顏宗卓,陶濤,侯瑞生,3,杜宏洋,梅雪松

(1.西安交通大學(xué)機械制造與系統(tǒng)工程國家重點實驗室,710049,西安;2.西安交通大學(xué)機械工程學(xué)院,710049,西安;3.河北工程大學(xué)機械學(xué)院,056038,河北邯鄲)

在高速高精度機械加工中,機床熱誤差已經(jīng)占到總誤差的40%～70%[1],主軸系統(tǒng)作為機床主要熱源之一[2],其熱特性一直受到相關(guān)學(xué)者的重視。在現(xiàn)有機床中,廣泛應(yīng)用的電主軸系統(tǒng)存在發(fā)熱量大、熱變形規(guī)律復(fù)雜等問題,其熱特性的建模工作對提高整個機床精度有重要意義。

目前,機床主軸系統(tǒng)的熱特性建模方法與機床熱特性建模方法基本一致,主要有理論熱特性建模和經(jīng)驗熱特性建模兩種[3]。國內(nèi)外學(xué)者在此方面進行了大量的研究,例如:Chen等通過確定主軸功率、對流換熱系數(shù)與軸承油膜的影響,建立了立式車床的主軸熱仿真模型[4];Yang等以一維桿為例對熱特性的偽滯后現(xiàn)象進行了研究,建立了熱誤差的動態(tài)OE模型[5];楊建國等對主軸熱特性偽滯后現(xiàn)象進行了研究,在實驗與仿真中確定了建模溫度測點位置[6];仇健等提出了減小主軸熱誤差的熱源分布控制法、熱平衡法和誤差補償法3種措施[7];Huang等根據(jù)晶體的熱膨脹理論,建立了一維桿拉伸與彎曲的熱變形模型[8];文獻[9]通過主軸溫度變化規(guī)律確定主軸箱的代表溫度,建立了主軸開關(guān)機階段的縱向伸長熱誤差模型;文獻[10]提出一種動態(tài)線性化的建模方法,建立歷史溫度數(shù)據(jù)驅(qū)動的熱誤差模型,并根據(jù)實測溫度拐點和變形拐點的時間差確定采樣計算間隔;施虎等通過有限元仿真確定電主軸的溫度變形敏感區(qū)域,篩選出溫度變形敏感點,建立電主軸熱誤差模型[11];Tan等運用傅里葉合成、時間序列分析和牛頓冷卻定律相結(jié)合的方法,建立了環(huán)境溫度與大型機床熱誤差之間的分析模型[12];代貴松等以自然指數(shù)為基本形式,結(jié)合熱平衡時間與穩(wěn)態(tài)誤差建立了電主軸的誤差模型[13];曹永潔等運用主因素和互不相關(guān)因素策略進行了主軸建模溫度點的選取[14];林偉青等提出了基于最小二乘支持向量機進行數(shù)控機床熱誤差建模預(yù)測方法[15];苗恩銘對多種機床熱誤差模型的穩(wěn)健性進行了分析,并證明了利用最小二乘支持向量建模具有較好的穩(wěn)健性[16];Liu建立了徑向漂移與溫度之間的關(guān)系模型[17];孫志超等針對車床主軸和進給軸耦合熱誤差進行分析,用模糊聚類選擇了建模溫度點[18];Hou等對包括主軸在內(nèi)的多個部件的物理特性進行分析,確立了建模溫度點,并使用多目標(biāo)遺傳算法對模型進行了優(yōu)化[19]。

目前,電主軸系統(tǒng)熱特性建模難點是在開機初期與升降溫拐點處等非熱平衡階段出現(xiàn)的偽滯后與非線性等問題[5-6]。上述研究一類通過理論與有限元分析獲得溫度場和熱變形規(guī)律,通過敏感區(qū)域選取等方法建立熱特性模型;另一類通過廣泛布置溫度測點,選取非線性影響最小溫度點進行建模。以上兩種研究方法提供了溫度敏感點建?；舅悸?但電主軸系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,邊界條件多變,有限元與理論分析難以獲得準(zhǔn)確且實用性強的模型,而溫度測點布置又受到機床結(jié)構(gòu)與運動關(guān)系的限制。

本文提出了一種卷積建模方法,通過熱源溫度變化量與響應(yīng)函數(shù)的卷積,近似描述電主軸系統(tǒng)各部分溫度值,并通過模型系數(shù)優(yōu)化,進行建模溫度獲取,以此為基礎(chǔ)建立了熱誤差補償模型。此方法降低了對傳感器位置的要求,并提高了非熱平衡階段的建模精度。

