程然 韓文標(biāo) 何克亮

(1 中國科學(xué)院上海天文臺(tái)上海200030)

(2 中國科學(xué)院大學(xué)北京100049)

(3 中國空間技術(shù)研究院西安分院西安710100)

1 引言

現(xiàn)今高精度時(shí)頻信號(hào)主要來源于原子鐘,人們利用將原子鐘放置在衛(wèi)星上的方法來獲得原子與微波或光信號(hào)間更長的作用時(shí)間,以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)原子鐘頻率穩(wěn)定度的提高[1].上世紀(jì)末,歐洲航天局(ESA)就提出了空間原子鐘組(ACES)任務(wù),計(jì)劃將一臺(tái)激光冷原子銫鐘(PHARAO)和一臺(tái)空間主動(dòng)型氫鐘(SHM)搭載于國際空間站(ISS)上,利用分布于全球的地面高精度原子鐘網(wǎng)絡(luò),建立空間鐘與地面鐘間的超高精度時(shí)間頻率傳遞鏈路,實(shí)現(xiàn)高精度時(shí)頻信號(hào)的產(chǎn)生以及傳遞[2].在該任務(wù)里,利用產(chǎn)生高精度時(shí)頻信號(hào)的原子鐘組,在進(jìn)行時(shí)頻傳遞實(shí)驗(yàn)中,頻率不確定度預(yù)計(jì)達(dá)到10?16量級(jí),頻率穩(wěn)定度預(yù)計(jì)達(dá)到10?16量級(jí)(天穩(wěn)),并通過激光比對鏈路使地面鐘時(shí)間比對精確度達(dá)到50 ps水平.在其后續(xù)計(jì)劃空間光鐘(SOC)任務(wù)當(dāng)中,由于空間鐘將采用光晶格鐘,時(shí)鐘的頻率不確定度預(yù)計(jì)達(dá)到10?17[1].這樣的高精度時(shí)間頻率比對鏈路,一方面可以用于基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn),如檢驗(yàn)引力紅移、研究基本常數(shù)的時(shí)變特性以及驗(yàn)證局域不變原理等; 另一方面,則可以開展如地面原子鐘間高精度時(shí)間頻率傳遞、相對論重力測量、地球遙感和大氣時(shí)延等科學(xué)應(yīng)用[3].近年來我國也在籌備基于載人空間站的空間原子鐘項(xiàng)目,并考慮在外太空建立時(shí)間頻率實(shí)驗(yàn)室,采用鍶光鐘、銣噴泉鐘、主動(dòng)型氫鐘共同組建空間原子鐘鐘組:高精密時(shí)頻基準(zhǔn)通過高精度的微波和激光鏈路向地面和空間傳遞時(shí)間和頻率,對傳遞鏈路時(shí)間穩(wěn)定度的要求高達(dá)ps量級(jí),原子鐘組增加光鐘之后,日穩(wěn)定度和不確定度有望達(dá)到10?18量級(jí),相比較ACES任務(wù),時(shí)間頻率信號(hào)的頻率穩(wěn)定度和準(zhǔn)確度將提高1個(gè)量級(jí)以上[1],而如何令其服務(wù)于已開展的相關(guān)研究項(xiàng)目已成為我國實(shí)現(xiàn)自主研發(fā)所面臨的重要任務(wù)之一.

然而受到引力紅移的影響,地球附近信號(hào)收發(fā)位置1 m高程的變化都會(huì)在時(shí)間頻率傳遞過程中產(chǎn)生10?16大小的頻移; 信號(hào)在傳播過程中收發(fā)點(diǎn)的相對運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的多普勒頻移又會(huì)受到時(shí)間膨脹效應(yīng)以及引力時(shí)延的影響,在地面站與ISS間的時(shí)頻傳遞過程中,僅地球扁率的引力時(shí)延效應(yīng)所引起的多普勒頻移就已經(jīng)達(dá)到10?17.顯然在進(jìn)行超高精度時(shí)間頻率傳遞實(shí)驗(yàn)中以牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)的理論模型已無法滿足人們對于頻率不確定度和穩(wěn)定度等的要求,這就要求我們必須在廣義相對論框架下實(shí)現(xiàn)時(shí)頻傳遞鏈路的數(shù)據(jù)處理; 進(jìn)一步,應(yīng)用地心天球參考系(GCRS)的坐標(biāo)時(shí)給出空間原子鐘原時(shí)與地面原子鐘原時(shí)之差的計(jì)算(等同于給出頻移的計(jì)算).

