宋國慶 戴 崢 蘇衛(wèi)民

（1.江蘇城市職業(yè)學(xué)院信息工程學(xué)院，徐州，221006；2.南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，南京，210094）

引 言

DOA估計(jì)是雷達(dá)、聲吶和通信系統(tǒng)的重要任務(wù)之一。很多高分辨的DOA估計(jì)算法被提出，比如最大似然算法[1]、MUSIC算法[2]和ESPRIT算法[3]。在這些DOA估計(jì)方法中，信號源被看作是點(diǎn)信號源。然而，由于多徑散射效應(yīng)，信號源發(fā)射的信號到達(dá)角度可能會(huì)在一定的空間范圍內(nèi)發(fā)生角度擴(kuò)展。在這種情況下，將信號源看作是分布式信號源則更加合理。分布式信號源可以分為相干分布式信號源和非相干分布式信號源[4-5]，本文中只考慮相干分布式信號源。

由于相干分布式信號源的未知參數(shù)包括：中心方位角、方位角擴(kuò)展參數(shù)、中心俯仰角以及俯仰角擴(kuò)展參數(shù)，DOA估計(jì)問題總是需要很高的計(jì)算復(fù)雜度。近年來，很多低計(jì)算復(fù)雜度的算法被提出。在文獻(xiàn)[6]中，參數(shù)估計(jì)中的四維搜索被替換成二維搜索，降低了估計(jì)器的復(fù)雜度，但是不同相干分布式信號源的角信號分布函數(shù)必須相同并且已知。在文獻(xiàn)[7]中，基于雙均勻圓陣，提出了一種連續(xù)一維搜索算法估計(jì)中心DOA。在文獻(xiàn)[8]中，利用均勻圓陣的對稱結(jié)構(gòu)，運(yùn)用廣義ESPRIT算法通過二維搜索估計(jì)中心DOA。在文獻(xiàn)[9]中，基于天線陣列的特殊結(jié)構(gòu)，采用陣列之間互相關(guān)算法對相干分布式信號數(shù)源的各項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。在文獻(xiàn)[10]中，利用信號源的一階近似，提出了一種新的分布式信號源波達(dá)估計(jì)方法，改善了波達(dá)方向估計(jì)的性能。然而，在文獻(xiàn)[6-10]沒有利用信號的特性。在陣列信號處理領(lǐng)域，非圓信號經(jīng)常被用來改善DOA估計(jì)的性能[11-18]。

本文的創(chuàng)新之處在于證明了任意中心對稱陣列下的角信號分布權(quán)重向量具有對稱的結(jié)構(gòu)?；谶@一證明，采用三維交叉陣列，運(yùn)用廣義ESPRIT算法，利用子陣間的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系估計(jì)中心DOA，同時(shí)在估計(jì)中引入了非圓信號，提高了相干分布式信號源DOA估計(jì)的性能，同時(shí)算法還具有無需多個(gè)相干分布式信號源的角信號分布函數(shù)相同或者已知的優(yōu)勢。

1 信號模型

考慮一個(gè)三維交叉陣，如圖1所示。陣列以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，由沿著x軸、y軸和z軸的3個(gè)均勻線性陣列組成。子陣Xa,Ya和Za分別由Mx,My和Mz個(gè)全向陣元組成。所有均勻線陣中的陣元之間的間距為d。假設(shè)有D個(gè)窄帶的、互不相干的相干分布式信號源入射到該陣列上。將三維交叉陣分為兩個(gè)子陣列，分別為子陣列Za和XYa，那么兩個(gè)子陣列的陣列接收信號可以分別表示為

圖1 三維交叉陣的陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Configuration of three-axis crossed array

式中：si(θ,γ,t;μi)為第i個(gè)分布式信號源的角信號密度函數(shù)；向量μi=(θi,σθi,γi,σγi)包含了參數(shù)：中心方位角、方位角擴(kuò)展參數(shù)、中心俯仰角、俯仰角擴(kuò)展參數(shù)；nz(t)和nxy(t)是零均值加性高斯白噪聲；az(θ,γ)和axy(θ,γ)分別為角度(θ,γ)處的兩個(gè)陣列流形向量

式中：ax(θ,γ)，ay(θ,γ)和az(θ,γ)分別為沿x軸、y軸和z軸的子陣列的陣列流形向量，可以表示為

式中：η=2πd/λ，λ為載波波長。

對于相干分布式信號源的二維DOA估計(jì)問題，角信號密度函數(shù)si(θ,γ,t;μi)可以寫為

式中：si(t)為相干分布式信號源的生成信號，ρi(θ,γ;μi)為角信號分布函數(shù)。此時(shí)相干分布式信號源的廣義陣列流形向量可以表示為

在小角度擴(kuò)展下，式(5)可以寫為

式中：?表示Hadamard乘積，gz(μi)和gxy(μi)分別為角信號分布權(quán)重向量。那么，式(1)中的觀測向量可以寫為

式中：s(t)=[s1(t),s2(t),…,sD(t)]Τ為D×1維的信號向量；Bz(μ)和Bxy(μ)為廣義陣列流形矩陣。

在本文中，考慮具有最大非圓率的非圓信號，那么信號向量s(t)可以表示為[13-14]

