桿壓力機機構(gòu)簡圖

圖3 三角形肘桿六桿壓力機機構(gòu)向量鍵合圖

在建立三角形肘桿六桿壓力機機構(gòu)向量鍵合圖模型的過程中，構(gòu)件間的旋轉(zhuǎn)鉸、移動副約束使其向量鍵合圖模型的多數(shù)慣性元件I具有微分因果關(guān)系，這會使其向量鍵合圖模型產(chǎn)生較復(fù)雜的非線性結(jié)型結(jié)構(gòu)。由文獻[4,9]知，系統(tǒng)的狀態(tài)變量向量是由具有積分因果關(guān)系的慣性元件I所對應(yīng)的能量變量所組成，在建立系統(tǒng)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)及運動副約束反力的過程中，具有微分因果關(guān)系的慣性元件I所對應(yīng)的能量變量需要用系統(tǒng)的狀態(tài)變量來表示。對于該類機構(gòu)，這一過程復(fù)雜且不規(guī)則，實現(xiàn)機構(gòu)動力學(xué)自動建模與動態(tài)靜力分析會遇到較大的代數(shù)困難。

為此，將各運動副約束反力向量Se12(旋轉(zhuǎn)鉸B)、Se13(旋轉(zhuǎn)鉸C)、Se14(旋轉(zhuǎn)鉸D)、Se15(旋轉(zhuǎn)鉸E)、Se16(旋轉(zhuǎn)鉸F)視作為未知勢源向量添加在該機構(gòu)向量鍵合圖模型相應(yīng)的0-結(jié)處。如此增廣后，可以完全消除微分因果關(guān)系，解決其給建立系統(tǒng)驅(qū)動力矩(驅(qū)動力)及運動副約束反力方程所帶來的較復(fù)雜的代數(shù)問題，直接應(yīng)用本文所述方法進行機構(gòu)的動力學(xué)自動建模與動態(tài)靜力分析。

3 實際算例

由本文所述方法知，與圖3所示系統(tǒng)向量鍵合圖相對應(yīng)的系統(tǒng)獨立貯能場獨立運動的能量變量向量為

式中:p2為圖3中相應(yīng)慣性元件的廣義動量。

系統(tǒng)獨立貯能場非獨立運動的能量變量向量

式中：pix、piy(i=3,6,7)為圖3中相應(yīng)慣性元件的廣義動量向量在X軸及Y軸方向的投影，pi(i=4,5,8,9)分別為相應(yīng)慣性元件的廣義動量。

相應(yīng)的共能量變量向量

式中:fix、fiy(i=3,6,7)為圖3中相應(yīng)慣性元件的流向量在X軸及Y軸方向的投影，fi(i=2,4,5,8,9)為圖3中相應(yīng)慣性元件的流變量。

系統(tǒng)已知勢源向量

U3=[Se19xSe19ySe20xSe20ySe21xSe21ySe22Se17]T=[0 -mCDg0 -mBDEg0 -mEFg-mkgFr]T

式中:Seix、Seiy(i=19,20,21)分別為圖3中相應(yīng)勢源向量在X軸及Y軸方向的投影，Sei(i=17，22)為圖3中相應(yīng)的勢源。

系統(tǒng)未知勢源向量

U2=[Se12xSe12ySe13xSe13ySe14xSe14ySe15xSe15ySe16xSe16y]T=[FBxFByFCxFCyFDxFDyFExFEyFFxFFy]T

式中:Seix、Seiy(i=12～16)分別為圖3中相應(yīng)勢源向量在X軸及Y軸方向的投影，F(xiàn)Bx、FBy、FCx、FCy、FDx、FDy、FEx、FEy、FFx、FFy分別為運動副B、C、D、E、F約束反力向量在x軸及y軸方向的投影。該例忽略了阻尼，耗散場輸入、輸出向量Din、Dout均為零向量。

將機構(gòu)的物理參數(shù)、獨立貯能場及耗散場輸入、輸出向量的關(guān)系矩陣、結(jié)型結(jié)構(gòu)矩陣、已知勢源向量U3、對應(yīng)機構(gòu)獨立運動的能量向量變量Xi1及其導(dǎo)數(shù)、對應(yīng)機構(gòu)非獨立運動的能量向量變量Xi2代入到以本文所述算法為基礎(chǔ)所編制的軟件中去，可以自動建立該機構(gòu)驅(qū)動力矩及運動副約束反力方程，確定機構(gòu)不同運動狀態(tài)所對應(yīng)的驅(qū)動力矩及運動副約束反力，部分結(jié)果曲線如圖4～圖7。

對機構(gòu)各構(gòu)件進行受力分析，建立其牛頓方程，進行力矩分析，建立其歐拉方程。將其進一步聯(lián)立，可以建立機構(gòu)整體的牛頓-歐拉動力學(xué)方程。由此可以進一步推導(dǎo)出該機構(gòu)的驅(qū)動力矩及運動副約束反力方程，計算出對應(yīng)機構(gòu)不同運動狀態(tài)的驅(qū)動力矩及運動副約束反力合力，部分結(jié)果如表1所示。表1所列的計算結(jié)果與用本文方法所得結(jié)果完全一致。在圖4～圖7中，用涂黑的圓點為表1所列各點的坐標(biāo)位置，更加直觀地表達了這一點。

