馮振宇， 蘇 璇， 趙彥強(qiáng)， 解 江， 牟浩蕾

(民航航空器適航審定技術(shù)重點實驗室， 天津 300300)

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)吸能研究始于20世紀(jì)80年代，由于復(fù)合材料具有較高的比強(qiáng)度和比剛度，(復(fù)合材料從最初僅用于非承力結(jié)構(gòu)，到如今在飛機(jī)主承力結(jié)構(gòu)上大量使用，能夠帶來較大幅度的結(jié)構(gòu)減重，并且極大提高了結(jié)構(gòu)的耐撞性。近年來，復(fù)合材料在飛機(jī)結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用比例越來越大，但由于其損傷、破壞和失效模式與金屬結(jié)構(gòu)顯著不同，導(dǎo)致飛機(jī)結(jié)構(gòu)的抗墜撞性能隨著復(fù)合材料結(jié)構(gòu)成為主承力結(jié)構(gòu)或出現(xiàn)在主傳力路徑上而發(fā)生明顯改變[1-2]。目前，控制復(fù)合材料結(jié)構(gòu)壓潰行為和能量吸收的基本機(jī)理仍然是技術(shù)挑戰(zhàn)，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)在飛機(jī)墜撞過程中的吸能特性及其吸能設(shè)計近年來也因此受到了國內(nèi)外工程、學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注[3-4]。

薄壁結(jié)構(gòu)具有剛度大、穩(wěn)定性好和吸能效率高的特點，無論是金屬或者復(fù)合材料，都是一種典型的吸能結(jié)構(gòu)形式。然而復(fù)合材料的力學(xué)性能與金屬材料相比分散性更大，成型工藝也更復(fù)雜，實際工程中由于加工精度的限制和材料性能的分散性導(dǎo)致復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的幾何尺寸和物理性能具有不可忽視的不確定性。這些參數(shù)的微小變化都會改變結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)特性和失效破壞模式，從而影響其吸能特性。

如果復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)設(shè)計者在進(jìn)行設(shè)計時不考慮參數(shù)的不確定性，可能導(dǎo)致所設(shè)計結(jié)構(gòu)在壓潰時的吸能特性存在較大的分散性[5]，因此在工程中不得不通過大量實驗來確定復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)破壞吸能的力學(xué)行為。但是，通過試驗的方法研究復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)具有設(shè)計周期長、費用高、可重復(fù)性差等缺點。隨著商業(yè)軟件的發(fā)展與成熟，采用數(shù)值仿真與少量試驗相結(jié)合的方法成為研究復(fù)合材料飛機(jī)結(jié)構(gòu)的有效途徑。研究者通常根據(jù)試驗所觀察的結(jié)果來建立簡化的有限元模型來模擬復(fù)合材料的宏觀及細(xì)觀破壞過程[6-8]。這類研究通常以幾何/材料參數(shù)的名義值或平均值建立確定性模型作為研究對象進(jìn)行分析，忽略參數(shù)的分散性，導(dǎo)致計算分析結(jié)果與實驗值往往存在較大差異。從某種程度上講，用常規(guī)的確定性方法很難評估和分析這種不確定性來源多、分散度大的復(fù)合材料結(jié)構(gòu)非線性力學(xué)問題。

綜上，在進(jìn)行復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性分析時引入不確定性理論，建立考慮參數(shù)不確定性的復(fù)合材料薄壁吸能結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法非常具有工程意義。為此本文將識別不確定性來源，主要從試驗件的特征尺寸出發(fā)，識別影響顯著的不確定性參數(shù)，基于含確定參數(shù)的壓潰分析的數(shù)值模型，以期能夠在設(shè)計階段就考慮參數(shù)的不確定性，設(shè)計出吸能特性最優(yōu)的結(jié)構(gòu)。

1 復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)不確定參數(shù)的來源

由于加工工藝的限制，同一批具有相同結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料試驗件的特征尺寸仍會存在分散性，但是特征尺寸值仍分布在可控的公差帶內(nèi)?？梢愿鶕?jù)《未注尺寸公差極限偏差:HB5800—1999》中對公差要求確定特征尺寸的分布特征。特征尺寸是區(qū)間變量，其真值落于區(qū)間內(nèi)的任意點的概率是相同的，故利用Monte-Carlo方法進(jìn)行數(shù)值仿真時可以假設(shè)試驗件的特征尺寸在區(qū)間內(nèi)呈均勻分布[9]。

