陶印修 趙紅
【摘要】學生學習數(shù)學在一定程度上還是有難度的,就連馬云都如此。本文借助一去與一回又回到原點的思路來談小學、中學、大學的數(shù)學教學,相互啟發(fā),舉一反三,溫故而知新,以期達到學生感興趣、減輕學習難度的目的。
【關(guān)鍵詞】一去一回 回到原點
容易明白把去理解為正方向,把回理解為去的反(或逆)方向,一去與一回相互抵消后又回到原點。本文談的是初等數(shù)學中變量x(其實變量x也是函數(shù))的一去與一回又回到原點及高等數(shù)學中函數(shù)F(x)的一去與一回又回到原點兩種情形。
一、初等數(shù)學中變量x的一去與一回又回到原點
(一)乘法與除法中變量x又回到原點
例1 2x=y是x的一去為乘法運算,那x=y/2就是x的一回為除法運算。
由于x經(jīng)過乘法運算與除法運算后又回到原點,說明乘法運算與除法運算相互抵消,故把乘法運算叫正運算,把除法運算叫乘法的逆運算。
例1是小學數(shù)學,比較簡單,通過此來理解下面的兩個中學數(shù)學的例子。
(二)乘方與開方中變量又回到原點
由于x經(jīng)過乘方運算與開方運算后又回到原點,說明乘方運算與開方運算相互抵消,故把乘方運算叫正運算,把開方運算叫乘方的逆運算。
(三)指數(shù)與對數(shù)中變量x又回到原點
例3ax=y是x的一去為指數(shù)運算,那x=logay就是x的一回為對數(shù)運算。
由于x經(jīng)過指數(shù)運算與對數(shù)運算后又回到原點,說明指數(shù)運算與對數(shù)運算相互抵消,故把指數(shù)運算叫正運算,把對數(shù)運算叫指數(shù)的逆運算。
需要說明的是,xa是冪函數(shù),而ax是指數(shù)函數(shù),千萬不要搞混。
由于x經(jīng)過函數(shù)運算與反函數(shù)運算后又回到原點,說明函數(shù)運算與反函數(shù)運算相互抵消,故把函數(shù)運算叫正運算,把反函數(shù)運算叫函數(shù)的逆運算。
例4是抽象函數(shù)f(x)的正運算與抽象函數(shù)f-1(y)(習慣上把f-1(y)寫成f-1(x))的逆運算
以上4個例子不僅可以相互推導,而且其關(guān)鍵問題是,原來的x經(jīng)過正運算與其相應的逆運算兩種運算后x又回到原點,這樣的兩種運算就是互逆運算。
一中談到的一去就是已知x把y求出來,一中談到的一來就是已知y把x求出來。
由于F(x)經(jīng)過微分運算與積分運算后又回到原點,說明微分運算與積分運算相互抵消,故把微分運算叫正運算,把積分運算叫微分的逆運算。
例5是抽象函數(shù)F(x)的正運算與抽象函數(shù)f(x)的逆運算。若把例5具體化:當已知F(x)=sinx時,那正運算的結(jié)果就是f(x)=COSX;當已知f(x)=COSX時,那逆運算的結(jié)果就是F(x)=sinx。
二中談到的一去就是已知F(x)把f(x)求出來,二中談到的一來就是已知f(x)把F(x)求出來。