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(1.中鋼集團(tuán)馬鞍山礦山研究院 金屬礦山安全與健康國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽 馬鞍山 243004； 2.河海大學(xué) 江蘇省巖土工程技術(shù)工程研究中心， 南京 210098； 3.河海大學(xué) 巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210098)

1 研究背景

巖石作為一種天然材料，其內(nèi)部蘊(yùn)含各種先天缺陷，如微裂紋、孔隙、孔洞、節(jié)理、裂隙等，在力學(xué)性質(zhì)上表現(xiàn)出不連續(xù)、不均勻和各向異性的特征[1]。由于巖石賦存于一定的地質(zhì)環(huán)境中，這些缺陷為地下水提供了貯存和運(yùn)移的場所。水壓力改變巖石內(nèi)部的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)，使得巖石的力學(xué)特性變得十分復(fù)雜。因此，研究水壓力作用下巖石的變形損傷規(guī)律顯得尤為重要。

目前前人對(duì)水壓力作用下巖石的變形特征作了研究：邢福東等[2]、周青春等[3]等通過巖石在孔隙水壓-圍壓作用下的三軸壓縮試驗(yàn)，得出峰值破壞強(qiáng)度與圍巖呈正相關(guān)關(guān)系，與孔隙水壓力呈負(fù)相關(guān)關(guān)系的結(jié)論；李玉壽等[4]研究了煤巖在不同圍壓和水壓作用下的變形特性和聲發(fā)射特征，得到煤巖的峰值強(qiáng)度、殘余強(qiáng)度隨圍壓增高而增大，隨孔隙水壓力增高而降低的結(jié)論，并且屈服前聲發(fā)射事件較少，屈服后聲發(fā)射才趨于活躍。在巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型研究方面：溫韜等[5]建立巖石統(tǒng)計(jì)損傷模型，并進(jìn)行了耗散能的分析；周永強(qiáng)等[6]考慮殘余強(qiáng)度和閾值影響建立巖石統(tǒng)計(jì)損傷模型；康亞明等[7]選取Mises屈服強(qiáng)度準(zhǔn)則，基于微元強(qiáng)度服從Weibull分布，建立了水壓力作用下煤巖的損傷本構(gòu)模型；王偉等[8]通過有效應(yīng)力原理引入孔隙水壓力，采用Drucker-Prager準(zhǔn)則(D-P準(zhǔn)則)強(qiáng)度準(zhǔn)則構(gòu)建了考慮孔隙水壓力的巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型。但是，曹文貴等[9]、石崇等[10]、曹瑞瑯等[11]、王軍保等[12]在建立統(tǒng)計(jì)損傷模型時(shí)都指出D-P準(zhǔn)則和摩爾-庫倫準(zhǔn)則(M-C準(zhǔn)則)存在不足，選擇采用Hoek-Brown準(zhǔn)則建立的模型具有較好的適用性，但是他們建立的模型均沒有考慮水壓力的作用。

因此，在前人研究的基礎(chǔ)上，本文在多孔介質(zhì)理論框架內(nèi)，考慮水壓力對(duì)巖石力學(xué)特性的影響，采用有效應(yīng)力原理，基于Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則，建立水壓力作用下巖石統(tǒng)計(jì)損傷模型；并根據(jù)殘余強(qiáng)度和峰值強(qiáng)度對(duì)模型進(jìn)行修正，通過室內(nèi)試驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，以期所建的模型能夠反映水壓力作用下巖石的變形特性。

2 水壓力作用下巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的建立

根據(jù)Lemaitre應(yīng)變等價(jià)性理論，巖石的損傷本構(gòu)關(guān)系可以表示為

(1)

水壓力作用下巖石的損傷本構(gòu)關(guān)系，可以根據(jù)王偉等[8]的研究，在多孔介質(zhì)彈性理論框架內(nèi)，滲流應(yīng)力耦合作用下的有效應(yīng)力張量可表示為

(2)

