楊碩文，唐進(jìn)元

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一種新的直齒輪復(fù)合修形設(shè)計(jì)方法

楊碩文，唐進(jìn)元

(中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，高性能復(fù)雜制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙，410083)

以直齒輪齒廓修形量、齒廓修形高度、齒廓修形冪指數(shù)、齒向修形量這4個(gè)基本參數(shù)為變量，取動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值、最大接觸應(yīng)力加權(quán)最小為優(yōu)化目標(biāo)，使用有限元方法計(jì)算接觸應(yīng)力；考慮軸承、軸、陀螺力等因素的影響，使用有限元節(jié)點(diǎn)法計(jì)算動(dòng)態(tài)傳遞誤差，以 Kriging方法為優(yōu)化方法，構(gòu)建一種新的直齒輪復(fù)合修形設(shè)計(jì)方法，并通過一對實(shí)際齒輪傳動(dòng)來驗(yàn)證計(jì)算模型。研究結(jié)果表明：用所提出的方法優(yōu)化后得到齒輪動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值相對于優(yōu)化前降低75.98%，最大接觸應(yīng)力降低21.48%，這表明所提出的復(fù)合修形優(yōu)化方法對齒輪修形設(shè)計(jì)具有參考與應(yīng)用價(jià)值。

齒輪傳動(dòng)；復(fù)合修形；Kriging方法；有限元節(jié)點(diǎn)法

齒輪修形是降低齒輪振動(dòng)、噪聲和提高可靠性的重要途徑[1]。在齒輪修形優(yōu)化設(shè)計(jì)中，人們對齒廓修形[2]或者齒向修形[3]的研究較多，而對齒廓修形疊加齒向修形的齒輪復(fù)合修形研究較少[4]?，F(xiàn)有的修形優(yōu)化方法往往耗費(fèi)大量的時(shí)間且需要重復(fù)操作[5]，此外，動(dòng)力學(xué)性能計(jì)算往往忽略軸承、軸和陀螺力的影響[6]：因此，研究一種設(shè)計(jì)效率高、考慮因素全面的齒輪復(fù)合修形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法很有必要。WU等[7]通過有限元靜力學(xué)分析確定了最優(yōu)齒廓修形類型及修形參數(shù)，通過動(dòng)態(tài)接觸試驗(yàn)證明了齒廓修形在減振方面的作用。MARCELLO等[8]提出使用隨即單純形優(yōu)化算法對齒廓修形參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使用蒙特卡洛搜索法搜索齒廓修形最優(yōu)值。郭家舜等[9]基于人字齒輪彎扭軸耦合動(dòng)力學(xué)模型，考慮了時(shí)變齒側(cè)間隙距離，以動(dòng)載系數(shù)來評(píng)價(jià)最優(yōu)修形參數(shù)。楊麗等[10]通過有限元法建立樣本點(diǎn)，通過Kriging優(yōu)化方法和遺傳算法對齒廓修形進(jìn)行優(yōu)化，通過算例發(fā)現(xiàn)該方法相對于ISO標(biāo)準(zhǔn)公式修形方法減振效果更好，驗(yàn)證了Kriging優(yōu)化方法的優(yōu)越性，但該研究只針對齒廓修形，沒有涉及復(fù)合修形，復(fù)合修形變量要多于齒廓修形變量，同時(shí)，在動(dòng)態(tài)性能計(jì)算方面，使用的方法沒有考慮軸承、軸和陀螺力等因素對動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。為此，本文作者基于有限元方法計(jì)算復(fù)合修形齒輪的靜態(tài)傳遞誤差、嚙合剛度、最大接觸應(yīng)力；通過有限元節(jié)點(diǎn)法計(jì)算動(dòng)態(tài)傳遞誤差，并以動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值、最大接觸應(yīng)力最小進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，選取實(shí)際齒輪參數(shù)用Kriging方法進(jìn)行復(fù)合修形優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 直齒輪復(fù)合修形原理與方法

齒輪需要齒廓修形來減小由加工所產(chǎn)生的基節(jié)誤差與傳動(dòng)時(shí)受載變形所引起的嚙入嚙出沖擊及高傳動(dòng)誤差幅值，也需要齒向修形來減少邊緣接觸和避免應(yīng)力集中，所以，在修形時(shí)，2種修形量必須同時(shí)考慮，要充分利用這2種修形量的優(yōu)點(diǎn)。復(fù)合修形包括齒廓修形和齒向修形2種修形方式。

1.1 齒廓修形

齒廓修形示意圖如圖1所示。齒廓修形包括3個(gè)要素，即修形量、修形長度和修形曲線。圖1中，αa為齒廓修形量，Ca為嚙合線方向上修形長度，Na為修形終止直徑，Ca為修形起始直徑。修形曲線一般采用以冪指數(shù)形式表示的修形曲線[11]：

