段永瑞， 徐 超， 霍佳震

(1.同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092; 2.博士—同濟(jì)大學(xué) 全球供應(yīng)鏈管理教席，上海 200092)

0 引言

在企業(yè)的實(shí)際運(yùn)營(yíng)中，庫存管理一直起著重要的作用。良好的庫存管理可以幫助企業(yè)降低成本，提高收益。另一方面，定價(jià)作為一種調(diào)節(jié)需求的工具，已經(jīng)在企業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用。特別的，動(dòng)態(tài)定價(jià)使得企業(yè)可以根據(jù)當(dāng)前市場(chǎng)環(huán)境來確定價(jià)格，給予企業(yè)更高的決策自由度，從而受到企業(yè)的青睞。隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人們生活水平的不斷提高，顧客在購物時(shí)不僅會(huì)考慮產(chǎn)品的價(jià)格與質(zhì)量，還會(huì)考慮商家的服務(wù)質(zhì)量[1]。研究表明，企業(yè)的服務(wù)水平會(huì)影響消費(fèi)者的購買決策[2]。因此，企業(yè)在進(jìn)行決策時(shí)，應(yīng)考慮服務(wù)質(zhì)量的影響[3]。在供應(yīng)鏈與運(yùn)營(yíng)管理領(lǐng)域中，產(chǎn)品的庫存服務(wù)水平是常用的服務(wù)質(zhì)量指標(biāo)[4]，在實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用[5]。庫存服務(wù)水平表征了企業(yè)庫存能完全滿足需求的概率[6]，服務(wù)水平越高，則產(chǎn)品缺貨的可能性越小。同時(shí)，良好的服務(wù)水平可以幫助企業(yè)獲得更高的客戶忠誠度，從而防止客戶的流失[7]，反之，則會(huì)造成企業(yè)商譽(yù)的損失[5]。

鑒于服務(wù)水平的重要性，在進(jìn)行定價(jià)和庫存決策時(shí)，應(yīng)考慮到對(duì)企業(yè)服務(wù)水平的影響。一些文獻(xiàn)開始研究考慮服務(wù)水平的決策問題。當(dāng)考慮服務(wù)水平時(shí)，企業(yè)的決策問題變?yōu)槎嗄繕?biāo)優(yōu)化問題，即同時(shí)追求更好的服務(wù)水平和更高的利潤(rùn)(更低的成本)。由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解較為困難，文獻(xiàn)中通常將多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為服務(wù)水平約束下的最優(yōu)決策問題。Gruson等[8]研究了服務(wù)水平約束下的批量生產(chǎn)計(jì)劃問題。Abdelaal等[9]研究了存在服務(wù)水平約束的多產(chǎn)品選擇問題，并給出最優(yōu)求解算法。Minner和Transchel[10]針對(duì)易變質(zhì)品的庫存管理問題引入服務(wù)水平約束，并驗(yàn)證了動(dòng)態(tài)庫存管理策略優(yōu)于靜態(tài)庫存管理策略。Jha和Shanker[11]研究了服務(wù)水平約束下的生產(chǎn)庫存聯(lián)合決策問題，并給出求解算法。戢守峰[12]等探討了服務(wù)水平約束下的庫存共享轉(zhuǎn)運(yùn)問題。Schulte和Pibernik[13]研究基于服務(wù)水平的差別定價(jià)問題，即企業(yè)提供多個(gè)服務(wù)水平和價(jià)格的組合供消費(fèi)者選擇，并給出差別定價(jià)優(yōu)于無差別定價(jià)的充分必要條件。段永瑞等[14]研究了當(dāng)產(chǎn)品需求依賴于服務(wù)水平時(shí)的易變質(zhì)品庫存策略，證明了解的存在唯一性，并給出了最優(yōu)服務(wù)水平與補(bǔ)貨策略。

在動(dòng)態(tài)定價(jià)與庫存管理領(lǐng)域，F(xiàn)edergruen和Heching[15]最先對(duì)動(dòng)態(tài)定價(jià)與庫存管理問題進(jìn)行了研究，并證明了該問題的最優(yōu)策略為base-stock/list-price 策略。Chen和Simchi-Levi[16]將該問題推廣到考慮訂貨固定成本的情形，并證明了(s,S)策略的最優(yōu)性。Zhang等[17]同時(shí)考慮了訂貨固定成本和供應(yīng)能力約束，證明了該情形下企業(yè)的利潤(rùn)函數(shù)是強(qiáng)CK凹的，并給出最優(yōu)補(bǔ)貨策略。Feng[18]考慮了供應(yīng)能力不確定的情形，并指出基于重補(bǔ)貨點(diǎn)的策略是最優(yōu)的。Chao等[19]研究了供應(yīng)能力服從馬氏過程的情形，給出了改進(jìn)的base-stock/list-price策略。當(dāng)訂購存在提前期時(shí)，Pang等[20]通過引入L凸的概念，證明了利潤(rùn)函數(shù)的L凸性，并進(jìn)一步刻畫了最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)性質(zhì)。針對(duì)帶有提前期的動(dòng)態(tài)定價(jià)訂購問題，Bernstein等[21]提出了一種有效的啟發(fā)式算法，將高維問題轉(zhuǎn)換為低維問題進(jìn)行求解。當(dāng)銷售的產(chǎn)品為易變質(zhì)品時(shí)，Chen等[22]證明了庫存水平和最優(yōu)需求隨著庫存向量的增大而增大。Hu等[23]研究了存在策略型消費(fèi)者的易變質(zhì)品動(dòng)態(tài)定價(jià)訂購問題，給出了問題的最優(yōu)策略。當(dāng)考慮參照價(jià)格效應(yīng)時(shí)，利潤(rùn)函數(shù)的聯(lián)合凹性不再成立。為此，Chen等[24]通過對(duì)原問題進(jìn)行變換，將非聯(lián)合凹問題轉(zhuǎn)換為聯(lián)合凹問題進(jìn)行分析。Wu等[25]同時(shí)考慮了參照價(jià)格效應(yīng)與策略型消費(fèi)者，文章指出，產(chǎn)品的最優(yōu)價(jià)格遵循均值回復(fù)過程。