巖石受壓過程中，裂紋的產(chǎn)生、擴(kuò)展和匯合具有隨機(jī)和統(tǒng)計(jì)的特征。把巖石看作是一系列有缺陷的微元體，巖石微元強(qiáng)度準(zhǔn)則可以統(tǒng)一表示為

f(σij)-k=0 。

(3)

式中：f(σij)為應(yīng)力函數(shù);k為材料參數(shù)。

(4)

假定巖石微元強(qiáng)度服從Weibull隨機(jī)分布，即

(5)

式中n，F(xiàn)0為Weibull分布參數(shù)。

把式(5)代入式(4)計(jì)算可得損傷變量D為

(6)

由于M-C準(zhǔn)則和D-P準(zhǔn)則作為統(tǒng)計(jì)損傷模型的破壞準(zhǔn)則時(shí)，均存在不足[10-11]，因此本文采用Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則描述微元強(qiáng)度，Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則用不變量可以表示為[12,14]

(7)

其中：

(8)

(9)

對(duì)于常規(guī)三軸試驗(yàn)，軸向應(yīng)力σ1、第二主應(yīng)力σ2、圍壓σ3這三者滿足σ1>σ2=σ3，此時(shí)θ為30°。把式(2)代入式(7)，根據(jù)有效應(yīng)力和名義應(yīng)力的關(guān)系可以將Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則變換為

(10)

假定巖石的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系服從廣義胡克定律，主方向的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以表示為

(11)

σ1=Eε1(1-D)+2μσ3+(1-2μ)pw。(12)

把式(12)代入式(10)，得到用名義應(yīng)力表示的Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則為

(13)

根據(jù)王偉等[8]、張明等[15]的研究，試驗(yàn)中記錄的軸向偏應(yīng)力σ1t實(shí)際上為軸向應(yīng)力σ1和圍壓σ3的差值，即

σ1t=σ1-σ3。

(14)

軸向應(yīng)力施加前的初始應(yīng)變?chǔ)?0可以表示為

(15)

真實(shí)的軸向應(yīng)變?chǔ)?為試驗(yàn)測量應(yīng)變值ε1t與初始應(yīng)變?chǔ)?0之和，即

ε1=ε1t+ε10。

(16)

把式(6)、式(14)—式(16)代入到式(12)—式(13)就可以得到水壓作用下基于Hoek-Brown準(zhǔn)則的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，即

(17)

其中，

A1=Eε1t+(1-2μ)(σ3-pw) 。

楊圣奇等[16]、曹瑞瑯等[11]對(duì)損傷變量進(jìn)行修正并用于描述巖石殘余強(qiáng)度特征。本文根據(jù)巖石變形特征，在2種特征的基礎(chǔ)上對(duì)損傷變量修正系數(shù)η重新定義為

(18)

式中：σr為峰后殘余強(qiáng)度；σ1p為峰值強(qiáng)度。

損傷變量修正后的有效應(yīng)力可以表示為

(19)

依照前面的推導(dǎo)過程，可以建立水壓力作用下基于殘余強(qiáng)度修正的巖石統(tǒng)計(jì)損傷模型為

(2μ-1)(σ3-pw) 。

(20)

其中,

(21)

3 模型參數(shù)確定

在統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型研究中，現(xiàn)有的確定統(tǒng)計(jì)參數(shù)的方法有線性擬合法[8, 12-13]、峰值點(diǎn)法[11, 16-17]、反演分析法[15]、曲線擬合法(非線性回歸法)[18]等。峰值點(diǎn)法是利用峰值點(diǎn)處應(yīng)力取得最大值以及峰值點(diǎn)處斜率為0，建立方程組求解模型參數(shù)，其優(yōu)點(diǎn)是能夠在峰值點(diǎn)處能夠很好地?cái)M合，缺點(diǎn)是需要求解方程導(dǎo)數(shù)，求解模型參數(shù)較為繁瑣。曲線擬合法是利用最小二乘原理，對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合處理來求解模型參數(shù)，優(yōu)點(diǎn)是操作簡單方便。本文分別采用峰值點(diǎn)法和曲線擬合法進(jìn)行模型參數(shù)的求解，給出模型計(jì)算參數(shù)。