國際上最早關(guān)于相對論框架下時(shí)鐘頻率比對的理論分析由Jaffe和Vessot給出,該理論分析涉及對二階引力紅移的相關(guān)計(jì)算(盡管計(jì)算到c?3精度,但是沒有考慮由于引力時(shí)延引起光線切矢的變化對于多普勒頻移的影響,同時(shí)關(guān)于收發(fā)臺(tái)站運(yùn)動(dòng)也沒有按照c?3精度進(jìn)行處理,因此不是嚴(yán)格的c?3精度),其結(jié)果已應(yīng)用到引力探測器A(GP-A)實(shí)驗(yàn)以及GPS系統(tǒng)當(dāng)中并得到驗(yàn)證[4]; 隨著時(shí)鐘穩(wěn)定性的提升與雙向時(shí)間傳遞方案和定常軌道激光同步方案的提出,包含更高階項(xiàng)的更精確的理論處理由Petit、Klioner等人在其相應(yīng)的工作中完成[5?6]; 目前國際上對高精度時(shí)頻傳遞相對論模型的研究,主要是針對ACES進(jìn)行的建模,因?yàn)檠芯繉ο鬄榈厍蛞鲎饔梅秶鷥?nèi)的人造天體,因此模型采用的參考系為GCRS,其中Blanchet等人在2001年給出了c?3精度下的時(shí)頻傳遞理論模型,該模型在頻率傳遞中考慮了球?qū)ΨQ引力場下一階和二階多普勒效應(yīng)、愛因斯坦引力紅移、夏皮羅時(shí)延以及光線切矢受引力場的影響,根據(jù)ACES的科學(xué)需求,模型忽略了地球的自轉(zhuǎn)、質(zhì)量四極矩和日月的潮汐勢等,時(shí)間傳遞模型精度為1 ps,頻率比對模型的精度為10?17[7]; 后來他們基于孤立、軸對稱旋轉(zhuǎn)體引力場又將該模型推廣至c?4精度,進(jìn)一步考慮了引力紅移中地球自轉(zhuǎn)、質(zhì)量四極矩對時(shí)間頻率傳遞的影響,應(yīng)用時(shí)間傳遞函數(shù)(TTF)方法考察引力時(shí)延對頻移的影響從而極大簡化了計(jì)算,并在c?4精度下包含了Nordvedt-Will后牛頓參數(shù),不過該模型僅局限于單向時(shí)頻傳遞[8].

國內(nèi)目前已公開的與空間原子鐘時(shí)頻傳遞相關(guān)的相對論效應(yīng)研究中,早期較有代表性的工作有陜西天文臺(tái)(現(xiàn)國家授時(shí)中心)有關(guān)研究人員在地固系下針對在準(zhǔn)確度和穩(wěn)定度達(dá)10?13量級(jí)的時(shí)頻測量中需要考慮的相對論效應(yīng)所進(jìn)行的相關(guān)介紹[9]; 到了近10 yr,紫金山天文臺(tái)有關(guān)研究人員針對質(zhì)心天球參考系(BCRS)提出了修正的標(biāo)量-張量-矢量引力理論(MSTVG),并根據(jù)該理論在參數(shù)化二階后牛頓(2pN)精度下給出了含四極場和引力磁效應(yīng)的光行時(shí)公式、光傳播頻移公式及相關(guān)量級(jí)估計(jì)[10]; 華中科技大學(xué)有關(guān)研究人員針對GCRS在具有潮汐、軸對稱和旋轉(zhuǎn)的引力場下系統(tǒng)地給出了關(guān)于時(shí)頻傳遞的相對論模型[11]; 此外,上海天文臺(tái)、南京大學(xué)、國防科技大學(xué)等單位針對太陽系內(nèi)的高精度天文、測距、時(shí)間同步等技術(shù)的相對論模型都開展了系統(tǒng)、深入的研究[1,12–17].目前,我國的時(shí)頻傳遞項(xiàng)目急需的理論模型,還在研究過程中.由于我國時(shí)頻項(xiàng)目的設(shè)計(jì)精度要求高于ACES,相對論模型精度要求也高于國外同類模型.

本文考慮到目前國際、國內(nèi)的研究基礎(chǔ)和現(xiàn)狀,將影響量級(jí)在10?18的效應(yīng)也考慮進(jìn)來,給出高精度的時(shí)頻傳遞鏈路理論模型,并針對地球附近軌道高度400 km左右的近地軌道衛(wèi)星(LEO)與地面之間的時(shí)頻傳遞以及中地球軌道(MEO)衛(wèi)星與地球靜止軌道(GEO)衛(wèi)星之間的信號(hào)時(shí)頻傳遞給出了相應(yīng)的處理模型.內(nèi)容安排如下: 在2.1節(jié)中,本文將對第24屆國際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)(IAU)提出的IAU2000決議當(dāng)中有關(guān)一階后牛頓天文參考系的內(nèi)容作簡單介紹; 在2.2節(jié)中先對后牛頓極限下的單向頻率傳遞的現(xiàn)有理論模型進(jìn)行論述,再在IAU2000決議確定的參考系下給出指定精度下單向頻率傳遞的另一種理論模型; 2.3節(jié)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出Λ頻率傳遞鏈路的頻差計(jì)算模型并且根據(jù)地面-LEO和MEO-GEO兩個(gè)例子對定軌精度、衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)間隔等技術(shù)指標(biāo)給出約束條件;最后在第3節(jié)中將對本文的內(nèi)容進(jìn)行總結(jié),并對所建模型進(jìn)行探討.本文中如無特殊聲明,c均代表真空中光的傳播速度,G代表引力常量,并且約定指標(biāo)中羅馬字母指代1、2、3,希臘字母指代0、1、2、3.