為了幫助企業(yè)在定價(jià)和庫存管理的同時(shí)兼顧服務(wù)水平，本文研究考慮服務(wù)水平約束的動(dòng)態(tài)定價(jià)與庫存管理問題。具體地，考慮一個(gè)企業(yè)在有限期內(nèi)銷售某種產(chǎn)品，產(chǎn)品的需求為隨機(jī)需求，且期望需求依賴于產(chǎn)品價(jià)格。在每一期，企業(yè)需要同時(shí)決定產(chǎn)品價(jià)格與訂購量，且最優(yōu)決策應(yīng)滿足服務(wù)水平約束。我們使用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃對(duì)問題進(jìn)行建模，并證明該問題為凸優(yōu)化問題，從而保證最優(yōu)解的存在性。由于引入了服務(wù)水平約束，問題的模型變得更加復(fù)雜，使得問題的求解變得更為困難。為了有效地對(duì)問題進(jìn)行求解，我們通過對(duì)最優(yōu)解的分析，對(duì)最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了刻畫，并給出最優(yōu)策略，將原問題的求解轉(zhuǎn)化為若干子問題的求解，降低了求解難度。同時(shí)，我們證明了最優(yōu)產(chǎn)品價(jià)格隨著期初庫存的增大而減小，即list-price 策略在服務(wù)水平約束下仍然成立。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，企業(yè)的目標(biāo)服務(wù)水平和期望利潤(rùn)之間存在權(quán)衡。當(dāng)企業(yè)追求更高的目標(biāo)服務(wù)水平時(shí)，會(huì)遭受到利潤(rùn)損失。數(shù)值模擬表明，當(dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，動(dòng)態(tài)定價(jià)策略下的利潤(rùn)損失小于傳統(tǒng)的靜態(tài)定價(jià)策略，從而驗(yàn)證了動(dòng)態(tài)定價(jià)策略的有效性。當(dāng)企業(yè)的目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，其最優(yōu)產(chǎn)品價(jià)格隨之提高，期望需求降低。這說明良好的服務(wù)質(zhì)量允許企業(yè)制定更高的價(jià)格，與此同時(shí)，企業(yè)專注于服務(wù)高端客戶，目標(biāo)客戶群減小。對(duì)于庫存方面，當(dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，企業(yè)的庫存水平和安全庫存均變大。這時(shí)，企業(yè)的庫存成本變大，這說明為了達(dá)到更好的服務(wù)水平，企業(yè)需要承擔(dān)更多的成本。

1 建立模型

考慮企業(yè)在T期內(nèi)銷售某種產(chǎn)品，每一期的編號(hào)倒序排列t=T,T-1,…,1。在第t期期初，企業(yè)觀察到當(dāng)期初始庫存It后同時(shí)決定補(bǔ)貨后庫存水平xt和產(chǎn)品價(jià)格pt，且產(chǎn)品價(jià)格和庫存水平應(yīng)滿足服務(wù)水平約束。此時(shí)，企業(yè)的訂購量為xt-It，對(duì)應(yīng)的訂購成本為ct(xt-It)，其中ct表示單位訂購成本。當(dāng)企業(yè)完成定價(jià)與訂購決策后，補(bǔ)貨即時(shí)完成，接著隨機(jī)需求實(shí)現(xiàn)。當(dāng)需求小于企業(yè)庫存水平時(shí)，剩余的庫存轉(zhuǎn)移到下一期，并產(chǎn)生相應(yīng)的庫存成本；反之，缺貨情況出現(xiàn)，所有未滿足的需求延遲到下一期滿足，并產(chǎn)生相應(yīng)的缺貨成本。令Ht(z)表示庫存成本與缺貨成本函數(shù)，當(dāng)z>0時(shí)，Ht(z)代表庫存成本，z<0，則代表缺貨成本。本文假設(shè)Ht(z)為凸函數(shù)[15]。