設(shè)P點(diǎn)(ε1p，σ1p)為全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的峰值點(diǎn)，利用峰值點(diǎn)法計(jì)算模型參數(shù)需要滿足2個(gè)條件：

(1)峰值點(diǎn)處模型等式兩邊相等。

(2)峰值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0。

將峰值點(diǎn)代入式(20)可得

(2μ-1)(σ3-pw) 。

(22)

其中，

A2=Eε1p+(1-2μ)(σ3-pw) 。

對(duì)式(20)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，將峰值點(diǎn)(ε1p，σ1p)代入，使得導(dǎo)數(shù)等于0,即當(dāng)ε1t=ε1p，且σ1t=σ1p時(shí)，有

(23)

聯(lián)立式(22)和式(23)可以求得

(24)

其中：

如果不考慮峰后殘余強(qiáng)度的影響，不對(duì)損傷變量進(jìn)行修正，可以令η=1，得到?jīng)]有損傷修正的模型參數(shù)值。

圖1 不同水壓力作用下理論曲線與試驗(yàn)曲線對(duì)比Fig.1 Comparison of curves between theoretical andexperimental results under different water pressures

4 模型驗(yàn)證與參數(shù)分析

4.1 模型驗(yàn)證

通過對(duì)文獻(xiàn)[4]的試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，求出Hoek-Brown準(zhǔn)則經(jīng)驗(yàn)參數(shù)m=40.6，巖石單軸抗壓強(qiáng)度平均值為σc=21.8 MPa。選取圍壓為8 MPa，孔隙水壓力為0，1，3，5 MPa的巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線，泊松比處理后為0.32，采用修正后的本構(gòu)方程對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行計(jì)算，得到不同水壓力作用下試驗(yàn)曲線與修正模型理論曲線對(duì)比結(jié)果，如圖1所示，模型參數(shù)見表1。

表1 不同水壓力作用下統(tǒng)計(jì)損傷模型參數(shù)Table 1 Parameters of the statistical damage modelunder different water pressures

從圖1可知，試驗(yàn)數(shù)據(jù)包含有殘余強(qiáng)度，因此采用基于殘余強(qiáng)度修正的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。結(jié)果表明：修正后的統(tǒng)計(jì)損傷模型與試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，能夠描述巖石的殘余強(qiáng)度，隨著水壓力的增大，吻合度越來越高；通過比較未修正的模型和修正模型的結(jié)果發(fā)現(xiàn)，如果試驗(yàn)數(shù)據(jù)包含殘余強(qiáng)度，采用峰值點(diǎn)法的未修正模型可以在峰值前段和峰值點(diǎn)處擬合效果很好，但在峰值點(diǎn)后模型擬合得較差，也不能反映巖石的殘余強(qiáng)度；采用峰值點(diǎn)法修正后的模型，在峰后段能夠反映出軟化特性，同時(shí)也可以反映出巖石殘余強(qiáng)度；采用曲線擬合法的未修正模型在整個(gè)變形過程中，吻合度都比較差；而采用曲線擬合法的修正后模型，吻合度最好。

從表1可以看出，隨著水壓力的增大，峰值強(qiáng)度和殘余強(qiáng)度都呈減小趨勢，修正系數(shù)在0.75左右，模型參數(shù)n隨著水壓的增大有增大的趨勢，而參數(shù)F0則呈現(xiàn)出減小的趨勢。對(duì)比曲線擬合法和峰值點(diǎn)法求解的參數(shù)值可以發(fā)現(xiàn)，曲線擬合法求得的參數(shù)規(guī)律性不強(qiáng)，而峰值點(diǎn)法計(jì)算的參數(shù)規(guī)律性較明顯，所以建議采用峰值點(diǎn)法進(jìn)行參數(shù)求解。