2 時(shí)頻傳遞中的相對論效應(yīng)分析

2.1 IAU2000有關(guān)相對論參考系的決議簡介

基于本文所涉及到的時(shí)間頻率傳遞實(shí)驗(yàn)是在地球附近的引力場時(shí)空背景下進(jìn)行,因此我們選擇地心天球坐標(biāo)系(GCRS),根據(jù)IAU2000關(guān)于天文參考系的決議,GCRS中的度規(guī)張量具有如下一階后牛頓(1pN)形式[18]:

其中G00、G0a和Gab是度規(guī)張量的各個(gè)分量,O(n)表示O(c?n),δab是克羅內(nèi)克符號(hào),并且a,b= 1、2、3.這里W和Wa分別是引力的標(biāo)量勢和矢量勢,是空間坐標(biāo)X和坐標(biāo)時(shí)間T的函數(shù),它們可以分為自勢和外勢兩部分,具體說明詳見IAU2000決議的相關(guān)介紹[18],為便于后面的相關(guān)討論,下面僅對由地球質(zhì)量分布引起的自引力勢作相關(guān)說明.在IAU2000決議B1.4中關(guān)于該標(biāo)量位勢采用了類似于牛頓力學(xué)下的多極展開,即

其中Plm是締和勒讓德多項(xiàng)式,Slm和Clm在一定精度下等價(jià)于Damour等人引入的后牛頓多極矩[19],可通過對基于國際地球參考架(ITRF)的EGM08重力場模型進(jìn)行坐標(biāo)變換得到[20],M⊕是地球質(zhì)量,dE是地球半徑,θ和?為對應(yīng)于GCRS中空間坐標(biāo)Xa的角坐標(biāo).有一點(diǎn)需指出,由于上式為GCRS下的展開式,因此即使忽略章動(dòng)、極移和歲差等因素對地球自轉(zhuǎn)的長期影響以及潮汐形變效應(yīng),Slm和Clm依舊為隨時(shí)間變化的量,且公共周期約為1 d.

基于IAU2000決議中關(guān)于相對論參考系的描述,我們可以對地球附近的信號(hào)時(shí)頻傳遞實(shí)驗(yàn)進(jìn)行相應(yīng)的理論建模.

2.2 時(shí)頻傳遞模型

在頻率傳遞過程中的觀測量是信號(hào)接收和發(fā)射時(shí)的頻率比νR/νE(在光線傳遞過程中,我們將發(fā)射事件記為E,接收事件記為R,下同),該量便于應(yīng)用于時(shí)鐘頻率比對等科研任務(wù),體現(xiàn)在: 一方面,通過本地頻率轉(zhuǎn)換,可以間接獲得時(shí)鐘頻率比對,即另一方面,可以與依賴坐標(biāo)的量建立較為簡潔的關(guān)系.下面我們首先介紹光線傳輸過程中頻率偏移的一般形式[8],即

其中l(wèi)μ是對應(yīng)事件中光線的切矢分量,uμ和vi分別是發(fā)射事件中發(fā)射源(或者接收事件中接收源)的四速度分量和坐標(biāo)速度分量,表達(dá)式中采用愛因斯坦求和約定: 重復(fù)指標(biāo)代表求和.這樣,通過建立坐標(biāo)量lμ、uμ和觀測量νR/νE之間的聯(lián)系,并把坐標(biāo)依賴的實(shí)際記錄數(shù)據(jù)和觀測量建立關(guān)系,從而建立完整自洽的數(shù)據(jù)處理模型.(3)式中,和即描述了坐標(biāo)時(shí)與固有時(shí)之間的關(guān)系,比式u0R/u0E主要包含了引力紅移以及部分二階多普勒頻移,而比式則主要反映了在選定參考系中引力延遲影響下的一階多普勒頻移,下面將分別對這兩個(gè)比式進(jìn)行相應(yīng)分析與估計(jì).

表1 /中各影響因素對于頻移的影響量級(jí)(以LEO-地面站、GEO-MEO間頻率傳遞為例,選取的LEO軌道高度為400 km,MEO軌道高度為21528 km,GEO軌道高度為36000 km)Table 1 The magnitude of the influence from each factor related to u0R/u0E on the frequency shift (in the cases of time transfer for LEO-ground and GEO-MEO,the altitude for LEO,MEO,and GEO is 400 km,21528 km,and 36000 km,respectively)

表1 /中各影響因素對于頻移的影響量級(jí)(以LEO-地面站、GEO-MEO間頻率傳遞為例,選取的LEO軌道高度為400 km,MEO軌道高度為21528 km,GEO軌道高度為36000 km)Table 1 The magnitude of the influence from each factor related to u0R/u0E on the frequency shift (in the cases of time transfer for LEO-ground and GEO-MEO,the altitude for LEO,MEO,and GEO is 400 km,21528 km,and 36000 km,respectively)

affecting factorsmagnitude 1(LEO-ground)magnitude 2(GEO-MEO)10?1010?12 C2010?1310?15 C3010?1510?18 C4010?1610?19 C5010?1610?20 C6010?1610?20 terms of order O(4)10?1810?20 tidal effect of the Sun10?1810?16 tidal effect of the Moon10?1810?15 inertial terms10?2110?21 spin dipole moment of the Earth10?2010?22 M⊕