1 電主軸熱特性

電主軸系統(tǒng)熱特性的一種研究方法是,通過分析一維桿在單端恒定熱源加熱情況下的微分方程,研究其熱特性變化規(guī)律,并應(yīng)用在主軸系統(tǒng)熱伸長的建模中。一維桿模型如圖1所示,左邊為單端恒定熱源,此情況下一維桿的導(dǎo)熱方程表示為[5]

(1)

式中:λ是桿的熱導(dǎo)率;Ac是桿橫截面面積;T是桿溫度;ρ是桿密度;c是比熱容;h1是圓柱面對流換熱系數(shù);L是桿圓周長度。

圖1 一維桿模型簡化圖

實際計算時忽略了圓柱面的對流換熱,因此最終x1和x2關(guān)系為

T(x2,t)=α(x1,x2)T(x1,t-φ(x1,x2))

(2)

式中:α(x1,x2)=exp(-β(x2-x1))表示的是x1到x2溫度幅值的衰減程度;φ(x1,x2)=β(x2-x1)/ω表示溫度從x1到x2的傳播時間延時。

此種簡化方法忽略了熱源隨時間的變化和圓柱表面的散熱,最終結(jié)果將不同點的溫度關(guān)系描述為幅值變化和時間滯后。

另一種研究方法是,在研究主軸的軸向膨脹時,將主軸視為一個整體來建立整體導(dǎo)熱方程[9]

(3)

Qout=TmSa

(4)

式中:Qin表示軸承生熱量,在轉(zhuǎn)速恒定的情況下認(rèn)為是一個隨時間不變的常量;Qout表示向外界的散熱量;Tm是主軸整體溫度;S是主軸散熱面積;a是熱擴散系數(shù);t為時間;m為質(zhì)量。修正后的主軸整體升降溫公式為

(5)

(6)

式中:Tup為升溫整體溫度;Tdn為降溫整體溫度,TE為環(huán)境溫度;B取決于初始條件,pup1和pup2為升溫修正系數(shù);pdn1和pdn2為降溫修正系數(shù)。式(6)借助自然指數(shù)形式對主軸整體溫升做了預(yù)測。

上述兩種方法均在主軸熱伸長模型中得到應(yīng)用,并取得了良好的效果。在實際運行中,電主軸在圓柱側(cè)面增加了散熱肋板等結(jié)構(gòu),并采取強制對流等冷卻措施,散熱效率比自然對流大大增強,影響了主軸內(nèi)外溫度梯度,對徑向(如y方向)熱誤差變化造成很大影響。因此,電主軸圓柱側(cè)面對流換熱的影響應(yīng)當(dāng)考慮,需要對上述模型進行優(yōu)化。

2 卷積建模方法的提出

2.1 機床電主軸傳熱模型簡化

本文的研究對象是海德曼公司T65型電主軸系統(tǒng),包括電機系統(tǒng)和外部箱體部分,轉(zhuǎn)速區(qū)間為0～5 000 r/min,正常運行功率為22～26 kW。主軸的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖2所示,前部采用圓柱滾子軸承和推力角接觸球軸承,主軸后端采用圓柱滾子軸承,電機部分在主軸的中后部,周圍是冷卻液流動循環(huán)的水槽。外置冷卻系統(tǒng)提供電主軸系統(tǒng)圓柱側(cè)面的強制空冷,中部冷卻泵提供內(nèi)部電機的循環(huán)冷卻。電主軸系統(tǒng)外觀如圖3所示,圓柱側(cè)面設(shè)計有散熱肋板,前后端面沒有設(shè)計冷卻措施。電主軸系統(tǒng)兩端面面積共0.28 m2,側(cè)面積約為1.15 m2,在同種條件下,空氣強制對流換熱系數(shù)一般為自然對流的5倍以上,假設(shè)主軸表面溫度一致,在冷卻系統(tǒng)開啟時,主軸端面換熱效果僅為柱面的1/20或更小。

圖2 電主軸內(nèi)部結(jié)構(gòu)

圖3 電主軸系統(tǒng)外觀

因此,本文將電主軸系統(tǒng)(包括箱體的圓柱部分)簡化為一個空心圓柱,假設(shè)軸承和電機熱量沿圓柱內(nèi)表面均勻分布,忽略端面的換熱并視為絕熱狀態(tài),并且相同半徑圓柱面的溫度相等,用于傳熱規(guī)律分析。簡化結(jié)果如圖4所示。