圖4 曲柄AB驅(qū)動力矩曲線

圖5 鉸接點B約束反力合力曲線

圖6 鉸接點C約束反力合力曲線

圖7 鉸接點F約束反力合力曲線

該驗證工作手工處理量較大，過程比較繁瑣，這也進一步體現(xiàn)了本文所述方法的優(yōu)勢。

圖4描述了曲柄角位移在0°～360°范圍內(nèi)驅(qū)動矩的變化情況。沒有工作阻力時，曲柄角位移在0°～1°、60°～138°、140°～284°、341°～360°范圍內(nèi)，驅(qū)動力矩呈遞增狀態(tài)。曲柄角位移在1°～60°、284°～341°范圍內(nèi)，驅(qū)動力矩呈遞減狀態(tài)。當(dāng)q1=284°時，驅(qū)動力矩達到最大值，最大值為51.930 2 N·m。當(dāng)q1=60°時，驅(qū)動力矩達到最小值(反向最大值)，最小值(反向最大值)為-59.713 8 N·m。在上述曲柄角位移范圍內(nèi)，驅(qū)動力矩變化曲線比較光滑。當(dāng)曲柄角位移q1=139°時，滑塊距下死點3 mm，受到脈沖形式的沖壓力，驅(qū)動力矩產(chǎn)生突變，幅值急劇減少到9.278 6 N·m。

圖5～圖7描述了曲柄角位移在0°～360°范圍內(nèi)鉸接點B、C、F約束反力合力的變化情況。沒有工作阻力時，各鉸接點約束反力合力曲線均比較光滑。當(dāng)曲柄角位移q1=139°時，滑塊受到脈沖形式的沖壓力，鉸接點B、C、F約束反力合力均產(chǎn)生突變，分別急劇增加到1 045.738 1 N 、8 022.684 7 N、7 866.673 9 N。

表1 牛頓-歐拉動力學(xué)方法計算的部分結(jié)果

從上述分析中可以看出，周期性脈沖形式的工作阻力，使該機構(gòu)驅(qū)動力矩的幅值產(chǎn)生周期性突變。在一個運動周期內(nèi)，急劇減少45.544 2%。這會使驅(qū)動電機電樞線圈的電流強度產(chǎn)生周期性急劇變化，對其工作的穩(wěn)定性會帶來一定的不利影響，降低其使用壽命。同時，也直接影響到機構(gòu)的可控性。另外，周期性脈沖形式的工作阻力，使鉸接點B、C、F約束反力合力均產(chǎn)生不同程度的周期性突變。在一個運動周期內(nèi)，分別急劇增加352.727 2%、1 023.424 3%、4 753.029 7%。其中，鉸接點F約束反力合力的增長率尤為突出，這是由于沖擊載荷直接作用在滑塊(刀具)上所致。這一方面會加劇機構(gòu)運動副的磨損，增大運動副的間隙，降低機構(gòu)的運動精度，給機構(gòu)運行帶來較嚴(yán)重的振動、沖擊及噪聲。另一方面，也會降低機構(gòu)相應(yīng)構(gòu)件的強度，減少機構(gòu)的使用壽命。

4 結(jié) 論

(1) 所推導(dǎo)的系統(tǒng)驅(qū)動力矩及運動副約束反力方程的統(tǒng)一公式，直接以系統(tǒng)獨立貯能場能量變量向量(包括獨立運動及非獨立運動的能量變量向量)為狀態(tài)變量向量，具有規(guī)則化的特點，無須機構(gòu)的加速度分析及計算，便于復(fù)雜平面連桿機構(gòu)的動力學(xué)自動建模與動態(tài)靜力分析。

(2) 基于一般平面運動構(gòu)件、旋轉(zhuǎn)鉸及移動副的向量鍵合圖，建立了三角形肘桿六桿壓力機機構(gòu)的向量鍵合圖模型，表達方式簡明，力學(xué)概念直觀。所采用的增廣方法，可以完全消除機構(gòu)向量鍵合圖模型的微分因果關(guān)系，為實現(xiàn)機構(gòu)自動建模與動態(tài)靜力分析奠定了必要的基礎(chǔ)。

(3) 在上述工作的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)了三角形肘桿六桿壓力機機構(gòu)的動力學(xué)自動建模與分析，一定程度上提高了該類工作的計算效率及可靠性。通過具體算例，分析了三角形肘桿六桿壓力機機構(gòu)的動力學(xué)特性，揭示了脈沖形式的工作阻力對于驅(qū)動力矩及運動副約束反力的影響，對于該類壓力機連桿機構(gòu)的研究及設(shè)計具有一定的價值。

(4) 本文工作既是對用于壓力機的平面連桿機構(gòu)動力學(xué)建模與分析方法研究的有益補充，也是對向量鍵合圖理論及應(yīng)用必要的擴展。