通過對時(shí)間傳遞函數(shù)(TTF)[8,21]求梯度與光線切矢建立數(shù)學(xué)聯(lián)系,可以為計(jì)算背景參考系下的相對論性多普勒頻移提供理論依據(jù)[8].關(guān)于比式(c+livi)R/(c+livi)E中地球質(zhì)量、地球質(zhì)量四極矩、自旋、潮汐項(xiàng)和慣性項(xiàng)引力時(shí)延(分別記作TM,l=0,TM,l=2,TS,l=1,TT,l=2和TI)對應(yīng)的切矢分量,經(jīng)計(jì)算可以得到[17](見附錄),各部分所引起多普勒頻移的影響量級(jí)如表2所示,對于表中未列出的四極矩部分(C22和S22等)的頻移影響在10?19量級(jí).

對于10?18的頻移精度要求,不需要考慮更高階質(zhì)量多極矩的影響[8],這里不再一一列出.因此,時(shí)延部分只需考慮質(zhì)量以及質(zhì)量四極矩部分.

需要說明的是,這里所給出關(guān)于時(shí)延部分影響的結(jié)論僅在單次測量且引力場為穩(wěn)態(tài)場時(shí)有效.單次測量時(shí)間約為0.1 s,信號(hào)傳播過程中,引力場其實(shí)產(chǎn)生了微小變化.分析發(fā)現(xiàn)這種假設(shè)仍然保證了頻率傳遞精度為10?18.首先是對自轉(zhuǎn)進(jìn)行考察,對(2)式展開到l=2可以發(fā)現(xiàn),在GCRS中Slm和Clm不因坐標(biāo)起算點(diǎn)?0發(fā)生變化的只有C20,考慮到質(zhì)量四極矩Mij非主對角線分量(主要對應(yīng)于S22和C22)相對于主對角線元素(主要對應(yīng)于C20)要低2?3個(gè)量級(jí)[17],而地球自轉(zhuǎn)時(shí)所產(chǎn)生的引力場時(shí)變效應(yīng)則主要源于這些田諧項(xiàng)和扇諧項(xiàng),于是當(dāng)考慮引力勢的時(shí)變性后,通過在計(jì)算TT,l=2中應(yīng)用積分中值定理,并在此基礎(chǔ)上重復(fù)附錄(1.17)式的推導(dǎo)過程,可估計(jì)對于單次時(shí)頻傳遞中由于自轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的引力場時(shí)變效應(yīng)對頻移的影響量級(jí)～10?24,因此在應(yīng)用TTF中可以忽略不計(jì).

接下來,我們對歲差、極移、章動(dòng)等因素所引起地軸偏移進(jìn)行分析.由于單次頻率傳遞的坐標(biāo)時(shí)間間隔?t ～0.1 s,考慮歲差等因素后經(jīng)估算可知Mij的變化不會(huì)超過C20的10?12,而根據(jù)附錄中(1.17)式可知只要Mij的變化不超過C20的10?2即可滿足精度要求,因此引起光線偏折的地軸偏移部分對頻率的影響完全可以忽略.至于潮汐效應(yīng),根據(jù)對附錄中的(1.21)式的計(jì)算可知潮汐勢時(shí)延對頻率的影響遠(yuǎn)小于10?18,由此單次測量中潮汐引入的時(shí)變性也可忽略不計(jì).此處,由于(3)式本身是基于穩(wěn)態(tài)場假設(shè)給出的,對比文獻(xiàn)[11]中基于非穩(wěn)態(tài)場假設(shè)給出的(14)式并依上文中的類似分析可估計(jì)出(3)式其模型誤差量級(jí)在10?20水平.以上論證即說明了即使在10?18頻率不確定度水平上,單次測量情況下,利用TTF計(jì)算頻率傳遞中引力場的光線偏折效應(yīng)時(shí),不需要考慮引力場的變化.不同的測量時(shí),引力場的變化自然包含進(jìn)了引力勢的計(jì)算中,我們無需穩(wěn)態(tài)引力場假設(shè).

表2 引力作用下各因素引起的光線偏折對于頻移的影響量級(jí)(以LEO-地面站、GEO-MEO間頻率傳遞為例,選取的LEO軌道高度為400 km,MEO軌道高度為21528 km,GEO軌道高度為36000 km)Table 2 The magnitude of the effects from the gravity-induced deflection of light on the frequency shift for each factor (in the cases of time transfer for LEO-ground and GEO-MEO,the altitude for LEO,MEO,and GEO is 400 km,21528 km,and 36000 km,respectively)

根據(jù)以上估計(jì),可直接引用文獻(xiàn)[8]中的相應(yīng)結(jié)論給出頻率精度為10?18的單向頻率傳遞方程的形式.設(shè)在坐標(biāo)時(shí)TE時(shí)刻,光線由位于XE、坐標(biāo)速度為vE的源發(fā)出,在TR到達(dá)位于XR、坐標(biāo)速度為vR的觀測者,則光線接收與發(fā)出時(shí)的頻率比滿足

其中NER= (XR?XE)/|XR?XE|,WR和WE分別是關(guān)于(TR,XR)和(TE,XE)的勢函數(shù).而切矢中由于地球質(zhì)量引起的部分lE,M、lR,M以及由于地球質(zhì)量四極矩引起的部分lE,Q、lE,Q,其具體形式詳見附錄中(1.15)–(1.18)式.