綜合圖1和表1的分析可知，本文建立的水壓作用下的統(tǒng)計(jì)損傷模型能夠較好地描述水壓作用下巖石的變形規(guī)律和特征，證明所建模型具有合理性，模型參數(shù)的求解建議采用峰值點(diǎn)法。

4.2 模型參數(shù)規(guī)律分析

4.2.1 損傷修正系數(shù)

選取文獻(xiàn)[4]中水壓力為3 MPa時(shí)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，保持其他參數(shù)不變，損傷修正系數(shù)從0.5逐漸增大到1，研究損傷修正系數(shù)對(duì)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，結(jié)果如圖2所示。

圖2 損傷修正系數(shù)η對(duì)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響Fig.2 Influence of damage correction coefficient η onthe full stress-strain curve

由圖2可知，損傷修正系數(shù)的變化對(duì)應(yīng)力-應(yīng)變曲線峰值前段沒有影響，對(duì)峰后段有顯著的影響，即隨著損傷修正系數(shù)的增大，巖石的殘余強(qiáng)度逐漸減小。

4.2.2 模型參數(shù)n和F0

同樣地，選取文獻(xiàn)[4]中水壓力為3 MPa時(shí)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，保持其他參數(shù)不變，分別使模型參數(shù)n從6增加至14，模型參數(shù)F0從1.00×105增加至1.20×105，分析模型參數(shù)n和F0對(duì)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響。結(jié)果如圖3所示。

圖3 模型參數(shù)n和F0對(duì)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響Fig.3 Influences of model parameters n and F0 onthe full stress-strain curve

由圖3(a)可知，隨著n的增大，巖石的脆性越來越明顯，參數(shù)n主要反映巖石脆性特征以及巖石材料內(nèi)部微元強(qiáng)度分布集中程度，n越大，巖石材料的脆性越高。從圖3(b)可以看出，隨著參數(shù)F0的增大，巖石的強(qiáng)度增大，表明參數(shù)F0反映巖石宏觀統(tǒng)計(jì)平均強(qiáng)度的大小。這與文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[10]的結(jié)論相一致。結(jié)合分析圖1和表1，結(jié)果表明隨著水壓力的增大，巖石的脆性逐漸增大，巖石的強(qiáng)度逐漸減小。

4.2.3 水壓力對(duì)損傷變量的影響

利用式(6)分析文獻(xiàn)[4]中圍壓8 MPa時(shí)的結(jié)果，得到不同水壓力pw下巖石的損傷變量-應(yīng)變曲線，如圖4所示。從圖4可以看出，水壓力不變的情況下，巖石的損傷程度在加載初期幾乎為0，但隨著應(yīng)變量的增大，巖石的損傷程度會(huì)在某一時(shí)刻開始增大，并且是急劇變大，直到巖石破壞，破壞前損傷速率又逐漸減小。

圖4 不同水壓力作用下巖石損傷變量與應(yīng)變的關(guān)系
Fig.4 Relationship between water pressure and damagevariables under different water pressures

5 結(jié) 論

(1)基于Hoek-Brown準(zhǔn)則建立水壓力作用下的巖石統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，并利用殘余強(qiáng)度對(duì)模型進(jìn)行修正。通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了模型的合理性，比較2種不同的模型參數(shù)確定方法，發(fā)現(xiàn)峰值點(diǎn)法效果較好，計(jì)算出的參數(shù)規(guī)律性更好，建議采用峰值點(diǎn)法確定模型參數(shù)。

(2)通過分析損傷修正系數(shù)η和模型參數(shù)n，F(xiàn)0對(duì)巖石全應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響可見，損傷修正系數(shù)η越大，殘余強(qiáng)度越?。粎?shù)n反映巖石的脆性，其值越大，巖石的脆性度越高；參數(shù)F0反映巖石的宏觀強(qiáng)度，F(xiàn)0越大，巖石的強(qiáng)度越高。此外，巖石的損傷程度隨著水壓力的增大而增大。