式中：l為上界點(diǎn)至嚙合始點(diǎn)或下界點(diǎn)至嚙合終點(diǎn)的距離，l=dNa?dCa；x為嚙合位置的相對坐標(biāo)，x=d?dCa；d為嚙合位置處直徑；b為修形冪指數(shù)系數(shù)；e為某一點(diǎn)的齒廓修形量。

1.2 齒向修形

圖2所示為齒向鼓形修形的示意圖，為最大鼓形量，在齒寬兩端取相等值。

圖2 齒向修形示意圖

2 齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)傳動(dòng)誤差求解的有限元節(jié)點(diǎn)法

有限元節(jié)點(diǎn)齒輪動(dòng)力學(xué)建模方法是一種較新的建模方法[12]，相對于其他齒輪動(dòng)力學(xué)建模方法，它的主要特點(diǎn)是：考慮了軸的柔性對齒輪系統(tǒng)的影響；考慮了高速齒輪系統(tǒng)的陀螺力，實(shí)現(xiàn)對齒輪系統(tǒng)渦動(dòng)效應(yīng)分析；考慮了軸承對齒輪系統(tǒng)的影響；可模擬振動(dòng)在齒輪系統(tǒng)中的傳遞過程。

采用有限元節(jié)點(diǎn)法對單級(jí)直齒輪副進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模，如圖3所示。該系統(tǒng)采用 18個(gè)節(jié)點(diǎn)建模，其中主動(dòng)軸和從動(dòng)軸各取 9個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)含 6 個(gè)自由度，即3個(gè)平動(dòng)自由度和3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。下面根據(jù)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)理論，分別得出齒輪轉(zhuǎn)子、軸、軸承以及齒輪嚙合作用的建模過程。

2.1 齒輪轉(zhuǎn)子建模

圖3 齒輪軸動(dòng)力學(xué)模型

將齒輪簡化為轉(zhuǎn)子(圓盤)，并應(yīng)用拉格朗日方法并線性化，可以得到矩陣形式的齒輪轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程：

其中：

2.2 軸的建模

利用 Timoshenko 梁單元理論對軸單元進(jìn)行建模，可以得到矩陣形式的無阻尼軸的運(yùn)動(dòng)方程：

其中：為軸的質(zhì)量矩陣；為陀螺矩陣；為剛度矩陣，它們的表達(dá)式見文獻(xiàn)[13?15]。

2.3 軸承的建模

軸承的支撐作用以無質(zhì)量的彈簧和阻尼代替，其受力點(diǎn)假設(shè)位于軸承中點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)。軸承的剛度矩陣和阻尼矩陣可以寫成：

2.4 齒輪嚙合作用建模

齒輪副的嚙合作用導(dǎo)致2個(gè)傳遞力的轉(zhuǎn)子之間存在明顯的耦合作用，該耦合作用可根據(jù)輪齒嚙合法線方向的力關(guān)聯(lián)起來，以剛度的形式表達(dá)。嚙合齒輪副的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：

其中：為齒側(cè)間隙；m0和m1均為間隙函數(shù)；k為嚙合剛度；c為嚙合阻尼；()為靜態(tài)傳遞誤差。

2.5 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)式(2)~(6)，最終得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：,,和分別為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、陀螺力矩矩陣和剛度矩陣；為節(jié)點(diǎn)位移矩陣；而()為齒輪側(cè)隙引起的非線性函數(shù)；為靜態(tài)誤差激勵(lì)和外載荷矩陣。

3 基于Kriging優(yōu)化方法的直齒輪復(fù)合修形設(shè)計(jì)方法

3.1 Kriging優(yōu)化方法原理

Kriging優(yōu)化方法作為一種半?yún)?shù)化的插值方法特別適用于強(qiáng)非線性問題求解，近年來在工程優(yōu)化領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[10]，在某一點(diǎn)的預(yù)測是通過空間上已知所有點(diǎn)的數(shù)據(jù)加權(quán)求和得到。 Kriging預(yù)測優(yōu)化模型包含回歸部分和非參數(shù)部分,模型由多項(xiàng)式和隨機(jī)分布2部分組成：

式中：為設(shè)計(jì)變量；()為待擬合的響應(yīng)函數(shù)；()為已知的回歸模型，通常是多項(xiàng)式函數(shù)；為相應(yīng)的待定參數(shù)；()是均值為0、方差為2的隨機(jī)函數(shù)，表示對全局模擬的偏差。模型詳細(xì)構(gòu)建過程見文 獻(xiàn)[16]。