以上就是我們針對觀測量νR/νE所作的分析,為了便于計(jì)算,我們分別考慮了構(gòu)成νR/νE的兩個(gè)比式(c+livi)R/(c+livi)E和的所有影響因素,從而實(shí)現(xiàn)了不確定度達(dá)10?18的觀測量理論處理模型.相比較Linet等[8]基于孤立、軸對稱旋轉(zhuǎn)體系給出的處理模型,我們的模型采用了IAU2000決議確立的天文參考系,因此在地球附近有著更好的適用性,而且頻率精度設(shè)計(jì)在10?18,要高于ACES任務(wù)的頻率精度要求(10?16).但是也需要注意,由于海平面高度的變化以及質(zhì)量分布不規(guī)則等因素所造成的模型誤差依舊會(huì)高于設(shè)計(jì)精度.

需要強(qiáng)調(diào),在每次頻率傳遞過程中(?t ～0.1 s),地球引力勢、外部天體方位、臺(tái)站位置、衛(wèi)星位置等參量在GCRS下都會(huì)發(fā)生變化,而在頻率設(shè)計(jì)精度為10?18的情況下這種變化引起的頻移將剛好影響到我們對于的計(jì)算結(jié)果,因此(4)式在計(jì)算中需調(diào)用對應(yīng)歷元下的相關(guān)參數(shù),對于下面將涉及到的Λ型雙向時(shí)頻傳輸亦應(yīng)如此分析.

2.3 Λ鏈路高精度相對論模型

根據(jù)(4)式可以發(fā)現(xiàn),式中包含的O(1)項(xiàng)是多普勒頻移,這一項(xiàng)對頻率傳遞實(shí)驗(yàn)的影響最大,于是人們通過設(shè)計(jì)Λ構(gòu)型的雙向時(shí)頻傳遞鏈路來抵消一階多普勒效應(yīng),提高時(shí)頻傳遞的精度[4,7].在Λ鏈路中通常包含時(shí)鐘一致性較好的一個(gè)信號(hào)發(fā)射源和一個(gè)信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)源,發(fā)射源經(jīng)本地時(shí)鐘生成高頻信號(hào)傳遞給轉(zhuǎn)發(fā)源(該傳遞通道即上行鏈路); 轉(zhuǎn)發(fā)源在接收信號(hào)的瞬間會(huì)同時(shí)向發(fā)射源處傳遞具有不同載波頻率的信號(hào)(該傳遞通道即下行鏈路),其中有通過對接收到的發(fā)射源信號(hào)進(jìn)行變頻后得到的高頻信號(hào)(包含不同波段)以及經(jīng)轉(zhuǎn)發(fā)源本地時(shí)鐘生成的高頻信號(hào).信號(hào)在上行鏈路以及下行鏈路中的傳遞都包含著一階多普勒頻移和一些相對論頻移項(xiàng),綜合兩條鏈路的頻移效應(yīng)可構(gòu)造不含一階多普勒頻移的觀測量,便于對星、站進(jìn)行頻率比對以及對廣義相對論進(jìn)行驗(yàn)證.下面結(jié)合Λ型時(shí)頻傳遞鏈路給出頻移精度在10?18水平的相應(yīng)計(jì)算,并對Λ鏈路中所允許的信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔進(jìn)行考察.設(shè)在tB′時(shí)刻信號(hào)源發(fā)射信號(hào),在tA′時(shí)刻信號(hào)到達(dá)中繼衛(wèi)星并在tA時(shí)刻由轉(zhuǎn)發(fā)器再次發(fā)射信號(hào),tB時(shí)刻信號(hào)傳遞到信號(hào)源位置處.在GCRS下,用XA、vA、aA(XA′、vA′、aA′)等表示tA(tA′)時(shí)刻中繼衛(wèi)星的矢徑、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)量,用XB、vB、aB(XB′、vB′、aB′)等表示tB(tB′)時(shí)刻信號(hào)發(fā)射源的矢徑、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)量.假設(shè)下行鏈路中信號(hào)接收時(shí)刻發(fā)射源的運(yùn)動(dòng)量以及信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)刻中繼衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)量為已知(通過信號(hào)接收時(shí)刻轉(zhuǎn)發(fā)源的運(yùn)動(dòng)量可以得到信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)刻轉(zhuǎn)發(fā)源的運(yùn)動(dòng)量,后面會(huì)說明),記R=XB?XA,R=|R|以及N=R/R,那么對于R′=XA′?XB′,利用泰勒展開到三階項(xiàng)同時(shí)對時(shí)間進(jìn)行迭代可得到

