封濤

平行四邊形是初中階段非常重要的內(nèi)容，可是最近小濤同學在解題中總是出現(xiàn)各種各樣的問題，究竟是什么原因呢？下面我們針對他的錯誤一起來分析。

一、基本概念吃不透

例1 下列說法正確的是（? ? ? ? ）。

A.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的四邊形是菱形

D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【小濤解答】D。

【錯因分析】本題主要考查用對角線判斷四邊形形狀，其中B、C、D三個選項都忽略了矩形、菱形、正方形是特殊的平行四邊形，所以對角線應該滿足互相平分。

【正確解答】A。

二、考慮問題不全面

例2 矩形一個角的平分線分矩形一邊成2cm和3cm，則這個矩形的面積為? ? ? ? ? ? ? ? 。

【小濤解答】10cm2。

【錯因分析】題目中并沒有明確指出2cm和3cm分別是哪一段，所以應該要分類討論。

【正確解答】如圖1，面積為10cm2;如圖2，面積為15cm2。

【小結反思】在解決問題時如果碰到無法確定的情況需要分類討論。

【鞏固練習】在?ABCD中，AP平分∠BAD交直線CD于點P，且AB=6，CP=3，則這個平行四邊形周長為? ? ? ? ? ? ? ? 。

三、圖形本質抓不住

例3 如圖3，已知矩形ABCD，R為DC的中點，P為BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點，當點P在BC上從點C向點B移動時，下列結論成立的是（? ? ? ? ）。

A.線段EF的長逐漸增大

B.線段EF的長逐漸減小

C.線段EF的長不變

D.線段EF的長不能確定

【小濤解答】D。

【錯因分析】本題重點考查矩形的性質及三角形中位線性質。這題首先要學會定性分析，A、R為兩個定點，連接而成的線段AR是定長的線段，則對應中位線EF也為定長的線段。

【正確解答】C。

【小結反思】幾何問題中經(jīng)常會出現(xiàn)運動變化的圖形，我們需要抓住圖形本質，從變化中尋找不變的量，從而解決問題。

四、圖形個數(shù)找不全

例4 如圖4，在給定的5×5網(wǎng)格紙中，以已畫線段AB為一邊畫出菱形ABCD，使菱形的各個頂點都在格點上，這樣的菱形有______個。

【小濤解答】3。

【錯因分析】本題考查了菱形的性質以及網(wǎng)格中作圖技巧。小濤之所以找不全是因為沒有掌握將菱形的問題轉化為等腰三角形問題的方法。我們可以借助圓規(guī)解決問題。

【正確解答】5。（如圖5所示）

【小結反思】很多菱形問題都可以轉化為等腰三角形問題去解決，因為連接菱形對角線就可以把菱形分成兩個等腰三角形，這也是很多解答題中解決菱形存在性問題常見的思路。

五、圖形變換不熟練

例5 如圖6，P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PD=2，PC=3，求∠APD的度數(shù)。

【小濤解答】 120°。

【錯因分析】本題考查圖形的旋轉變換、勾股定理的逆定理、正方形的性質等知識。小濤解答錯誤的原因是不能靈活運用圖形變換轉化條件，再通過勾股定理逆定理解決問題。

【正確解答】

解：如圖7，將△APD繞點D沿逆時針旋轉90°到達△CDQ的位置。則∠PDQ=90°，QD=PD=2，QC=AP=1，∴∠PQD=45°。

由勾股定理得：

PQ2=22+22=8。

而CQ2=1，PC2=32=9，

∴PC2=PQ2+CQ2，∴∠PQC=90°。

又∵∠PQD=45°，

∴∠CQD=135°，

∴∠APD=∠CQD=135°。

【小結反思】在解決問題的過程中一定要靈活運用所學知識。當題目條件分散時可以通過圖形變換將條件集中從而解決問題，平時學習時要善于反思、歸納和總結。例如本題DA=DC為旋轉變換提供了“土壤”。

【鞏固練習】在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，PA=1，PB=[3]，PC=2，求∠APB的度數(shù)。

同學們，相信通過對小濤同學解題時的錯因分析，大家對解決與平行四邊形有關問題的常見注意點和方法有了一定的認識了吧。其實，只要平時尋找錯因，反思總結，歸類整理，我們一定會越來越優(yōu)秀！

參考答案：

例2鞏固練習：30或18。

例5鞏固練習：150°。

（作者單位：江蘇省泰興市洋思中學）