張培鈺，劉茂省

(中北大學(xué) 理學(xué)院， 太原 030051)

媒體報(bào)道是一種有效控制傳染病傳播的途徑，疾控中心將竭力阻止疾病的傳播，盡快告訴人們適當(dāng)?shù)念A(yù)防知識(shí)，有利于大眾積極預(yù)防疾病，不僅可以影響個(gè)人對(duì)疾病的行為，而且可以采取恰當(dāng)?shù)念A(yù)防措施，如社會(huì)疏遠(yuǎn)、戴防護(hù)口罩等。與此同時(shí)，任何傳染病的流行都會(huì)依賴(lài)人群中容易感染的個(gè)體，疾病信息傳播形成的意識(shí)活動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致疾病傳播的性態(tài)發(fā)生改變。作為意識(shí)傳播，人們對(duì)它作出反應(yīng)，以至于改變他們的意識(shí)，從而通過(guò)改變他們的易感性來(lái)減小被感染的機(jī)會(huì)?；趥魅静⌒畔鞑パ杆俚默F(xiàn)狀和信息傳播對(duì)傳染病預(yù)防的影響，可知建立含有信息傳播因素的模型是非常有必要的。綜上，更現(xiàn)實(shí)的方法是考慮媒體報(bào)道和疾病信息意識(shí)的相互作用。為了從數(shù)學(xué)上描述這種情況，文獻(xiàn)[1-2]建立了研究信息傳播對(duì)傳染病傳播的影響。

近年來(lái)，已經(jīng)有很多傳染病模型描述環(huán)境噪聲對(duì)傳染病動(dòng)態(tài)的影響[3-5]，如氣候、衛(wèi)生習(xí)慣等都會(huì)引起環(huán)境波動(dòng)，這些因素可能會(huì)影響自然出生率、自然死亡率等。文獻(xiàn)[6]對(duì)這類(lèi)問(wèn)題展開(kāi)了研究。對(duì)于人與人之間的傳染病而言，由于每個(gè)人的活動(dòng)范圍隨時(shí)發(fā)生變化，人際交往接觸也不可預(yù)測(cè)，所以本文考慮在接觸率上加隨機(jī)擾動(dòng)具有現(xiàn)實(shí)意義。本文首先基于確定性模型建立了隨機(jī)性模型；其次，運(yùn)用文獻(xiàn)[7-9]中的相關(guān)知識(shí)對(duì)模型的正解存在唯一性及滅絕性進(jìn)行了分析；最后，用數(shù)值模擬驗(yàn)證這些結(jié)果的正確性。

1 模型的建立

1.1 確定性模型的建立

由于媒體對(duì)疾病進(jìn)行報(bào)道，易感者對(duì)疾病產(chǎn)生預(yù)防的意識(shí)，從而減少與感染者的直接接觸形成新的一類(lèi)——有疾病信息意識(shí)的易感者。因此，整個(gè)人群可以分為3類(lèi)：無(wú)疾病信息意識(shí)的易感者、有疾病信息意識(shí)的易感者、感染者，分別用X(t),Xm(t),Y(t)表示t時(shí)刻其占總?cè)藬?shù)的比例。M(t)表示t時(shí)刻關(guān)于疾病形成的意識(shí)活動(dòng)的累積密度，且與感染者的人數(shù)成比例，是一個(gè)隨時(shí)間變化的函數(shù)。已知在文獻(xiàn)[2]中建立了含有時(shí)滯項(xiàng)λX(t)M(t-τ)的傳染病模型，因此令τ=0，建立不含時(shí)滯的模型，可得系統(tǒng)(1)：

(1)

其中，假設(shè)b是所考慮地區(qū)的易感者的移民率，疾病只有通過(guò)易感者與感染者的直接接觸才能傳播。β是無(wú)意識(shí)的易感者與感染者的接觸率，d是自然死亡率，μ是媒體的執(zhí)行率，μ0為媒體的耗散率，m0為爆發(fā)疾病的其他地區(qū)的信息傳播對(duì)本地區(qū)的影響，λ是指意識(shí)在無(wú)意識(shí)的易感者中的傳播率，λ0指有意識(shí)的易感者轉(zhuǎn)變成無(wú)意識(shí)的易感者的死亡率，ν指感染者的恢復(fù)率，q指進(jìn)一步假設(shè)恢復(fù)為有意識(shí)的易感者的比例。有X(0)=X0>0,Xm(0)=Xm0≥0,Y(0)=Y0>0,M(0)=M0≥m0模型里的所有參數(shù)為正數(shù)。

模型的吸引域?yàn)椋?/p>

1.2 隨機(jī)性模型的建立

在現(xiàn)實(shí)社會(huì)中，媒體報(bào)道的傳染病模型會(huì)受到環(huán)境噪聲的影響，使用隨機(jī)模型可以更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)系統(tǒng)將來(lái)的動(dòng)力學(xué)行為。因此，本文假設(shè)接觸率β和傳播率λ會(huì)受到隨機(jī)波動(dòng)的影響，即β→β+σ1dB1,λ→λ+σ2dB2，假設(shè)恢復(fù)者恢復(fù)為易感人群，X表示易感人群，Y表示感染人群，Xm表示有意識(shí)人群，令m0=0，B(t)是帶有B(0)=0的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，σ2>0表示白噪聲的密度。媒體報(bào)道影響的隨機(jī)傳染病模型可以表示如下，即系統(tǒng)(1)可簡(jiǎn)化為系統(tǒng)(2)：