2 含不確定參數(shù)復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性評估方法

2.1 中心組合試驗設(shè)計

為建立含不確定參數(shù)薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性評估模型,需要具備關(guān)于結(jié)構(gòu)吸能特性指標(biāo)與不確定性參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系。但由于復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的軸向壓潰吸能機(jī)理復(fù)雜，無法通過理論推導(dǎo)確定函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，但可以根據(jù)數(shù)值計算結(jié)果，擬合函數(shù)方程。本文采用響應(yīng)面法，擬合具有不確定性的結(jié)構(gòu)參數(shù)與吸能特性指標(biāo)間函數(shù)關(guān)系。

為以較少的計算量以及較低的試驗驗成本得到滿足精度的響應(yīng)面方程，需根據(jù)參數(shù)區(qū)間，通過試驗設(shè)計方法來選擇樣本點。中心組合試驗設(shè)計是響應(yīng)面法研究中常用的實驗設(shè)計方法，其試驗點分布如圖1所示。對n(n≥2)個因素的中心組合試驗設(shè)計需要進(jìn)行的實驗總數(shù)為N=2n+2n+nc。試驗由三個部分組成：2n個立方體頂點處的驗、2n個軸點處的試驗及nc次中心點重復(fù)試驗。通過中心點處的重復(fù)試驗可以提高擬合方程的精度[10-11]。中心點處重復(fù)試驗次數(shù)與考察因素的關(guān)系，如表1所示。

圖1 中心組合設(shè)計試驗點分布圖

參數(shù)編號中心點數(shù)量試驗次數(shù)251336204630584261086710152

2.2 確定響應(yīng)面方程

在確定響應(yīng)面方程時需要折中考慮精度要求和計算成本。本文采用二次多項式來擬合響應(yīng)面方程，并利用最小二乘原理確定多項式系數(shù)，得到響應(yīng)和參數(shù)變量之間的函數(shù)關(guān)系，建立完全二階響應(yīng)面方程

(1)

由中心組合試驗設(shè)計確定的m個樣本點組成設(shè)計變量矩陣X，通過確定性分析方法計算樣本點的吸能特性向量Y；計算值與響應(yīng)面擬合值的誤差組成的向量為ε，各矩陣向量之間的關(guān)系

(2)

ε=Y-Xc

(3)

式中

待定多項式系數(shù)向量c用最小二乘法擬合求解

(4)

(5)

式中:SSE為誤差平方和。系數(shù)向量c的估計為

c=(XTX)-1XTY

(6)

得到響應(yīng)面方程后，為檢驗響應(yīng)面擬合程度需進(jìn)行R2檢驗。

(7)

3 復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性優(yōu)化流程

圖2給出了考慮參數(shù)的不確定性時的復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性優(yōu)化流程。首先根據(jù)使用條件確定設(shè)計參數(shù)的分布區(qū)間；隨后，利用中心組合試驗設(shè)計確定設(shè)計參數(shù)的試驗矩陣；之后確定試驗矩陣中每種設(shè)計參數(shù)組合在考慮復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)材料性能和特征尺寸的不確定性時吸能特性的分布情況，確定各吸能特性的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差[12]；然后，根據(jù)各設(shè)計參數(shù)組合吸能特性的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，分別確定復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)與吸能特性的均值及標(biāo)準(zhǔn)差之間的響應(yīng)面方程；最后，結(jié)合響應(yīng)面方程和設(shè)計要求確定優(yōu)化的數(shù)學(xué)表達(dá)，采用序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行優(yōu)化求解。論文最后一步是使用優(yōu)化過程得到的壁厚h和內(nèi)徑D值建立相關(guān)的有限元仿真模型，在優(yōu)化目標(biāo)值條件下通過有限元仿真計算得到能量吸收的特征參數(shù)。將該結(jié)果與響應(yīng)面預(yù)測值進(jìn)行對比，最終確定優(yōu)化結(jié)果的正確性和精度。

圖2 考慮參數(shù)不確定性復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性優(yōu)化流程

4 算例研究

4.1 建立基準(zhǔn)有限元分析模型

為驗證有限元模型的有效性，本文采用高100 mm，內(nèi)徑50 mm，壁厚1.5 mm的復(fù)合材料薄壁圓管進(jìn)行了準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓潰吸能試驗。圓管由12層碳纖維增強(qiáng)環(huán)氧樹脂層合而成，薄壁圓管的鋪層方式為[+45°/-45°/0°/0°/90°/0°]s，頂端外側(cè)設(shè)有45°倒角，其中牌號為T700的碳纖維體積分?jǐn)?shù)為64.3%，環(huán)氧樹脂的牌號為3234。

