紀(jì) 瑋
(中國航發(fā)沈陽黎明航空發(fā)動機(jī)有限責(zé)任公司,遼寧沈陽 110043)
LQR(線性二次型調(diào)節(jié)器)控制具有很強(qiáng)的魯棒性,尤其具有無窮大的幅值裕度和大于60°的相位裕度,并且其穩(wěn)定裕度非常大,航空發(fā)動機(jī)科研人員對此控制結(jié)構(gòu)也產(chǎn)生強(qiáng)大興趣。各控制回路之間的耦合要求高,LQR 控制方法受到制約,故有的學(xué)者將其改進(jìn)為ALQR 方法。ALQR 方法不僅具有方法的穩(wěn)定裕度,而且由于將誤差增廣為狀態(tài)量,使其具有了魯棒跟蹤能力,同時在一定程度上解決了LQR 所不能解決的耦合問題。具體系統(tǒng)設(shè)計如下:
式中:x 為系統(tǒng)狀態(tài),y 為被控量,u 為控制量,A、B、C、D 為適維矩陣。
為了實(shí)現(xiàn)魯棒跟蹤的設(shè)計目標(biāo),對公式(1)進(jìn)行微分可得下式:
式中,指令r 為階躍信號,即r=a·1(t),其中a 為常量,則誤差e=r-y。
對公式(3),要使系統(tǒng)設(shè)計狀態(tài)穩(wěn)定,即狀態(tài)變量不隨時間而變化,要求狀態(tài)量為零,可消除公式(1)的穩(wěn)態(tài)誤差e,這就滿足了魯棒跟蹤的需求。得出控制系統(tǒng)框架(圖1)。
圖1 控制框
多變量魯棒控制系統(tǒng)中,H2/H∞控制在魯棒跟蹤和干擾抑制方面具有優(yōu)良的性能[1-2],對于控制器設(shè)計,除了要求穩(wěn)定性能,還要具有較快的響應(yīng)速度、較小的超調(diào)或者沒有超調(diào)、較強(qiáng)的抑制外界干擾能力,為此設(shè)計了多輸入多輸出控制系統(tǒng)
式中:x 為系統(tǒng)狀態(tài),y 為系統(tǒng)輸出,u 為控制量,w 為系統(tǒng)擾動,A、B、C、B1、D1為適維矩陣。公式中x、y、u 均應(yīng)理解成系統(tǒng)在平衡位置的偏差量,為簡化起見,本文中省略了符號Δ。
為了保證系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)良好,保持抑制度,對公式(4)進(jìn)行適當(dāng)變換,可得
對動態(tài)性能指標(biāo)進(jìn)行跟蹤,由于發(fā)動機(jī)控制系統(tǒng)要具有較快的響應(yīng)速度,則系統(tǒng)輸出也有較快的響應(yīng)速度,那么就要求系統(tǒng)具有較大的帶寬,這將會引起系統(tǒng)抑制干擾能力下降,所以在設(shè)計過程中,采用多目標(biāo)優(yōu)化求解,即將多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo),然后進(jìn)行加權(quán),求得
式中a、b 為加權(quán)系數(shù)。
按圖1 所示控制器結(jié)構(gòu)設(shè)計,采用控制方法,在給定加權(quán)矩陣Q、R 的條件下,求解的控制器滿足二次型性能指標(biāo)最小。
式中Q=QT≥0,R=RT>0。
由此可見,LQR 控制器的性能取決于設(shè)計過程中給定的Q、R矩陣,不同的Q、R 會求解出不同的狀態(tài)反饋增益矩陣進(jìn)而使得系統(tǒng)具有不同的性能。為此,可以將Q、R 矩陣參數(shù)作為被優(yōu)化量,使得系統(tǒng)具有期望的性能。
基礎(chǔ)微分進(jìn)化算法中,采用常值的交叉變量,需要在全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力中折中選擇。在此基礎(chǔ)上,本文采用線性變化的交叉變量,在尋優(yōu)的一開始采用較大的交叉變量,使尋優(yōu)速度較快,到優(yōu)化后期,采用較小的交叉變量,使算法具有較強(qiáng)的局部尋優(yōu)能力。
線性變化的交叉變量為:
式中:T 表示當(dāng)前代數(shù),Gmax表示最大迭代次數(shù),CR1表示最大交叉變量,CR2表示最小交叉變量。
當(dāng)最優(yōu)適應(yīng)度值保持長期不變的代數(shù)G 大于最大允許的代數(shù)G0時,適當(dāng)?shù)卦龃缶植拷徊娓怕剩瑪U(kuò)大尋優(yōu)范圍,促使算法向最優(yōu)解靠近,從而提高計算的收斂速度和精度。即當(dāng)G>G0時,則在線性變化的基礎(chǔ)上疊加局部增大。在當(dāng)前CR的基礎(chǔ)上擴(kuò)大0.5%,并且保持一定的代數(shù),同時重新統(tǒng)計適應(yīng)度不變的代數(shù),若適應(yīng)度得到改善,則從當(dāng)前代數(shù)繼續(xù)按線性變化,否則再次增大CR,但要保證CR<CR1,直至滿足迭代終值條件。
貪婪選擇時,不再通過單獨(dú)比較相應(yīng)父代和子代個體適應(yīng)度大小進(jìn)行選擇,而采用對父代和子代個體一起適應(yīng)度進(jìn)行排序的方式,按適應(yīng)度從大到小取NP個個體組成新一代種群。這樣能夠較好的保護(hù)在算法前期產(chǎn)生的優(yōu)秀個體,避免由于初期CR較大破壞最優(yōu)解集。因此,將這一改進(jìn)應(yīng)用在控制器參數(shù)優(yōu)化過程中,必然可以獲得性能更優(yōu)的控制系統(tǒng)。
設(shè)計過程中,將執(zhí)行機(jī)構(gòu)視為時間常數(shù)為0.1 s 的慣性環(huán)節(jié),將Q、R 均設(shè)為對角陣,則Q∈R9×9,R∈R3×3,對矩陣的對角元進(jìn)行尋優(yōu)。
優(yōu)化過程中分別選取種群規(guī)模為100、CR1為0.9、CR2為0.1、縮放因子F 為0.5,適應(yīng)度不變最大容忍代數(shù)為10,交叉變量增大代數(shù)選為5,進(jìn)化代數(shù)為200。所得的控制器為:
為了驗證所得控制器的控制效果,基于狀態(tài)變量模型開展仿真驗證,得到在線性系統(tǒng)中1%階躍的理想系統(tǒng)輸出跟蹤響應(yīng)曲線如圖2 所示。
圖2 線性系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線
本文研究了多變量航空發(fā)動機(jī)控制器設(shè)計,在增廣LQR 控制的基礎(chǔ)上,采用LQ/H∞控制方法,對控制器進(jìn)行設(shè)計,并提出一種改進(jìn)的微分進(jìn)化算法,對算法的交叉因子采用線性變化結(jié)合局部增大的措施,并對父代個體和子代個體進(jìn)行綜合,所有適應(yīng)度一起排序,確定較優(yōu)個體進(jìn)入下一代的種群,提高了算法的尋優(yōu)速度和尋優(yōu)精度。通過改進(jìn)微分進(jìn)化算法的方式,優(yōu)化控制器參數(shù),仿真結(jié)果表明控制系統(tǒng)具有良好的輸出跟蹤能力,在包線內(nèi)不同工作點(diǎn)表現(xiàn)出了良好的魯棒性。