其中

對于上行鏈路中發(fā)射(接收)時(shí)刻中繼衛(wèi)星(發(fā)射源)對應(yīng)的運(yùn)動(dòng)速度,按照與上式相類似的處理有

其中

而對于N′=R′/|R′|,有

由于存在轉(zhuǎn)發(fā)間隔,因此轉(zhuǎn)發(fā)過程需在考慮轉(zhuǎn)發(fā)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的前提下對信號(hào)的“收”和“發(fā)”兩個(gè)點(diǎn)事件進(jìn)行描述.此外,我們還考察了引力時(shí)延對于傳播路徑產(chǎn)生的影響.以上各個(gè)量都是計(jì)算到O(3)精度,代入到頻移方程中則可以對上行鏈路的頻移計(jì)算到O(4)精度.對于Λ鏈路,為了計(jì)算頻移,通常構(gòu)造如下觀測量[7]

式中νB/νA和νA′/νB′分別代表下行鏈路和上行鏈路信號(hào)收發(fā)的頻率比.通過在發(fā)射源處對νB/νB′進(jìn)行測量來間接得到νB/νA,而?AB則由理論計(jì)算給出.?AB在計(jì)算中一階多普勒項(xiàng)會(huì)得到抵消,有助于分離出相對論頻移項(xiàng),提高頻移測量精度,早期在GP-A實(shí)驗(yàn)中用于驗(yàn)證引力紅移.式中νA/νA′是由轉(zhuǎn)發(fā)過程中產(chǎn)生的收發(fā)信號(hào)頻移(儀器自身產(chǎn)生),于是可知,當(dāng)λ=νA/νA′ ?1～O(n),n>1,上式才可能用于消除鏈路中的一階多普勒效應(yīng)而又不引入新的一階項(xiàng)(即要求λ至少滿足10?10左右的量級(jí)).在下文的討論中,我們假定νA/νA′=1.

將(4)–(8)式代入(9)式,可以在10?18頻率精度下計(jì)算?AB.考慮到實(shí)際過程中tA?tA′很小(～ns),對于含??的項(xiàng)僅計(jì)算到O(3)項(xiàng)且保留到??的一次項(xiàng),另外根據(jù)精度需求,O(4)項(xiàng)中不再考慮星、站加速度以及引力勢變化等部分,有

其中?AB,c是僅與狹義相對論多普勒效應(yīng)相關(guān)的部分,對于地面-LEO,?AB,c3.3×10?10,對于地面-LEO,?AB,c9.3×10?11; ?AB,g是不考慮轉(zhuǎn)發(fā)間隔的情況下含有引力場貢獻(xiàn)的部分及其混合項(xiàng),對于地面-LEO,?AB,g= 4.6×10?11,對于MEO-GEO,?AB,g= 5.4×10?11; ?AB,i是含有轉(zhuǎn)發(fā)間隔貢獻(xiàn)的部分.對于上式的各部分所包含的Sagnac效應(yīng)部分,我們不另作單獨(dú)說明,記r ≡|X|,于是有rA=|XA|以及rB=|XB|,此處給出各部分具體形式:

其中l(wèi)B,M、lB,Q、lA,M和lA,Q分別對應(yīng)于(4)式中的lR,M、lR,Q、lE,M和lE,Q,

(12)式和(13)式中,在滿足給定精度條件下易得

其中

對于(11)?(13)式中tA時(shí)刻所對應(yīng)的中繼衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)狀態(tài),即式中的XA,vA,aA,下面在O(4)精度下給出相應(yīng)部分計(jì)算(這里主要考慮了Sagnac效應(yīng)),

其中, 有“ * ”標(biāo)記的量表示tB時(shí)刻(信號(hào)接收時(shí)刻)對應(yīng)中繼衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)相關(guān)量,R?=XB, 這些量是已知的,σ可以根據(jù)這些量直接進(jìn)行估計(jì)[17]. 當(dāng)考慮大氣時(shí)延等因素后, 就可以更精確地確定以上各量以及tA(不考慮衛(wèi)星運(yùn)動(dòng), 則因地球自轉(zhuǎn)帶來的引力場時(shí)變性要求δtA<0.1 s, 因潮汐作用帶來的引力場時(shí)變性要求δtA<1 s), 這里不做進(jìn)一步討論. 利用(9)式, 通過對發(fā)射源收發(fā)的頻率比νB/νB′進(jìn)行測量, 就可以在指定精度下得到頻移的值. 由于星-站鐘相對頻差(這里指)的不確定度主要來源于?AB, 我們可以從?AB(頻率)精確度的角度出發(fā), 對定軌精度以及轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔等量進(jìn)行約束, 使之滿足頻率不確定度在10?18的要求. 我們將速度和加速度按與方位向量垂直和平行的方向分解, 為便于給出約束, 這里只考慮到O(2)階, 且引力勢保留主要的部分, 于是有

其中

帶有上標(biāo)“⊥1”和“⊥2”的量和是當(dāng)我們指定兩個(gè)單位方向矢量P1、P2, 使得P1、P2與N兩兩正交時(shí), 矢量vA分別沿P1、P2的分量, 即按照同樣的方法我們給出式中和的定義. 其中關(guān)于衛(wèi)星速度的這兩個(gè)法向分量和, 從(14)式可以判斷其偏差與徑向分量偏差在同一量級(jí), 為便于計(jì)算我們總可以指定一種指向的選擇使得. 通過和可以對中繼衛(wèi)星徑向運(yùn)動(dòng)、法向運(yùn)動(dòng)、星站距離、轉(zhuǎn)發(fā)間隔偏差根據(jù)頻率精度要求δν <10?18做出約束, 詳見表3.