(2)

2 正解的存在唯一性

為了研究傳染病模型的動(dòng)力學(xué)行為，首先需要注意解是否為全局正解。接下來(lái)證明全局正解的存在唯一性，這是探究模型長(zhǎng)期行為的先決條件。系統(tǒng)(2)的系數(shù)滿(mǎn)足局部Lipschitz連續(xù)條件，但沒(méi)有滿(mǎn)足線性增長(zhǎng)條件，因而系統(tǒng)(2)的解有可能在有限時(shí)間內(nèi)爆發(fā)。本節(jié)中，我們用Lyapunov分析方法證明系統(tǒng)的解是全局正解。

證明由于系統(tǒng)(2)的系數(shù)滿(mǎn)足局部Lipschitz條件，因此對(duì)任意給定的初值(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))，在t∈[0,τe]時(shí)，有唯一的局部解(X(t),Xm(t),Y(t),M(t))，這里τe是爆發(fā)時(shí)刻。要證明(X(t),Xm(t),Y(t),M(t))是全局解，需證明τe=∞。令ε0>0,使得初值(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))>ε0,對(duì)于任意的ε≤ε0,我們定義一個(gè)停止時(shí)刻：

τε=inf{t∈[0,τe]:X(t)≤ε或Xm(t)≤ε或Y(t)≤ε或M(t)≤ε}

對(duì)上述式子兩邊積分，可以得到：

EV1(X(t∧τε))≤V1(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))+K(t∧τε)≤V1(X(0),Xm(0),Y(0),M(0))+Kt

另一方面，由V1(X(t∧τε))>0可以推出：

EV1(X(t∧τε))=E?χ(τε≤t)V1(X(t∧τε))」+E?χ(τε>t)V1(X(t∧τε))」≥E?χ(τε≤t)V1(t∧τε)」

(3)

(4)

結(jié)合式(3)(4)，對(duì)所有的t≥0有：

3 疾病的滅絕性

定理3.1如果R0<1,(Xm(t),Y(t),M(t))幾乎處處收斂(0,0,0)。

證明令(Xm(0),Y(0),M(0))∈Ω,因?yàn)镽0<1,令η>0使得

設(shè)V2(t)=ln(Y(t)+Xm(t)+ηM(t)),根據(jù)多維It公式，可得：

對(duì)上述式子兩邊求積分可得：

ln(Y(t)+Xm(t)+M(t))≤ln(Y(0)+Xm(0)+ηM(0))-pt+

引理2(非負(fù)半鞅收斂定理)[11]設(shè)X(t),A(t),B(t)均為實(shí)值連續(xù)適應(yīng)過(guò)程，N(t)是一個(gè)實(shí)值連續(xù)局部鞅，A(0)=B(0)=N(0)。ξ是一個(gè)非負(fù)可測(cè)的隨機(jī)變量，定義

X(t)=ξ+A(t)-B(t)+N(t)

也就是說(shuō)，隨機(jī)過(guò)程X(t),B(t),N(t)收斂于有限隨機(jī)變量。

兩邊同時(shí)積分可得：

由定理3.1可得：

由引理2可得：

(5)

由定理3.1可得：

(6)

由式(5)和(6)可得：

(7)

證明利用It公式得出，

左右兩端從0到t積分可得，

4 數(shù)值模擬和討論

本節(jié)利用數(shù)值模擬的方法分析隨機(jī)模型(2)無(wú)病平衡點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。圖1～4是當(dāng)R0<1時(shí)隨機(jī)性模型與確定性模型解的對(duì)比圖，可以看出在噪聲強(qiáng)度比較小時(shí)，系統(tǒng)(2)的解在其確定性模型的無(wú)病平衡點(diǎn)E0附近隨機(jī)波動(dòng)。

本文主要分析了媒體報(bào)道影響下的傳染病模型的隨機(jī)滅絕性，通過(guò)Lyapunov分析方法和It公式證明了模型存在唯一的全局正解，接著運(yùn)用非負(fù)半鞅收斂定理，證明了當(dāng)R0<1時(shí)，系統(tǒng)幾乎處處收斂，并且給出了隨機(jī)基本再生數(shù)和疾病滅絕的關(guān)系。通過(guò)數(shù)值模擬得知：當(dāng)噪聲強(qiáng)度小時(shí)，基本可以忽略噪聲的影響，確定性模型和隨機(jī)性模型差別不大。

圖1 無(wú)疾病信息意識(shí)的易感者

圖3 感染者

圖中所取參數(shù)b=0.5，β=0.002，μ=0.005，d=0.06,σ1=0.01,σ2=0.03。