在中航工業(yè)北京航空材料研究院對T700/3234復(fù)合材料性能進(jìn)行測試，按《纖維增強(qiáng)塑料拉伸性能實驗方法:GBT1447—2005》、《纖維增強(qiáng)塑料壓縮性能實驗方法:GTB1448—2005》及《纖維增強(qiáng)塑料層間剪切強(qiáng)度實驗方法:GTB1450.1—2005》進(jìn)行，統(tǒng)計測試結(jié)果見表2。特征尺寸分布取公差范圍內(nèi)均勻分布，公差大小按《未注尺寸公差極限偏差:HB5800—1999》確定。

T700/3234預(yù)浸料熱壓成型的復(fù)合材料薄壁圓管的制作經(jīng)歷了鋪疊、吸膠、固化和脫模等過程。首先在不銹鋼(0Cr18Ni9)芯軸上鋪覆一層帶膠聚四氟乙烯布，以便脫模。再將單向預(yù)浸帶按設(shè)計的鋪設(shè)角度逐層鋪疊其上形成鋪層毛坯，各鋪層的對接縫相互錯開。在鋪層毛坯表面裹上一層作為吸膠材料的可剝布和薄玻璃布，然后將上述組合件放入聚四氟乙烯、透氣氈和真空袋組成的袋子里用橡膠膩子密封。接下來對上述組件進(jìn)行吸膠及固化過程。固化過程開始前將上述組件袋子放入熱壓罐中繼續(xù)對其進(jìn)行加溫加壓。固化過程如下：抽真空，加壓-0.1 MPa，升溫到120 °C，保溫10 min；加壓0.5 MPa，升溫到185 °C，保溫2 h；升溫到200 °C，保溫3 h；降溫至70 °C以下。升溫和降溫的速率小于2 °C/min。將固化出罐的毛坯制件在冷庫放置3 h后拿出，用木錘輕輕敲打，旋轉(zhuǎn)出模。

準(zhǔn)靜態(tài)軸向壓潰試驗在中航工業(yè)北京航空材料研究院進(jìn)行，采用英斯特朗微機(jī)控制電子式萬能試驗機(jī)在室溫下對試件均勻加載，加載速率為5 mm/min。圓管壓潰前及壓潰后破壞模式,如圖3所示。

圖3 試驗前后對比

基于LS-DYNA使用Belytschko-Tsay殼單元建立了上述圓管的單層等效有限元模型。模型中單元特征長度為2 mm，復(fù)合材料圓管選取MAT 54材料模型，具體材料參數(shù)見表2。圓管上方壓板采用20號剛體材料，圓管底端節(jié)點固定約束，頂端為自由端。如圖4所示，有限元模型共有4 378個殼單元，4 497個節(jié)點。研究表明，使用LS-DYNA進(jìn)行薄壁圓管壓潰仿真時，由于MAT54的材料參數(shù)中沒有與應(yīng)變率有關(guān)的參數(shù)，不同加載速度下的“載荷-位移”曲線基本相同，并與準(zhǔn)靜態(tài)試驗結(jié)果吻合[13]。圖5展示了使用基準(zhǔn)值建立的復(fù)合材料薄壁圓管軸向壓潰試驗有限元模型漸進(jìn)壓潰的過程。在復(fù)合材料圓管軸向壓潰過程中，單元逐層失效，未失效的變形單元呈現(xiàn)出向內(nèi)或向外彎曲折疊的形貌以及纖維基體斷裂的形貌，直到達(dá)到失效準(zhǔn)則后單元立即被刪除。圖6給出了仿真與試驗所得“載荷-位移”曲線的對比圖。表3給出了仿真與試驗所得吸能數(shù)據(jù)的對比。從圖6和表3中可知仿真所得曲線和試驗曲線較吻合，峰值載荷誤差10.91%，比吸能誤差3.82%，誤差均在可接受范圍之內(nèi)。