圖4 電主軸簡化模型

2.2 溫度卷積建模原理

在圖4中的截面截取AB段進行傳熱分析。由于相同半徑圓柱面溫度相等,因此AB段各點垂直半徑方向無熱量傳遞,視為絕熱狀態(tài),與圖1一維桿狀態(tài)類似。假設(shè)AB段由n個連續(xù)的微元組成,如圖5所示,且在開始時整體與環(huán)境為均勻溫度T0。

圖5 AB段微元簡化圖

以a、b和c這3個微元為代表分析傳熱規(guī)律,假設(shè)在開機后的某一時刻,微元a溫度突然上升為Ta,u,相鄰微元b此時導(dǎo)熱方程式為

(7)

式中:Tb為微元b的溫度,Tc為微元c的溫度,Tc隨Tb的變化而變化;λ為導(dǎo)熱系數(shù);δ為微元的長度。此時根據(jù)文獻[5]結(jié)論,把微元a視為熱源,忽略時間延時的影響,將微元b和微元c溫度簡化為純比例關(guān)系,可認(rèn)為下式近似成立

Tb-Tc=C1(Tb-T0)

(8)

(9)

最終,求得Tb的表達式為

(10)

其中

假設(shè)T0保持不變,并將Ta和Tb初始值溫度T0代入式(10),求得Tb的表達式為

(11)

式中:ΔTa為Ta,u-T0。式(11)表示a作為熱源時,b的溫度Tb與a溫度變化量ΔTa的響應(yīng)關(guān)系。

假設(shè)在tk-1時刻之前,電主軸AB段整體溫度不變,在tk時刻,微元a的溫度Ta上升ΔTa,k,在tk+1時刻,Ta的溫度上升ΔTa,k+1,則tk+2時刻ΔTa,k和ΔTa,k+1對b的溫度影響分別為

(12)

(13)

(14)

g(t)=1-exp(-εt)

(15)

假設(shè)t0時刻開始,微元a溫度在不斷變化,在tk時刻,溫度Ta,k可看作是t1～tk-1每個時刻溫度階躍變化量ΔTa,i的疊加,其中i=1,2…,k-1。ΔTa,i對Tb在tk時刻的響應(yīng)使用式(14)和(15)的乘積計算。溫度Tb在tk時刻的值為t1～tk-1時刻的ΔTa,i在tk時刻對Tb響應(yīng)結(jié)果的疊加,是Ta在t1～tk-1時刻的ΔTa,i代入式(14)計算終值與式(15)的卷積,公式如下

(16)

但是,式(16)只能推測a和b相鄰微元的溫度,因此必須提出表示Tb變化的方法。

本文提出以下設(shè)想:存在系數(shù)u,使得電主軸熱源溫度Ts與Ta、Tb存在如下的近似關(guān)系

u(Ts-Tb)=Ta-Tb

(17)

此時式(9)可替換為下式,建立近似導(dǎo)熱關(guān)系式

(18)

為驗證式(17)的假設(shè)在電主軸中各個方向是否成立,設(shè)計如下實驗:在主軸側(cè)面布置5個溫度傳感器Te1～Te5,Te1布置在靠近軸承處,代表軸承熱源的溫度,由于軸承是旋轉(zhuǎn)零部件,認(rèn)為內(nèi)圈溫度近似相等。由于電主軸系統(tǒng)邊界處溫度變化規(guī)律與熱源的差異較大[5],因此布置Te2和Te3兩個緊鄰測溫點在正下方靠近邊界處,Te4和Te5兩個緊鄰測溫點在斜下方靠近邊界處。Te2和Te4代表圖5中微元a,Te3和Te5代表微元b。各傳感器位置如圖6所示。

電主軸首先以2 000 r/min運行360 min,此時表面為強制對流換熱,然后進入降溫狀態(tài),表面變?yōu)樽匀粚α鲹Q熱。實驗數(shù)據(jù)如圖7和圖8所示,圖7為5個傳感器的原始數(shù)據(jù),圖8為幾個溫差的比值,由于傳熱存在惰性時間,因此對遠離熱源的4個溫度數(shù)據(jù)在計算比值時做了相應(yīng)的時移。在升降溫拐點處,主軸系統(tǒng)換熱條件發(fā)生強制對流向自然對流的突變,導(dǎo)致圖中360 min出現(xiàn)了突跳現(xiàn)象。