表3 在δν/ν <10?18條件下對于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)偏差、臺(tái)站運(yùn)動(dòng)偏差和轉(zhuǎn)發(fā)間隔偏差的約束(以LEO-地面站、GEO-MEO間時(shí)頻傳遞為例).表中給出的估計(jì)均假定所有事件發(fā)生在赤道面上,且中繼衛(wèi)星位于相對于發(fā)射源45?高度角的情況.在取得對的保守約束時(shí),假定了==0Table 3 Constraints on satellite movement deviation,station movement deviation,and transponding interval deviation in the condition of δν/ν <10?18 (in the cases of frequency transfer for LEO-ground and GEO-MEO).The estimations listed are given provided that all events are considered on the equatorial plane,and the relay satellite is assumed at an altitude of 45 degrees relative to the emission source.To conservatively estimate the constraint for ,we have supposed that ==0

表3 在δν/ν <10?18條件下對于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)偏差、臺(tái)站運(yùn)動(dòng)偏差和轉(zhuǎn)發(fā)間隔偏差的約束(以LEO-地面站、GEO-MEO間時(shí)頻傳遞為例).表中給出的估計(jì)均假定所有事件發(fā)生在赤道面上,且中繼衛(wèi)星位于相對于發(fā)射源45?高度角的情況.在取得對的保守約束時(shí),假定了==0Table 3 Constraints on satellite movement deviation,station movement deviation,and transponding interval deviation in the condition of δν/ν <10?18 (in the cases of frequency transfer for LEO-ground and GEO-MEO).The estimations listed are given provided that all events are considered on the equatorial plane,and the relay satellite is assumed at an altitude of 45 degrees relative to the emission source.To conservatively estimate the constraint for ,we have supposed that ==0

* The estimation is given by assuming tA ?tA′ =1 ns

constraint termsLEO-groundGEO-MEO δv∥A/(m·s?1)2×10?57×10?5 δR/m0.010.5 δ(tA ?tA′)/s1×10?112×10?10 δv⊥1A /(m·s?1)1×10?53×10?5 δv∥B/(m·s?1)2×10?57×10?5 δa∥A?/(m·s?2)0.60.6 δa∥B/(m·s?2)2×10?75×10?9

為了給出對轉(zhuǎn)發(fā)延遲的約束,這里假設(shè)了一種理想的情況,即在轉(zhuǎn)發(fā)過程中將衛(wèi)星看做一個(gè)質(zhì)點(diǎn),受到的作用主要來自地球引力,儀器穩(wěn)定性以及測量誤差等忽略不計(jì).在這樣的假設(shè)下,僅提取出與轉(zhuǎn)發(fā)間隔相關(guān)的項(xiàng)(將計(jì)算中與??無關(guān)的項(xiàng)略去),認(rèn)為轉(zhuǎn)發(fā)間隔引起的頻移主要是轉(zhuǎn)發(fā)間隔內(nèi)速度、加速度的變化引起的頻移,并將軌道運(yùn)動(dòng)近似為圓周運(yùn)動(dòng),根據(jù)(14)式有以下估計(jì)

其中,ωA、ωB分別是中繼衛(wèi)星和發(fā)射源在坐標(biāo)系中的角速度大小,令V <10?18可以得到關(guān)于轉(zhuǎn)發(fā)間隔的約束(這里按照表3中的計(jì)算條件): 對于地面-LEO,有tA?tA′1.3×10?6s; 對于GEO-MEO,有tA?tA′1.7×10?5s.需要說明的是,由于以上約束是在特定條件下給出的,而且是考慮每一部分單獨(dú)對頻移的影響滿足給定精度,所以要得到一般情況下對約束條件的保守估計(jì),各個(gè)指標(biāo)還要低1個(gè)量級(jí)左右.另一方面,Duchayne等[22]針對ACES項(xiàng)目中Λ構(gòu)型時(shí)間傳遞鏈路的需求對衛(wèi)星定軌精度和轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)延及抖動(dòng)等技術(shù)指標(biāo)確定了約束條件,該約束依據(jù)指定鐘差精度(<0.3 ps)和頻率精度(<10?16)給出,通過計(jì)算對衛(wèi)星位置不確定度提出的約束在米量級(jí),對衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)延及偏差提出的約束分別在10?6s和10?7s量級(jí),與本文完全由10?18頻率精度確定的約束條件相比較可以發(fā)現(xiàn),本文關(guān)于轉(zhuǎn)發(fā)間隔偏差的約束遠(yuǎn)遠(yuǎn)嚴(yán)格于依據(jù)鐘差精度<0.3 ps給出的約束.