在復(fù)合材料薄壁圓管單層殼單元模型中，復(fù)合材料的纖維鋪層通過MAT54號材料的設(shè)計被附在了單層殼單元中。當(dāng)某個單元中部分纖維鋪層達(dá)到失效條件時會出現(xiàn)單元的剛度折減，當(dāng)單元中所有的復(fù)合材料纖維鋪層均達(dá)到失效條件時，即會發(fā)生單元刪除的現(xiàn)象。因此該仿真方法可以得到復(fù)合材料圓管漸進(jìn)失效的現(xiàn)象和纖維基體斷裂的失效形貌，卻無法得到復(fù)合材料層合板的基體開裂、層間開裂等形貌。實際上，這些未可視化的失效行為導(dǎo)致的材料剛度折減已經(jīng)被失效準(zhǔn)則算入其中。仿真結(jié)果中用于描述試驗件吸能特性的參數(shù)，例如比吸能、峰值載荷等，均能夠與物理試驗結(jié)果相對應(yīng)，誤差也在可接受范圍之內(nèi)。因此，本文使用該模型研究復(fù)合材料不確定性參數(shù)對吸能特性指標(biāo)的影響是合理的。

圖4 復(fù)合材料薄壁圓管有限元模型

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值ρ/(g·mm-3)1.53YC184Ex/GPa126SC/MPa98.8Ey/GPa8.71BETA0.0Gxy/GPa3.60FBRT1.0νab0.011YCFAC1.5Xt/MPa2571TFAIL0.4XC/MPa1060SOFT0.6Yt/MPa41.8EFS0.7

4.2 考慮參數(shù)不確定性優(yōu)化設(shè)計時的試驗矩陣

本節(jié)對上節(jié)建模中所用的復(fù)合材料圓管進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，根據(jù)使用使用要求圓管壁厚h在1～3 mm，圓管直徑D在40～60 mm。據(jù)此進(jìn)行中心組合試驗設(shè)計得到試驗矩陣見表4中第1，第2，第3列。對于試驗矩陣的每一行考慮參數(shù)不確定性的吸能特性分析，使用中心組合試驗設(shè)計分別確定每一行參數(shù)的試驗矩陣，最終確定每種特征尺寸復(fù)合材料圓管對應(yīng)的比吸能和峰值載荷的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，計算結(jié)果見表4。

圖5 基準(zhǔn)值有限元單層殼模型漸進(jìn)壓潰過程

圖6 仿真與試驗載荷-位移曲線

峰值載荷/kN峰值誤差/%比吸能/(J·g-1)比吸能誤差/%試驗26.67—74.86—仿真29.5810.9177.413.82

分別以表4中的比吸能均值、比吸能標(biāo)準(zhǔn)差、峰值載荷均值以及峰值載荷標(biāo)準(zhǔn)差為響應(yīng)確定響應(yīng)與特征尺寸間的響應(yīng)面方程。

SEAmean=1 616+81.25h-99.36D-

14.85h2-3.443hD+2.019D2+

0.399 9h2D+0.082 93hD2-0.013 66D3-

0.008 21h2D2-0.000 352 3hD3

(8)

式(8)為比吸能均值SEAmean與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應(yīng)面方程。對方程進(jìn)行R2檢驗，R2等于1，擬合度滿足要求。響應(yīng)面圖如圖7所示。

表4 考慮參數(shù)不確定性優(yōu)化時的實驗矩陣

圖7 比吸能均值的響應(yīng)面圖

FZmean=-96.36+12.04h+3.339D+0.434hD-

0.032 65D2

(9)

式(9)為峰值載荷均值FZmean與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應(yīng)面方程，對方程進(jìn)行R2檢驗，R2=0.953 4，擬合度滿足要求。響應(yīng)面圖見圖8。

圖8 峰值載荷均值的響應(yīng)面圖

σSEA=-4.445+8.363h-0.0193 5D-2.291h2+

0.041 27hD

(10)

式(10)為比吸能標(biāo)準(zhǔn)差σSEA與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應(yīng)面方程，對方程進(jìn)行R2檢驗，R2等于0.994，擬合度滿足要求。響應(yīng)面圖見圖9。

圖9 比吸能標(biāo)準(zhǔn)差的響應(yīng)面圖

σFZ=-11.75-2.334h+0.524D+0.416 7h2+

0.102 7hD-0.006 083D2

(11)

式(11)為峰值載荷標(biāo)準(zhǔn)差σFZ與圓管壁厚h和圓管直徑D之間的二階響應(yīng)面方程，對方程進(jìn)行R2檢驗，R2=0.965 8，擬合度滿足要求。響應(yīng)面圖如圖10所示。