3.2 Kriging優(yōu)化方法建模方法

DACE(design and analysis of computer experiments)是LOPHAVEN等利用 MATLAB 編制的Kriging工具箱[17]，它有2個(gè)主要函數(shù)即dacefit和predictor。函數(shù)dacefit根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)建立Kriging模型，而函數(shù)predictor根據(jù)Kriging模型計(jì)算待測點(diǎn)的響應(yīng)值，生成Kriging優(yōu)化方法。

3.3 復(fù)合修形優(yōu)化模型

針對復(fù)合修形，變量主要取齒廓修形量1、齒廓修形高度2、齒廓修形冪指數(shù)3、齒向修形量4這4個(gè)變量。然后，確定這4個(gè)變量的范圍，在所確定的范圍內(nèi)抽取數(shù)個(gè)樣本點(diǎn)，參考文獻(xiàn)[18]中方法，用有限元方法計(jì)算樣本點(diǎn)的最大接觸應(yīng)力2以及嚙合剛度和靜態(tài)傳遞誤差。將樣本點(diǎn)的嚙合剛度和靜態(tài)傳遞誤差導(dǎo)入有限元節(jié)點(diǎn)法動(dòng)力學(xué)模型(7)，計(jì)算得到動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值1。以動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值1、最大接觸應(yīng)力2最小進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，目標(biāo)函數(shù)可表示為

式中：y(=1, 2, 3, 4)為優(yōu)化變量；Qmin和Qmax分別為修形量最小值和最大值；10和20分別為未修形的動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值和最大接觸應(yīng)力；1和2為各目標(biāo)權(quán)系數(shù)，本文取1=2=0.5。

3.4 基于Kriging優(yōu)化方法的直齒輪復(fù)合修形設(shè)計(jì)方法

以目標(biāo)函數(shù)最小為目標(biāo)，在給定精度下，通過Kriging優(yōu)化方法確定最佳修形參數(shù)。齒輪復(fù)合修形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法具體流程圖如圖4所示，其中，預(yù)測精度判別值根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定，精度是指目標(biāo)函數(shù)值計(jì)算值與Kriging方法預(yù)測值的相對誤差。

圖4 基于Kriging優(yōu)化方法的直齒輪復(fù)合修形設(shè)計(jì)方法流程

4 復(fù)合修形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的驗(yàn)證與應(yīng)用

4.1 齒輪基本參數(shù)

以1對直齒輪為例，齒輪參數(shù)如表1所示。此外，齒輪運(yùn)動(dòng)精度等級(jí)為6，兩齒輪軸線平面內(nèi)安裝誤差為29.594 9 μm，垂直于兩齒輪軸線平面內(nèi)安裝誤差為29.594 9 μm，基節(jié)極限偏差為6 μm，軸段長度為 10 mm，軸段外徑和內(nèi)徑分別為30 mm和0 mm；軸承剛度k，k和k分別為1.49×108，1.92×108和5.22×106N/m；軸承扭轉(zhuǎn)剛度和分別為2.94×103和1.74×103N·m/rad；軸承阻尼為1 000 N·s/m。

表1 齒輪參數(shù)

4.2 Kriging 模型預(yù)測樣本點(diǎn)的選取

1) 齒廓修形量max。由ISO公式[19]力max=At/ (αγ) (其中A為使用系數(shù)，t為圓周力，為齒寬，α為重合度，γ為綜合剛度，力max為齒輪受力變形量)和基節(jié)極限偏差制max可以得到經(jīng)驗(yàn)公式齒廓修形量為max=力max+制max=11.304 1 μm。齒廓修形量范圍取(0.5max，2max)，即(5.652 1，22.608 2) μm，從中取6組。

2) 齒廓修形高度。修形高度一般取短修形到長修形之間的值[20]，這里修形高度定義為嚙合線方向修形長度除以法向模數(shù)，齒廓修形高度范圍取(0.713 9，1.427 9)，從中取6組。

3) 齒廓修形冪指數(shù)。齒廓修形冪指數(shù)一般取1～2[11]，從中取6組。

4) 齒向修形量。由ISO公式[21]=0.5= 0.5(f+1.5f)(式中為等效嚙合歪斜度，f為由彎扭變形引起的嚙合歪斜度，f為螺旋線斜率偏差)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)公式齒向修形量=8.348 8 μm。齒向修形量范圍取(0.5，2)，即(4.174 4，16.697 6) μm，從中取6組，共6×6×6×6＝1 296組。