圖6 驗證試驗傳感器布置情況

圖7 實驗中5個傳感器原始溫度

圖8 實驗溫差比例關(guān)系

由圖8所示,由于換熱條件的不同,圖8中的溫差比值也出現(xiàn)了突變,但在各階段溫差比值相對平穩(wěn)。在升溫段(0～360 min)和降溫段,(Te2-Te3)/(Te1-Te3)可近似為0.52和0.5,(Te4-Te5)/(Te1-Te5)分別可以近似為0.45與0.3,除去開機和溫度拐點處10 min誤差稍大,為15%左右,其他階段誤差均不超過10%。因此在實際情況中,可認(rèn)為式(17)假設(shè)近似成立,進而將對電主軸上某一點d(在此次實驗中d為e2～e5)的溫度Td的導(dǎo)熱方程近似表示為

(19)

為簡化計算,將uλ簡化為一個參數(shù)γ。

根據(jù)圖7結(jié)果,實驗中環(huán)境溫度基本不變,在研究溫度變化規(guī)律時將其作為常量進行處理。根據(jù)式(16)的結(jié)論和線性系統(tǒng)的疊加性,tk+1時刻Td的溫度為初始溫度T0與tk時刻之前Te1各時刻變化量ΔTe1(t)響應(yīng)的疊加,是式(14)同響應(yīng)函數(shù)的卷積與T0之和,表達式為

(20)

式中:h(t)為t時刻Te1的變化量ΔTe1(t)對Tm作用的終值;g(t)為輸入值ΔTe1(t)對時間的響應(yīng)函數(shù)。

3 溫度建模預(yù)測與驗證

采用卷積法對上述電主軸的溫度實驗結(jié)果進行建模驗證,并通過粒子群算法優(yōu)化計算公式中的系數(shù)。電主軸系統(tǒng)基本物性參數(shù)如下,鑄鐵的比熱容c為0.46×103kJ/(kg· ℃),微元長度δ在本實驗中取0.02 m,空氣強制對流換熱系數(shù)h取30 W/(m2·K)。以Te2為例,通過粒子群算法進行系數(shù)γ、Ca的優(yōu)化計算。粒子群算法的輸入為ΔTe1=(ΔTe1(1),ΔTe1(2),…,ΔTe1(k)),其中ΔTe1(i)(i=1,2,…,k)為ti時刻溫度Te1的變化量。目標(biāo)函數(shù)E是卷積計算結(jié)果與目標(biāo)溫度測量值的最小二乘偏差,表達式為

(21)

表1 系數(shù)γ與Ca優(yōu)化結(jié)果

圖9 采用兩種方法對Te3擬合效果的比較

圖10 采用兩種方法對Te5擬合效果的比較

在運行初始階段,由于電主軸系統(tǒng)尚未達到熱平衡狀態(tài),是熱特性中偽滯后等非線性現(xiàn)象較為嚴(yán)重[6]且線性模型擬合效果較差的階段。因此,根據(jù)電主軸的溫度變化狀態(tài),采用均方根誤差(RMSE)和預(yù)測精度(FA)指標(biāo)[18],對前200 min和后400 min的建模效果分別進行評價,結(jié)果如表2和表3所示。由圖9、10以及表2、3結(jié)果可知,卷積法在前200 min擬合效果明顯好于線性模型,測點越遠離熱源時,非線性現(xiàn)象越嚴(yán)重,線性模型精度越低,最遠測點Te5溫度的線性擬合精度只有51.6%,卷積法的精度高達94.9%,預(yù)測精度大大提高。運行200 min后,電主軸系統(tǒng)逐漸進入熱平衡狀態(tài),溫度變化量下降,整體溫度不均勻性減小,線性法與卷積法的擬合結(jié)果已無太大差異。

表2 電主軸運行前200 min線性法與卷積法結(jié)果的對比

表3 電主軸運行后400 min線性法與卷積法結(jié)果的對比

4 熱誤差建模預(yù)測與驗證

在前文中,卷積法更好地描述了機床電主軸的溫度規(guī)律。熱誤差是各部分發(fā)熱造成熱變形耦合的結(jié)果,在運行初始階段及升降溫拐點處,非線性現(xiàn)象同樣較為嚴(yán)重。以往建模是通過廣泛布置溫度測點或有限元仿真,運用模糊聚類等算法尋找合適建模溫度,并通過智能算法建立溫度和變形的關(guān)系,效果評價往往側(cè)重于整個運行階段,導(dǎo)致模型在運行初期與升降溫拐點處等階段的效果較差。