圖10 峰值載荷標(biāo)準(zhǔn)差的響應(yīng)面圖

5 不確定性優(yōu)化數(shù)學(xué)表達(dá)式的確定

本文針對上述復(fù)合材料薄壁圓管算例結(jié)果進(jìn)行了三種優(yōu)化，分別是考慮參數(shù)的不確定性時復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性的均值最大化和標(biāo)準(zhǔn)差最小化優(yōu)化設(shè)計，以及考慮載荷不確定性的優(yōu)化設(shè)計。

5.1 均值最大為目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)表達(dá)式

對于考慮參數(shù)的不確定性對復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行吸能特性均值最大為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計，其實就是在保證結(jié)構(gòu)的特征尺寸處于設(shè)計要求的區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)破壞的峰值載荷在設(shè)計希望區(qū)間內(nèi)，之外還要保證比吸能的波動在一定范圍內(nèi)，尋求使比吸能的平均值要盡可能大的設(shè)計參數(shù)。式(12)給出了該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式

max:SEAmean(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

σSEAl≤σSEA(x)≤σSEAu

(12)

式中:x為復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)的特征尺寸。在實際工程中不可能改變復(fù)合材料的力學(xué)性能使其符合優(yōu)化設(shè)計的結(jié)果，因此在優(yōu)化時對復(fù)合材料的力學(xué)性能進(jìn)行優(yōu)化并不可行的，而對于復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)影響其吸能特性的參數(shù)除了材料的力學(xué)性能外只有特征尺寸，為此在這里選取特征尺寸為復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)優(yōu)化時的設(shè)計參數(shù)。xl表示特征尺寸的最小值，xu表示特征尺寸的最大值，特征尺寸的最大值和最小值通常取決于所設(shè)計吸能結(jié)構(gòu)的使用空間。

SEAmean(x)指考慮參數(shù)的不確定性時復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)軸向壓縮破壞比吸能的均值和復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)特征尺寸之間的函數(shù)關(guān)系。

FZmean(x)指考慮參數(shù)的不確定性時復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)軸向壓縮破壞峰值載荷的均值和復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)特征尺寸之間的函數(shù)關(guān)系。FZmeanl表示峰值載荷均值的最小值，F(xiàn)Zmeanu表示峰值載荷均值的最大值，峰值載荷均值的最大值和最小值通常取決于所設(shè)計吸能結(jié)構(gòu)的使用要求。

σSEA(x)指考慮參數(shù)的不確定性時復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)軸向壓縮破壞比吸能的均值和復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)特征尺寸之間的函數(shù)關(guān)系。σSEAl表示比吸能標(biāo)準(zhǔn)差的最小值，σSEAu表示比吸能標(biāo)準(zhǔn)差的最大值，比吸能標(biāo)準(zhǔn)差的最大值和最小值通常取決于所設(shè)計吸能結(jié)構(gòu)的使用要求。

5.2 均值最大復(fù)合材料圓管優(yōu)化設(shè)計算例

根據(jù)使用空間限制有如下設(shè)計要求：復(fù)合材料圓管壁厚在1～3 mm，內(nèi)徑在40～60 mm，峰值載荷在50～55 kN，比吸能最大。

max:SEAmean(x)

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

(13)

此時，優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為式(13)，將其代入MATLAB中對優(yōu)化問題求解可以得到h=1.818 9 mm；D=57.575 7 mm。在此種特征尺寸時考慮復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，該圓管比吸能的平均值為82.972 9 J/g。將特征尺寸代入的σSEA(x)中計算標(biāo)準(zhǔn)差為6.394 8 J/g。

當(dāng)復(fù)合材料薄壁圓管直徑為57.575 7 mm，壁厚為1.818 9 mm時。接下來根據(jù)這組數(shù)據(jù)建立復(fù)合材料圓管有限元模型，經(jīng)過有限元仿真計算得到比吸能的值為84.996 8/g。有限元仿真得到數(shù)值計算結(jié)果與響應(yīng)面計算結(jié)果誤差為2.44%，誤差在可接受范圍內(nèi)。

除此之外，為了實現(xiàn)自身的確定性參數(shù)導(dǎo)致的比吸能波動較小，在上述數(shù)學(xué)表達(dá)式中，約束函數(shù)要加入對σSEA的要求。

max:SEAmean(x)

