曾貴平 方保龍

(合肥學(xué)院數(shù)學(xué)與物理系 安徽 合肥 230601)

*合肥學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目，項(xiàng)目編號(hào)：2017jyzd002,2018hfjyxm55

1 引言

為加深學(xué)生對(duì)物理概念、定義、理論的理解與應(yīng)用，大學(xué)物理教材都會(huì)設(shè)計(jì)或提煉出相關(guān)的練習(xí)題供學(xué)生訓(xùn)練. 然而，在設(shè)計(jì)題時(shí)不能想當(dāng)然，否則會(huì)出現(xiàn)難以發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤.下面這道題就是這種情況.

【例題】光滑的水平板中央開(kāi)一小孔，質(zhì)量為m的小球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過(guò)光滑的小孔后掛一質(zhì)量為m1的物體．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)半徑為r0時(shí)與m1物體達(dá)到平衡．今在m1的下方再掛一質(zhì)量為m2的物體，如圖1所示．試問(wèn)這時(shí)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω′和半徑r′為多少[1]?

圖1 運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)示意圖

解析：在只掛重物m1時(shí)，小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力為m1g，即

(1)

掛上m2后，則有

(m1+m2)g=mr′ω′2

(2)

重力對(duì)圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動(dòng)量守恒．即

r0mv0=r′mv′

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)得

(4)

(5)

以上的解題過(guò)程似乎正確，然而題目是有問(wèn)題的，問(wèn)題在于題目中已經(jīng)預(yù)先設(shè)想小球還能達(dá)到“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”狀態(tài)，實(shí)際運(yùn)動(dòng)并非如此.下面通過(guò)兩種方法來(lái)處理問(wèn)題.

2 動(dòng)力學(xué)方程

如圖2所示，建立柱坐標(biāo)系，圓孔O為極點(diǎn)，z軸正向垂直于平板向上.

圖2 受力分析

(6)

(7)

對(duì)m1與m2進(jìn)行受力分析，其動(dòng)力學(xué)方程為

T-(m1+m2)g=(m1+m2)az=

(8)

式(7)反映m在橫向不受力、徑向受力，角動(dòng)量守恒. 由式(7)得

(9)

(10)

(11)

積分得

(12)

常數(shù)c可由初始時(shí)刻u=0，r=r0確定

(13)

則m的徑向速度或m1與m2的速度為

(14)

(15)

式中

要確定vr=0對(duì)應(yīng)的r，可求解

f(r)=ar2-br3-c=0

其兩個(gè)真實(shí)根可由圖3所示求出. 另外，vr的最大值對(duì)應(yīng)的r處于r1～r0之間，可由

得到

由此可見(jiàn)，vr在零至最大值之間變化，即掛上物體m2后，實(shí)際上m1與m2隨后將做上下的振動(dòng)，而m將做繞圓孔O點(diǎn)的非圓周運(yùn)動(dòng).

圖3 vr= 0時(shí)r的兩個(gè)真實(shí)根

3 機(jī)械能守恒

以桌面為勢(shì)能零點(diǎn)，由于3個(gè)物體構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有

(16)

在極坐標(biāo)系中m的速度為

則

(17)

結(jié)果與前相同.

4 結(jié)論

一個(gè)置于水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，通過(guò)線連接著另一個(gè)下垂物體，在極端情況下，當(dāng)下垂物體掛上大質(zhì)量物體后，下垂的物體隨后將做近似自由落體運(yùn)動(dòng). 一般情況，下掛物體的質(zhì)量不是很大時(shí)，下垂的物體隨后將做上下的振動(dòng)，水平面上的物體將做繞圓孔的非圓周運(yùn)動(dòng).