文獻[6]研究表明,在主軸熱源和邊界之間,存在描述熱變形效果較好的溫度點。溫度卷積算法可以通過熱源溫度較為準(zhǔn)確地推算出熱源到電主軸邊界中間一點的溫度,這為尋找建模溫度提供了新的思路。獲得電主軸熱變形和熱源溫度后,在不布置大量測點的情況下,將熱源溫度變化量作為輸入,運用粒子群算法,以式(21)為目標(biāo),進行式(20)溫度卷積系數(shù)的優(yōu)化,式(21)中目標(biāo)由Te2變?yōu)闊嶙冃螠y量值。隨后將熱源溫度代入優(yōu)化后的式(20),即可通過卷積運算進行熱誤差預(yù)測,不同階段還可進行系數(shù)修正,提高模型效果。

4.1 實驗設(shè)計與測量方法

在實驗方面,采用ISO 230-3推薦的五點法測量主軸系統(tǒng)熱變形,通過傳感器與安裝檢驗棒的距離改變反映主軸變形。支架采用極小熱膨脹系數(shù)(常溫下為1.5×10-6m/ ℃)的殷鋼材料。變形測量選擇米銥電渦流傳感器,常溫下溫度誤差系數(shù)為0.125×10-6m/ ℃。溫度傳感器為A級精度PT100熱電阻,溫度測點位置如下:T1在電主軸系統(tǒng)前軸承離軸承套0.5 cm處,T2在后軸承處,T3和T4分別在電主軸前端和后端中部,T5和T6分別在前端和后端底部,T7在底座,T8測量周圍環(huán)境溫度。

實驗時,采用主軸連續(xù)起停運轉(zhuǎn)的方式,60 s為一個采樣周期。在一個周期內(nèi),主軸以恒定轉(zhuǎn)速連續(xù)運行55 s,然后停止5 s,用于電渦流采集數(shù)據(jù)。實驗轉(zhuǎn)速為2 000 r/min,先連續(xù)運行350 min至平衡狀態(tài),然后切斷電源進行主軸冷卻,研究y方向的熱變形情況。

4.2 實驗結(jié)果與分析

電主軸系統(tǒng)溫度及y方向變形如圖11、12所示,y向熱變形是垂直方向各部分變形的累積,與熱源溫度存在偽滯后現(xiàn)象[6]。由圖6可知,主軸中心至正下方底部的尺寸比斜方向小,偽滯后現(xiàn)象稍輕,因此選擇前100 min和全時段進行建模效果評價。圖11、12中350 min處出現(xiàn)的數(shù)據(jù)突跳是換熱方式由強制對流變化為自然對流造成的。

圖11 電主軸運行溫度變化情況

圖12 y方向原始誤差與擬合效果

本文采用T1、T3、T5與T8進行粒子群線性建模,并與粒子群優(yōu)化的卷積模型效果進行對比,結(jié)果如圖12、13所示。從整體效果看,線性模型與卷積模型效果區(qū)別不大。觀察前100 min(圖13)和溫度拐點處(圖12中350 min處)的擬合效果可知,線性模型的擬合出現(xiàn)了較大誤差。在前50 min線性模型的擬合精度僅有44.07%,前100 min為72.3%,并出現(xiàn)了明顯負補償?shù)默F(xiàn)象,而卷積法前50 min擬合精度為97.1%,前100 min時為98.7%。在熱特性非線性現(xiàn)象嚴(yán)重階段取得了比線性擬合更為顯著的效果,為電主軸熱誤差補償提供了一種新的解決思路。

圖13 電主軸運行前100 min擬合效果

5 結(jié) 論

本文通過機床電主軸理論傳熱分析與實驗相結(jié)合的方式,提出了一種電主軸系統(tǒng)熱特性的卷積建模方法,通過熱源測點溫度變化量與響應(yīng)函數(shù)的卷積來近似推算主軸各部分溫度。在此基礎(chǔ)上,提出了以實驗熱源溫度作為輸入,以熱誤差預(yù)測精度為目標(biāo),通過粒子群算法進行卷積模型系數(shù)優(yōu)化的熱誤差建模方法,將熱源溫度代入優(yōu)化后卷積模型獲得熱誤差預(yù)測值。與以前研究結(jié)果相比,卷積模型在熱特性較為復(fù)雜的開機階段和升降溫拐點處有著更為準(zhǔn)確的預(yù)測結(jié)果。在機床電主軸運行前200 min溫度預(yù)測中,效果最高提升了83.2%。在y方向熱誤差的預(yù)測中,將電主軸運行前50 min和前100 min的擬合精度由44.07%和72.3%分別提升至97.1%和98.7%。卷積建模法保證了熱誤差整體的建模精度,減小了溫度傳感器的布置需求,為熱誤差建模補償提出了一種新的思路與方法。機床加工的實際工況比電主軸系統(tǒng)更為復(fù)雜,卷積法應(yīng)用需要更加深入的研究、修正與檢驗。