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

σSEA(x)≤6

(14)

式(14)給出了該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)式，代入到MATLAB中求解得到h=1.696 3 mm；D=56.27 9 mm。此時圓管軸向壓潰比吸能的均值為79.377 7 J/g，比吸能的標(biāo)準(zhǔn)差為5.517 6 J/g。

當(dāng)復(fù)合材料薄壁圓管直徑為56.279 4 mm，壁厚為1.696 3 mm時。接下來根據(jù)這組數(shù)據(jù)建立復(fù)合材料圓管有限元模型，經(jīng)過有限元仿真計算得到比吸能的值為74.376 6 J/g。有限元仿真得到數(shù)值計算結(jié)果與響應(yīng)面計算結(jié)果誤差為6.72%，誤差在可接受范圍內(nèi)。

比吸能的標(biāo)準(zhǔn)差代表由復(fù)合材料不確定性參數(shù)導(dǎo)致復(fù)合材料薄壁圓管壓潰試驗比吸能的分散性。對比考慮參數(shù)不確定性和不考慮參數(shù)不確定性的復(fù)合材料薄壁圓管優(yōu)化結(jié)果可以看出，當(dāng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時考慮了參數(shù)的不確定性，所得圓管在軸向壓潰時的比吸能的均值和標(biāo)準(zhǔn)差均小于優(yōu)化時不考慮參數(shù)不確定性的優(yōu)化結(jié)果。這就表明，在優(yōu)化時考慮參數(shù)的不確定性，雖然會使結(jié)構(gòu)比吸能的均值變小，但結(jié)構(gòu)破壞時的比吸能分布會更加集中，提高了結(jié)構(gòu)吸能特性的穩(wěn)定性，對復(fù)合材料薄壁吸能結(jié)構(gòu)設(shè)計有積極意義。

5.3 標(biāo)準(zhǔn)差最小為目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)表達(dá)式

考慮參數(shù)的不確定性時對復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)進(jìn)行以吸能特性標(biāo)準(zhǔn)差最小為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計，其實就是在保證結(jié)構(gòu)的特征尺寸處于設(shè)計要求的區(qū)間內(nèi)，結(jié)構(gòu)破壞的峰值載荷在設(shè)計希望區(qū)間內(nèi)，比吸能的均值為某一指定數(shù)值，尋求使比吸能標(biāo)準(zhǔn)差最小的設(shè)計參數(shù)。式(15)給出了該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式

min:σSEA(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmean(x)=a

(15)

5.4 標(biāo)準(zhǔn)差最小復(fù)合材料圓管優(yōu)化設(shè)計算例

在對復(fù)合材料薄壁圓管進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，除了比吸能和峰值載荷達(dá)到要求外，還希望由于自身不確定性參數(shù)導(dǎo)致的復(fù)合材料圓管在壓潰時比吸能的變化盡量小，這時就需要采用標(biāo)準(zhǔn)差最小為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計方法。此時設(shè)計要求如下：復(fù)合材料圓管壁厚在1～3 mm，內(nèi)徑在40～60 mm，峰值載荷范圍設(shè)為50～55 kN，比吸能均值75 J/g，求比吸能標(biāo)準(zhǔn)差最小的圓管。

min:σSEA

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

SEAmean(x)=75

(16)

式(16)給出了該問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式。根據(jù)前面確定的σSEA(x) 、SEAmean(x)和FZmean(x)代入到MATLAB中求解得到h=1.744 1 mm；D=52.983 mm。此時圓管軸向壓潰比吸能標(biāo)準(zhǔn)差為5.960 4 mm。

當(dāng)復(fù)合材料薄壁圓管直徑為52.983 mm，壁厚為1.793 8 mm時。接下來根據(jù)這組數(shù)據(jù)建立復(fù)合材料圓管有限元模型，經(jīng)過有限元仿真計算得到比吸能的值為70.718 1 J/g。有限元仿真得到數(shù)值計算結(jié)果與響應(yīng)面計算結(jié)果誤差為5.71%，誤差在可接受范圍內(nèi)。