式中：s0(t)=[s01(t),s02(t),…,s0D(t)]由實(shí)信號組成；Φ1/2是包含每個(gè)信號的非圓相位φi的對角矩陣，即有

當(dāng)非圓信號入射到陣列上時(shí)，為了充分利用信號的非圓特性，陣列觀測向量及其共軛將合并來擴(kuò)展陣列的輸出信號，擴(kuò)展后的陣列輸出信號可以分別表示為

2 算法描述

本節(jié)將分3步描述所提算法：（1）證明中心對稱陣列的相干分布式信號源的角信號分布權(quán)重向量具有對稱結(jié)構(gòu)；（2）描述中心俯仰角的估計(jì)過程；（3）描述中心方位角的估計(jì)過程。

首先證明在中心對稱陣列中，相干分布式信號源的角信號分布權(quán)重向量具有對稱結(jié)構(gòu)。考慮以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，由M個(gè)相同的天線單位組成的中心對稱陣列，第m個(gè)陣元的位置為(xm,ym,zm)。因此，理想情況下點(diǎn)信號源的陣列流形向量可以表示為

對于小角度擴(kuò)展，基于泰勒級數(shù)展開[19]，b(μi)中的第m個(gè)元素可以寫為

因此，角信號分布權(quán)重向量可以寫為

對于中心對稱陣列，有 (xm,ym,zm)=-(xm+M/2,ym+M/2,zm+M/2)，因此?m=-?m+M/2。 由于是單峰對稱函數(shù)，即有

由于子陣列Za和XYa是中心對稱陣列，因而

由式(15)可以證明：對于中心對稱陣列，相干分布式信號源的角信號分布權(quán)重向量具有對稱的結(jié)構(gòu)。

2.1 中心俯仰角估計(jì)

在子陣Za中，廣義陣列流形向量擴(kuò)展為

定義2Mz×2Mz維的選擇矩陣H為

式中：ΠMz是Mz×Mz維的置換矩陣，0Mz為全零矩陣?；谑?16)中g(shù)z(u)的對稱特性，存在如下的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系

式中

定義復(fù)變量k=ejηcosγ，那么Ψ(γ)可以寫為

假設(shè)Us是信號子空間矩陣，對應(yīng)了的D個(gè)最大的特征值。當(dāng)Rs=E{s(t)sΗ(t)}滿秩時(shí)，Us的列張成的空間和向量V=[v(μ1,φ1),…,vD(μD,φD)]張成的空間是同一空間。此時(shí)，存在一個(gè)唯一的D×D維的非奇異矩陣，使得Us=VT。根據(jù)廣義ESPRIT算法[20]，引入矩陣Fz(k)，有

因此，當(dāng)Ψ(ki)=Ψ(k)時(shí)，F(xiàn)z(k)的第i列是零向量。通過求解k的值可以估計(jì)出中心俯仰角，即有

中心俯仰角的估計(jì)值可以表示為

值得注意的是，只需要得到k的D個(gè)值，但是該方程可以求解得到超過2D個(gè)值。使用單位圓內(nèi)的根，并選擇最靠近單位圓的D個(gè)根作為DOA估計(jì)對應(yīng)的根。

2.2 中心方位角估計(jì)

在子陣XYa中，廣義陣列流形向量可以擴(kuò)展為

定義4Mz×4Mz維的選擇矩陣為

基于式(16)中g(shù)xy(μi)的對稱特性，有如下的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系

式中

相似地，定義U′s為信號子空間矩陣，那么存在唯一的D×D維的非奇異矩陣T′使得U′s=WT′。根據(jù)廣義ESPRIT算法[15]，引入矩陣Fxy(θ,γ)，有

因此，當(dāng)Γ(θi,γi)=Γ(θ,γ)時(shí)，矩陣Fxy(θ,γ)的第i列是一個(gè)零向量。利用先前的中心俯仰角估計(jì)值，可以通過搜索如下的譜函數(shù)估計(jì)中心方位角，有

值得注意的是，每一個(gè)已經(jīng)估計(jì)出的中心俯仰角都對應(yīng)這樣一個(gè)方程。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

本節(jié)將所提算法與連續(xù)一維搜索（Successive one-dimensional search,SOS）算法[7]的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行比較。假設(shè)陣列陣元數(shù)為M，接收信號的快拍數(shù)為L，相干分布式信號源的個(gè)數(shù)為D，每一維的譜搜索點(diǎn)數(shù)為N。此時(shí)，所提算法的運(yùn)算量體現(xiàn)在矩陣運(yùn)算和空間譜搜索上，其計(jì)算復(fù)雜度可以表示為

