郭 治,王 軍,王向民

(南京理工大學自動化學院,江蘇 南京 210094)

火藥在炮膛內爆燃,推導彈頭在膛內高速滑動的同時,還會燒蝕炮膛與磨損炮管,從而導致不可逆轉的彈頭初速減退,當初速減退到某個允許值時,炮管的壽命終結,必須更換炮管[1-2]。為了補償由于初速減退而導致的射擊誤差,每次射擊前都需要對初速減退量進行檢測與估計。傳統(tǒng)的估計方法是:人工測量炮室增長量、觀測炮管內壁燒痕的數(shù)量和大小,再依據(jù)經驗公式換算成初速減退量。彈頭初速雷達出現(xiàn)后,用測速雷達測出的彈頭初速序列來估計實際的彈頭初速從而完成初速偏差修正,是當前正在推廣的技術。在射擊誤差中,當不考慮對運動目標射擊的運動假定誤差時,初速誤差是它的最大成分,而初速減退量是彈頭初速誤差的重要成分[3],因此,為彈頭初速減退量構建一個定量的數(shù)學模型是一項重要的課題。

初速修正與炮管壽命檢測,其實質是初速一步預測與初速減退量的長期預測問題。而利用狀態(tài)方程求解預測問題,特別是一步預測問題的求解工具,是非常適宜的。特別是由于同一個炮管可能發(fā)射不同裝藥號的彈藥,也可能發(fā)射不同類型(穿甲彈、榴彈、燃燒彈等)彈藥,而這種轉換又是隨機的,其所導致的狀態(tài)方程是時變的。此時,利用卡爾曼遞推預測,即可以很方便地得到最優(yōu)的(無偏最小方差)一步與多步預測。如果能給出導致初速偏差的各種因素對應的狀態(tài)方程,不僅炮管壽命可以自動判別,而且可為彈頭初速偏差修正提供最優(yōu)解。

本文的重點是初速狀態(tài)方程的構建。作為它的應用,給出了炮管壽命的判別式;當進行初速偏差修正時,給出了一個狀態(tài)初始方差的優(yōu)化表達及其應用條件,為每一次發(fā)射提供可行的、無偏最小方差的初速偏差修正方案。

當前,有關利用測速雷達實施初速偏差修正的文獻很多[4-8],但都是將初速減退量作為初速偏差的一個子項,與其他子項一起來討論的。對其性質的分析,都是在有限次發(fā)射的統(tǒng)計平均值上建立的一個近似模型。時至今日,尚未檢索到有關初速減退量的狀態(tài)模型。

1 初速減退系數(shù)的推導

基本假設1彈頭在膛內的運動速度vdm(t) 與其加速度成正比。即

(1)

解得

vdm(t)=vdm(0+)e-αmt=vdm(0+)rm(t)

(2)

式中m代表裝藥號,rm(t)為膛內速度隨時間的衰減系數(shù),αm為固定常數(shù),它由彈丸內彈道學確定。由于火藥爆燃幾乎是在瞬間完成的,它對彈頭的推力幾乎相當于一個δ函數(shù),使得靜止的彈頭在瞬間獲取一個巨大的初始速度vdm(0+)。由于彈頭在膛內運動時存在阻力,以及膛內密封空間的擴大,漏氣現(xiàn)象的出現(xiàn),導致彈頭在膛內初速下降是必然的。用上式表述這一現(xiàn)象與實際基本相符合。

基本假設2由火藥爆燃與彈頭在膛內的運動造成的藥室擴容與炮管燒蝕是不可恢復的,且其導致的前后兩次發(fā)射的初速減退量與彈頭在膛內的速度成正比?；谶@個假設,記vm(1)為出廠后新炮首次發(fā)射的初速,顯然有

vm(2)=rmvm(1)

(3)

由于藥室擴容與炮管燒蝕的不可恢復性,應有

(4)

式中rm稱為m號裝藥的初速減退系數(shù)。

(5)

(6)

即射表輸入誤差的三分之一。因而對射表初速,有

(7)

2 不同裝藥號的初速減退系數(shù)的轉換

當用全裝藥發(fā)射N0發(fā)彈藥后,其初速退減量與射表初速之比

(8)

(9)

火藥在膛內爆燃瞬間在密閉空間內形成的壓強Pm是它的裝藥量的函數(shù),記為

Pm=Pm[(L-m)G]

(10)

(11)

式中Γm為m號裝藥與全裝藥在膛內爆燃時的壓強比。由于Pm是彈藥的一個重要性能參數(shù),應該在產品性能手冊上公示,而在產品設計資料上是必需的指標,因而,Γm應是一個已知參數(shù)。它還有一個近似值

(12)

即藥包數(shù)之比,可在Γm缺失時使用。此時

(13)