5.5 考慮載荷不確定性的優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)表達(dá)式

除復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)自身材料性能和力學(xué)參數(shù)的不確定性外，吸能結(jié)構(gòu)在破壞時的載荷情況也會對結(jié)構(gòu)的吸能造成影響，而這種影響主要是由壓潰角度引起的，其中角度為壓潰板法線與圓管軸向之間的夾角。在對復(fù)合材料薄壁吸能結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，除了希望由吸能結(jié)構(gòu)自身不確定性引起的吸能特性波動小之外，還希望由壓潰角度的不確定性引起的吸能特性波動盡量小，這就是考慮載荷不確定性的復(fù)合材料薄壁吸能結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計。式(17)給出了該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式：

min:SEAJD(x),FZJD(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmeanl≤SEAmean(x)≤SEAmeanu

σSEA(x)≤σSEAu

(17)

SEAJD(x)指角度變化對復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)壓潰時比吸能造成的影響大小與復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)特征尺寸間的函數(shù)關(guān)系。

該優(yōu)化問題的目標(biāo)為使SEAJD(x)和FZJD(x)最小，是一個多目標(biāo)優(yōu)化問題，為了便于求解將目標(biāo)函數(shù)求和，以SEAJD(x) +FZJD(x)為優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)將優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)優(yōu)化。此時，優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為式(18)

min:SEAJD(x)+FZJD(x)

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmeanl≤SEAmean(x)≤SEAmeanu

σSEA(x)≤σSEAu

(18)

當(dāng)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為SEAJD(x)和FZJD(x)時，可能會出現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)的情形，即目標(biāo)函數(shù)中某一項的數(shù)值遠(yuǎn)大于另一項，在優(yōu)化時較小的項會失去作用。為此對兩項分別進(jìn)行歸一化后再求和。本文將原函數(shù)減去最小值后采用除以最大值和最小值間差值的方法進(jìn)行歸一化，此時優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

xl≤x≤xu

FZmeanl≤FZmean(x)≤FZmeanu

SEAmeanl≤SEAmean(x)≤SEAmeanu

σSEA(x)≤σSEAu

(19)

式中SEAJDl為在設(shè)計參數(shù)范圍內(nèi)SEAJD的最小值，SEAJDu為在設(shè)計參數(shù)范圍內(nèi)SEAJD的最大值；FZJDl為在設(shè)計參數(shù)范圍內(nèi)FZJD的最小值，F(xiàn)ZJDu為在設(shè)計參數(shù)范圍內(nèi)FZJD的最大值。

5.6 受載荷不確定影響最小的復(fù)合材料圓管優(yōu)化設(shè)計算例

在對復(fù)合材料薄壁圓管進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計時，除了比吸能，峰值載荷大小以及由于自身不確定性參數(shù)導(dǎo)致的復(fù)合材料圓管在壓潰時比吸能的變化外，還希望復(fù)合材料薄壁圓管在壓潰時的吸能特性受壓潰角度影響盡量小，這時就需要采用了考慮載荷不確定性的優(yōu)化設(shè)計方法。本文算例設(shè)計要求如下：復(fù)合材料圓管壁厚在1～3 mm，內(nèi)徑在40～60 mm，峰值載荷在50～55 kN，比吸能均值在70～75 J/g之間，求比吸能標(biāo)準(zhǔn)差最小的圓管。

1≤h≤3

40≤D≤60

50≤FZmean(x)≤55

70≤SEAmean(x)≤75

σSEA≤6

(20)

式(20)給出了該問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式，當(dāng)前沒有公式來描述壓潰角度與復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性之間的關(guān)系，但因為壓潰角度的變化不會太大，因而只要擬合出在目標(biāo)壓潰角度附近的局部的壓潰角度與吸能特性之間函數(shù)關(guān)系就能確定壓潰角度變化對復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性的影響。壓潰角度變化較小，本文擬合0°～10°壓潰角度與復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性之間的關(guān)系。

本文采用的是圓管，因而各方向角度變化對結(jié)果影響是一樣的，按照全因子試驗設(shè)計確定試驗角度見表6。根據(jù)表6中的第一列和第二列擬合出復(fù)合材料薄壁圓管壓潰時壓潰角度與比吸能之間的三階函數(shù)方程見式(21)，進(jìn)行R2檢驗結(jié)果為0.998 3。壓潰角度與比吸能之間的關(guān)系，如圖11所示。對函數(shù)SEA(j)在j=0處對j求導(dǎo)，得到該處比吸能隨壓潰角度的變化情