SOS算法的計(jì)算復(fù)雜度為

當(dāng)譜搜索點(diǎn)數(shù)N比陣列陣元數(shù)M和信號源個(gè)數(shù)D大得多時(shí)，有

因此，所提算法的復(fù)雜度要略低于SOS算法。

在以下每個(gè)實(shí)驗(yàn)中，噪聲是零均值高斯白噪聲，仿真所用的非圓信號是BPSK信號，非圓率是隨機(jī)的?？炫臄?shù)為200，搜索步進(jìn)為0.01°。三維交叉陣列一共由36個(gè)全向陣元組成，每一個(gè)子陣有12個(gè)陣元。相鄰陣元之間的間距為0.5λ。兩個(gè)相干分布式信號源的參數(shù)為μ1=(30°,3°,20°,5°)和μ2=(60°,4°,70°,4°)。在實(shí)驗(yàn)中，均方根誤差定義為。仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameter

在第1個(gè)實(shí)驗(yàn)中，驗(yàn)證所提算法是否不依賴于角分布函數(shù)。仿真了3種情形，兩個(gè)相干分布式信號源的角信號分布函數(shù)都是均勻分布、都是高斯分布以及一個(gè)是高斯分布、一個(gè)是均勻分布的情況。在500次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)后，中心DOA估計(jì)值的RMSE隨信噪比的變化曲線如圖2所示，從圖中可以看出，所有情況均有良好的估計(jì)性能。

圖2 中心DOA估計(jì)值的RMSE隨SNR的變化曲線Fig.2 RMSE curves of central DOA estimates with SNR

在第2個(gè)實(shí)驗(yàn)中，選擇SOS算法[7]與所提算法進(jìn)行比較。SOS算法作為經(jīng)典的相干分布式信號源二維中心DOA估計(jì)算法，首先利用兩個(gè)子陣間的旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系估計(jì)出分布式信號源的中心俯仰角，然后利用廣義陣列流形向量的結(jié)構(gòu)特性，針對估計(jì)出的不同中心俯仰角，通過連續(xù)的一維搜索估計(jì)出對應(yīng)的中心方位角。相比于大部分的二維譜搜索算法[6,8]，SOS算法在具有更低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)，保證了算法的估計(jì)精度。

對于SOS算法，需要利用雙均勻圓陣。為了進(jìn)行合理的比較，雙均勻圓陣共由36個(gè)陣元組成，每一個(gè)圓陣具有18個(gè)陣元，陣列結(jié)構(gòu)如圖3所示。兩個(gè)陣列之間的垂直間距為0.5λ，圓陣的半徑為λ/(4sin(π/18))，因此子陣內(nèi)陣元間的間距為0.5λ。在500次Monte-Carlo實(shí)驗(yàn)后，中心DOA估計(jì)值的RMSE隨信噪比的變化曲線如圖4所示，可以看出所提算法的估計(jì)精度相比SOS算法有更大的優(yōu)勢。雙均勻圓陣和三維交叉陣都屬于三維空間陣列，本文中基于三維空間陣列的算法在計(jì)算復(fù)雜度和估計(jì)精度上都比文獻(xiàn)[7]中的SOS算法略有優(yōu)勢，為相干分布式信號源的中心DOA估計(jì)提供了更多的的陣列選擇。非圓信號引入，使得算法可以同時(shí)利用E{ss?}和E{s2}，提高了信息的利用率，因此性能得到了提升。

從圖4中可以看出信號源2的估計(jì)誤差要小于信號源1，估計(jì)誤差通常會(huì)與克拉美-羅界進(jìn)行比較，因此產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因類似于計(jì)算不同信號源角度估計(jì)的克拉美-羅界，估計(jì)誤差和克拉美-羅界隨信噪比的變化曲線都與信號源的實(shí)際方位有關(guān)。

4 結(jié)束語

圖3 雙均勻圓陣的陣列結(jié)構(gòu)Fig.3 Configuration of double uniform circular arrays

圖4 相干分布式信號源的中心DOA估計(jì)性能比較Fig.4 Central DOA estimation performance comparison of CD source

本文借助非圓信號，提出了一種新的方法來估計(jì)相干分布式信號源的中心DOA。算法采用了一個(gè)三維交叉陣列，將該陣列分為兩個(gè)子陣列。當(dāng)引入非圓信號后，陣列接收信號被擴(kuò)展?；趶V義ESPRIT算法，本文利用求根的方法估計(jì)出中心俯仰角，然后通過多次一維搜索估計(jì)中心方位角。所提算法的顯著優(yōu)勢是非圓信號帶來的估計(jì)精度優(yōu)勢。此外，所提算法可以應(yīng)用于相干分布式信號源具有不同角信號分布函數(shù)的情況。