表3中對于發(fā)射源以及轉(zhuǎn)發(fā)源加速度偏差的約束其實(shí)告訴了我們引力場模型以及加速度計(jì)應(yīng)該達(dá)到什么樣的精度要求,從數(shù)據(jù)上可以發(fā)現(xiàn)在指定頻率不確定度下對于發(fā)射源加速度偏差會(huì)有較強(qiáng)的限制,不過目前已用于地球重力場和海洋環(huán)流探測(GOCE)衛(wèi)星的靜電懸浮加速度計(jì)其測量頻帶內(nèi)的分辨率為2×10?12m·s?2·Hz?1/2[23],而美國國家航天局(NASA)和歐洲航天局提出的等效原理檢測衛(wèi)星(STEP)計(jì)劃中加速度計(jì)的設(shè)計(jì)精度為10?18g[24],其中,g為重力加速度,這將滿足本文中關(guān)于加速度測量的要求.需指出,關(guān)于(11)式涉及到的轉(zhuǎn)發(fā)源其加速度的一階、二階導(dǎo)數(shù),經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)其偏差值的約束較為寬松,因此bA和fA相關(guān)的項(xiàng)可忽略不計(jì); 關(guān)于發(fā)射源,對于地面-LEO的情況,需滿足δbB1×10?6m/s3,對于MEO-GEO的情況,要求δbB1×10?9m/s3.

3 總結(jié)與討論

由于將新一代原子鐘應(yīng)用于空間-地面時(shí)頻傳遞實(shí)驗(yàn)中,時(shí)鐘信號(hào)頻率不確定度預(yù)計(jì)達(dá)到10?17乃至更高,因此我們需要在這個(gè)精度之上構(gòu)建相應(yīng)的時(shí)頻傳遞模型,而這將有利于進(jìn)行超高精度時(shí)間頻率比對、地球遙感、大氣時(shí)延研究、基本常數(shù)時(shí)變特性研究以及廣義相對論驗(yàn)證等重要科學(xué)研究任務(wù),對于我國開展相關(guān)研究也具有一定參考價(jià)值.而要構(gòu)建這樣的高精度理論模型勢必要在廣義相對論框架下進(jìn)行考慮,基于這樣的原因,本文依據(jù)IAU于2000年制定的有關(guān)相對論天文參考系的決議,在GCRS下考察了地球質(zhì)量多極矩、自旋、日月潮汐勢、慣性勢、引力時(shí)延等因素在信號(hào)傳遞過程中對頻移的影響量級(jí),以頻率不確定度達(dá)到10?18為目標(biāo)對單向和Λ構(gòu)型鏈路的頻率涉及的相對論效應(yīng)進(jìn)行了分析,并且在地面-LEO和MEO-GEO兩個(gè)例子中依據(jù)指定頻率精度針對衛(wèi)星定軌精度、轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間間隔等技術(shù)指標(biāo)給出了約束條件.

與Linet和Teyssandier在2002年提出的關(guān)于ACES任務(wù)的處理模型相比較[8],本文提出的模型要求的頻移計(jì)算精度要高于ACES任務(wù)的要求,并且不是在軸對稱旋轉(zhuǎn)孤立體系下進(jìn)行的分析,而是依據(jù)IAU2000給出的相關(guān)決議考慮了更多的影響(如潮汐效應(yīng)、慣性項(xiàng)、非軸對稱體系下引力勢計(jì)算等),雖然該模型涉及到引力場的時(shí)變特性,但由于這部分對于引力延遲的影響足夠小,使得我們在應(yīng)用時(shí)間傳遞函數(shù)時(shí)可以近似視為穩(wěn)態(tài)場進(jìn)行處理; 此外,在考慮轉(zhuǎn)發(fā)間隔的條件下對于Λ鏈路也依據(jù)指定精度給出了相應(yīng)的處理方案.在應(yīng)用該理論模型的過程中也應(yīng)當(dāng)注意以下兩個(gè)方面: 一方面,在地面臺(tái)站與衛(wèi)星間時(shí)頻傳遞過程的處理中,由于該模型不涉及地球潮汐形變的相關(guān)考慮,因此不適用于地面臺(tái)站處引力勢的處理; 另一方面,對于信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)時(shí)間的約束本文采用了比較簡單的處理,對于實(shí)際問題應(yīng)根據(jù)具體情況進(jìn)行分析.

附錄

設(shè)T0時(shí)刻信號(hào)由X0處發(fā)出傳播到位于X的觀測者(接收信號(hào)的時(shí)刻為T),記r=為積分路徑,為由原點(diǎn)到光線路徑的垂徑矢量,則對于質(zhì)量多極矩、自轉(zhuǎn)、潮汐勢等因素構(gòu)成的切矢部分如下:

(1)地球質(zhì)量部分

(2)地球質(zhì)量四極矩部分

其中

而式中的Ijk為僅與傳播路徑相關(guān)的量(詳見文獻(xiàn)[17]),Mjk代表地球的質(zhì)量四極矩分量.

(3)地球自旋部分

其中SE是地球的角動(dòng)量矢量.

(4)潮汐項(xiàng)

這里僅考察的最低階的潮汐項(xiàng),其中MB和rBE分別是是外部天體B的質(zhì)量和它到地心的距離,yBE是由外部天體B的質(zhì)心指向地心的單位方向矢量.

(5)慣性項(xiàng)

其中,?iner描述了由相對論科氏力引起的GCRS相對于動(dòng)力學(xué)非旋轉(zhuǎn)的地心參考系的旋轉(zhuǎn).