表5 確定SEAJD(x)和FZJD(x)所用實驗矩陣

表6 確定SEA(j)和FZ(j)所用實驗矩陣

圖11 壓潰角度與比吸能之間關(guān)系

況，由于本研究關(guān)注的是比吸能的變化大小而不是比吸能具體是變大還是變小，為此對得到的導(dǎo)數(shù)去絕對值填到表5中的第四列。根據(jù)表6中的第一列和第三列擬合出復(fù)合材料薄壁圓管壓潰時壓潰角度與比吸能之間的三階函數(shù)方程見式(22)，進(jìn)行R2檢驗結(jié)果為0.902 1。壓潰角度與峰值載荷之間的關(guān)系，如圖12所示。FZ(j)在j=0處對j求導(dǎo)，得到該處比吸能隨壓潰角度的變化情況，由于本研究關(guān)注的是比吸能的變化量的大小而不是比吸能具體是變大還是變小，為此對得到的導(dǎo)數(shù)去絕對值填到表5中的第5列。

SEA(j)=51.395 23-3.162 17j+0.560 02j2-

0.030 418j3

(21)

FZ(j)=15.338 09-0.470 82j-0.172 84j2-

0.011 744j3

(22)

圖12 壓潰角度與峰值載荷之間關(guān)系

根據(jù)表5中的第2，第3，第4列擬合SEAJD，對方程進(jìn)行R2檢驗，R2等于0.981 7，擬合度滿足要求。與特征尺寸的關(guān)系的響應(yīng)面方程見式(23)，響應(yīng)面圖見圖13。

SEAJD=9.745-3.555h-0.130 5D+0.97h2+

0.030 5hD

(23)

圖13 SEAJD的響應(yīng)面圖

根據(jù)表5中的第2，第3，第5列擬合SEAJD，對方程進(jìn)行R2檢驗，R2等于0.929 7，擬合度滿足要求。與特征尺寸的關(guān)系的響應(yīng)面方程見式(24)，響應(yīng)面圖見圖14

FZJD=29.32-14.03h-0.940 9D+3.88h2+

0.108 3hD+0.009 126D2

(24)

式(14)在特征尺寸變化范圍內(nèi)求得SEAJD的變化范圍為[1.16, 6.25]，F(xiàn)ZJD的變化范圍為[0.055 5, 18.043 6]。

根據(jù)之前確定的SEA(x)，σSEA(x)和FZmean(x)，SEAJD(x)，F(xiàn)ZJD(x)，SEAJDl，SEAJDu，F(xiàn)ZJDl和FZJDu代入式(23)中對優(yōu)化問題求解得到

圖14 FZJD的響應(yīng)面圖

h=1.744 1mm，D=52.983 1 mm，此時SEAmean=74.999 5 J/g，σSEA=5.960 4 J/g，SEAJD=2.399 5，F(xiàn)ZJD=2.427 3。

當(dāng)復(fù)合材料薄壁圓管直徑為52.983 mm，壁厚為1.744 1 mm時。接下來根據(jù)這組數(shù)據(jù)建立復(fù)合材料圓管有限元模型，經(jīng)過有限元仿真計算得到比吸能的值為70.718 1/g。有限元仿真得到數(shù)值計算結(jié)果與響應(yīng)面計算結(jié)果誤差為5.71%，誤差在可接受范圍內(nèi)。

6 結(jié) 論

(1) 使用Dyna的MAT54材料建立了復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)圓管單層殼的基準(zhǔn)值模型，對復(fù)合材料薄壁圓管軸向壓潰試驗進(jìn)行了仿真，最后與試驗結(jié)果對比驗證了該方法的有效性。

(2) 采用響應(yīng)面方法和中心組合試驗設(shè)計方法，通過較小的計算量解決了復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)吸能特性指標(biāo)與結(jié)構(gòu)參數(shù)間沒有通用的函數(shù)關(guān)系的問題，得到了擬合度較好的響應(yīng)面方程。

(3) 對復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計進(jìn)行了研究，建立了考慮參數(shù)不確定性時復(fù)合材料薄壁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法，并考慮了壓潰角度不確定性時復(fù)合材料薄壁吸能結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法。

(4) 以T700/3234復(fù)合材料薄壁圓管為例，在規(guī)定特征尺寸范圍內(nèi)分別對規(guī)定峰值載荷求比吸能均值最大，規(guī)定峰值載荷以及比吸能均值求比吸能標(biāo)準(zhǔn)差最小，和規(guī)定峰值載荷均值及比吸能均值求受角度變化影響最小問題進(jìn)行了優(yōu)化求解，并驗證了所提方法的正確性。