式中μm為r0與rm之間的轉換系數(shù)。

3 射表初速的更新與炮管全壽命的判定

由于不可逆的初速減退量的存在,每發(fā)射一次彈藥都會使下一發(fā)初速下降,因而,必須于下次發(fā)射前為本次發(fā)射提供初速。鑒于一次連射中的彈藥號不變,本文將以一次連射為單位,解決這一問題。用k(l)表示第l次連射發(fā)射的彈藥數(shù),當l=1時,如果用的是m號裝藥,則有

(14)

倘若第二次連射時,仍使用m號裝藥,則第二次連射的初值即可有上式給出?？紤]到式(13),將有

(15)

此式表明:第二次齊射的首發(fā)彈頭的射表初速應由式(15)給出。式(15)可以遞推,即第l+1次連射的首發(fā)彈藥的射表初速應為

(16)

上述分析表明,每次連射后,都應依據(jù)式(16),對所有裝藥號的射表初速予以更新,以備下次射擊時使用。

鑒于每次連射后,射表初速,包括全裝藥的射表初速都要更新并予以記錄,當記錄到第l次連射后,若下式成立

(17)

由式(8)知,炮管壽命已到,應更換新炮管。綜合上述分析可知,初速退減量的狀態(tài)方程,當每個連射均采用同一裝藥號時,對一個連射而言,狀態(tài)方程可以表示為

(18)

由于裝藥號是射擊前依據(jù)射擊任務決定的,因而rm是一個時變參數(shù);狀態(tài)初值vm(1)是一個隨機變量,且該隨機變量的初值的均值是一個由式(16)給定的、與連射次數(shù)有關的確定量。對射擊的全過程而言,它的狀態(tài)方程是時變的,然而,對一個連射,卻是一個僅狀態(tài)初值為隨機變量的、線性常系數(shù)、一階狀態(tài)方程。對不同連射,只需依據(jù)式(16)更新射表初值即可繼續(xù)遞推。

4 在初速偏差修正中的應用

利用測速雷達在非標準彈道與氣象條件下預測彈頭的初速,這是提高初速修正精度的一項重要的技術舉措?，F(xiàn)在討論,如何將初速減退量的狀態(tài)方程應用于這一技術之中。

為了突出將初速減退量狀態(tài)方程融入初速修正技術之中,本文設定,在非標準條件下存在的初速誤差還有藥溫偏差修正量為:

(19)

它為強相關誤差。

彈重偏差修正量為

(20)

它為不相關誤差。

雷達測速誤差為

(21)

且它們與初速減退量都互不相關。因而,非標準條件下,彈頭的初速度表示為

vm(k+1)=vm(k)+ΔvmT(k)+ΔvmG(k)

(22)

它也是不相關誤差,其對應的狀態(tài)方程為

(23)

測量方程為

Zm(k)=(1,1)Xm(k)+ΔvmG(k)+ΔvC(k)

(24)

其狀態(tài)初值的均值與方差為

(25)

(26)

cov[Xm(1),Zm(1)]var-1[Xm(1)]cov[Zm(1),Xm(1)]=

(27)

顯然,它小于首發(fā)初速未檢測前方差狀態(tài)的初值利用式(27)代替卡爾曼遞推的初始方差,將得到一步預測的、最優(yōu)預測的最小方差預測。但必須注意，利用式作遞推的狀態(tài)方差的初值,能保持無偏,應保證

(28)

綜上所述,可知,由式(27)做遞推的狀態(tài)方差初值,給出的彈頭初速的預測是融合了傳統(tǒng)的依測溫、測重的預測與利用測速雷達的預測而得到的更優(yōu)的預測,它是比兩種預測方法都更優(yōu)的預測。

5 結束語

本文僅從理論上建立了初速減退量的狀態(tài)方程模型,并利用卡爾曼濾波方法預測出彈頭初速的一步預測值。本方法的準確性與可用性有待實際的進一步驗證。

只要初速的狀態(tài)方程是可測可控的,其一步狀態(tài)預測就是收斂的,即只要測速序列足夠長,它一定可收斂到唯一的最優(yōu)值。但射擊過程不允許收斂過程較長,在有限射擊時,每次發(fā)射都需要進行初射修正,本文給出了發(fā)發(fā)校射的最優(yōu)方法。

實際的初速修正,還應包括:彈藥存儲年限、冷炮效應(連射時,炮管溫升導致的初速改變)等的修正。只要列出它們相應的初速偏差的狀態(tài)方程并結合本文給出的狀態(tài)方程,問題即可以用同樣的方法得到解決。上述效應的狀態(tài)方程的構建已不屬于本文的研究范疇,更限于篇幅,將另行闡述。