4.3 Kriging方法預(yù)測準(zhǔn)確性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證Kriging預(yù)測模型的準(zhǔn)確性，一方面，從變量范圍中隨機(jī)抽取5組1，2，3和4，用Kriging方法得到目標(biāo)函數(shù)值的預(yù)測值；另一方面，基于這5組變量，用有限元方法、有限節(jié)點(diǎn)方法進(jìn)行計(jì)算，得到實(shí)際的目標(biāo)函數(shù)計(jì)算值。將目標(biāo)函數(shù)預(yù)測值與實(shí)際計(jì)算值進(jìn)行對比，對比結(jié)果見表2。從表2可以看出：目標(biāo)函數(shù)預(yù)測值與實(shí)際計(jì)算值相對誤差均在1%以內(nèi)，驗(yàn)證了Kriging預(yù)測的精準(zhǔn)性。

4.4 優(yōu)化結(jié)果對比

考慮1，2，3和4這4個(gè)變量，以0.01 μm為搜索精度，找到Kriging預(yù)測面上目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)，其所對應(yīng)的變量參數(shù)便為最佳修形參數(shù)，見表3。從表3可以看出：優(yōu)化前的動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰 值為28.162 7 μm ，優(yōu)化后的動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值為6.764 2 μm，相對于優(yōu)化前動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值降低75.98%。優(yōu)化前的最大接觸應(yīng)力為1 344.551 0 N/mm2，優(yōu)化后的最大接觸應(yīng)力為1 055.669 9 N/mm2，優(yōu)化后相對于優(yōu)化前降低21.48%。優(yōu)化前后的動(dòng)態(tài)傳遞誤差曲線及其頻譜圖分布分別如圖5和圖6所示。從圖5和圖6可見：優(yōu)化前的動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜圖2倍頻幅值較大，為11.72 μm，優(yōu)化后的動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜圖2倍頻幅值為2.70 μm，較優(yōu)化前有明顯降低，說明此修形方法能有效減小齒輪振動(dòng)。

表2 誤差對比

表3 Kriging優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果對比

圖5 優(yōu)化前動(dòng)態(tài)傳遞誤差曲線及其頻譜

圖6 優(yōu)化后動(dòng)態(tài)傳遞誤差曲線及其頻譜

5 結(jié)論

1) 綜合Kriging優(yōu)化方法、齒輪動(dòng)力學(xué)建模的有限元節(jié)點(diǎn)法、接觸應(yīng)力計(jì)算有限元方法，提出一種新的圓柱直齒輪復(fù)合修形參數(shù)設(shè)計(jì)方法。

2) 采用有限元節(jié)點(diǎn)法動(dòng)力學(xué)分析方法計(jì)算齒輪傳動(dòng)動(dòng)態(tài)傳遞誤差，考慮了軸承、軸和陀螺力的影響，所得結(jié)果更接近實(shí)際情況，更具科學(xué)性。

3) 對1對齒輪傳動(dòng)修形參數(shù)進(jìn)行實(shí)際計(jì)算，優(yōu)化后的動(dòng)態(tài)傳遞誤差峰峰值相對于優(yōu)化前降低75.98%，最大接觸應(yīng)力降低21.48%，動(dòng)態(tài)傳遞誤差頻譜圖2倍頻的幅值明顯降低，所提出的齒輪復(fù)合修形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法可為齒輪傳動(dòng)修形設(shè)計(jì)提供參考。

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A new design method for compound modification of spur gear

YANG Shuowen, TANG Jinyuan

(State Key Laboratory of High Performance Complex Manufacturing, School of Mechanical and Electrical Engineering, Central South University, Changsha 410083, China)

Taking four basic parameters of the spur gear modification as the variables, and taking the peak-to-peak value of the dynamic transmission error and the maximum contact stress weighted minimum as the optimization goal, the contact stress was calculated using the finite element method. Considering the influence of factors such as bearings, shafts and gyro, etc, the finite node element method was used to calculate the dynamic transfer error. Taking the Kriging method as the optimization method, a new spur gear compound modification design method was constructed. A pair of actual gear transmissions was used to verify the method. The results show that the peak?to?peak value of the dynamic transmission error of the gear after optimization obtained by the present method is reduced by 75.98% and the maximum contact stress is reduced by 21.48%,which indicates that the proposed optimization method of compound modification has reference and application value for gear modification design.

gear transmission; compound modification; Kriging method; finite element node method

TH132.41

A

1672?7207(2019)05?1082?07

10.11817/j.issn.1672?7207.2019.05.010

2018?03?07；

2018?05?07

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51535012, U1604255); 國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目(2017YFB1300700); 中南大學(xué)研究生自主探索創(chuàng)新項(xiàng)目(2018zzts475)(Projects(51535012, U1604255) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project (2017YFB1300700) supported by the National Key R&D Plan; Project(2018zzts475) supported by the Independent Exploration and Innovation Program of the Graduate Students of Central South University)

唐進(jìn)元，教授，博士生導(dǎo)師，從事齒輪傳動(dòng)與智能制造研究；E-mail：jytangcsu@163.com

(編輯 陳燦華)