在第t期，產(chǎn)品需求Dt的表達(dá)式為Dt=εtdt(pt)+ηt[26]。其中，dt(pt)為期望需求，是產(chǎn)品價(jià)格pt的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)。εt和ηt為獨(dú)立隨機(jī)變量，其實(shí)現(xiàn)值為εt0和ηt0。隨機(jī)變量εt刻畫了和產(chǎn)品價(jià)格相關(guān)的市場(chǎng)隨機(jī)擾動(dòng)，ηt刻畫了獨(dú)立于產(chǎn)品價(jià)格的市場(chǎng)隨機(jī)擾動(dòng)。不失一般性，假設(shè)E(εt)=1,E(ηt)=0。 由于期望需求函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性，價(jià)格可以表示為期望需求的函數(shù)pt(dt)。為了便于分析，本文接下來使用期望需求作為決策變量。當(dāng)期望需求確定時(shí)，產(chǎn)品價(jià)格將隨之確定。

下面考慮服務(wù)水平約束。在每一期，企業(yè)的服務(wù)水平St應(yīng)不小于給定的目標(biāo)服務(wù)水平S0，即St≥S0。根據(jù)定義，服務(wù)水平St可以表示為

St={εtdt+ηt≤xt}

(1)

接下來定義決策的可行集，企業(yè)的決策應(yīng)滿足初始庫存約束和服務(wù)水平約束，從而可行集Ωt可以表示為

Ωt={(xt,dt)|xt≥It,xt≥f(dt)}

(2)

其中，第一個(gè)約束表明補(bǔ)貨后庫存水平應(yīng)不小于期初庫存水平，從而保證了訂購量的非負(fù)性。第二個(gè)約束為服務(wù)水平約束，可以看出，服務(wù)水平約束與兩個(gè)決策(xt,dt)都有關(guān)。

接下來，基于貝爾曼方程，給出企業(yè)的總期望折現(xiàn)利潤(rùn)的表達(dá)式，其形式如下

(3)

Jt(xt,dt)=ptdt-ctxt-E[Ht(xt-εt0dt-ηt0)]+

βE[vt-1(It-1)]

(4)

It-1=xt-εt0dt-ηt0

(5)

v0(I0)=c0I0

(6)

這里，vt為動(dòng)態(tài)規(guī)劃的價(jià)值函數(shù)，表示了企業(yè)的總期望折現(xiàn)利潤(rùn)，Jt為目標(biāo)函數(shù)。通過式(3)和式(4)可以看出，企業(yè)的總期望折現(xiàn)利潤(rùn)由四部分組成。第一部分為本期銷售收入ptdt，第二部分為訂購成本ct(xt-It)，第三部分為庫存成本和缺貨成本，第四部分為未來收益到本期的折現(xiàn)βE(vt-1)，其中折現(xiàn)系數(shù)為β。 式(5)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，描述了企業(yè)的庫存變動(dòng)?？梢钥闯觯髽I(yè)下一期的期初庫存，等于本期補(bǔ)貨后的庫存水平減去最終實(shí)現(xiàn)的需求。式(6)為邊界條件，當(dāng)銷售期結(jié)束時(shí)，若存在剩余庫存，則以單價(jià)c0處理。若存在未滿足需求，則以單價(jià)c0訂貨并全部滿足。

2 最優(yōu)策略

從式(3)～(5)可以看出，該問題為一個(gè)狀態(tài)變量?jī)蓚€(gè)決策變量的隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，并包含兩個(gè)約束，從而直接求解較為困難。為此，本文通過分析問題最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)，給出最優(yōu)策略，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。首先給出本文的假設(shè)。

假設(shè)1函數(shù)pt(dt)dt關(guān)于dt為凹函數(shù)。

假設(shè)2服務(wù)水平約束函數(shù)f(dt)關(guān)于dt單調(diào)遞增且為連續(xù)凸函數(shù)。

假設(shè)1表明企業(yè)收入pt(dt)dt關(guān)于期望需求dt邊際效益遞減，線性需求函數(shù)和指數(shù)型需求函數(shù)均滿足該假設(shè)。對(duì)于線性需求函數(shù)dt(pt)=at-pt，其反函數(shù)為pt(dt)=at-dt。對(duì)于指數(shù)型需求函數(shù)dt(pt)=ate-pt，其反函數(shù)為pt(dt)=lnat-lndt。假設(shè)2表明當(dāng)期望需求dt增加時(shí)，為了滿足需求，企業(yè)需要提高庫存水平f(dt)，常見的正態(tài)分布滿足該假設(shè)。基于以上假設(shè)，可以得到如下結(jié)論。

引理1利潤(rùn)函數(shù)vt(It)關(guān)于It是凹函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)Jt(xt,dt)關(guān)于xt和dt是聯(lián)合凹函數(shù)，可行集Ωt為凸集。

為了刻畫問題的最優(yōu)策略，引入下列子問題。首先給出子問題1，如下

maxJt(xt,dt)

(7)

接著給出子問題2，如下

(8)

最后給出子問題3，如下

(9)

基于上面的三個(gè)子問題，我們可以給出如下最優(yōu)策略。

定理1最優(yōu)決策可分為下列幾種情形:

定理1表明，問題的最優(yōu)解可分為四種情形。在求解時(shí)，首先求解子問題1，進(jìn)而分情況討論。對(duì)于情形一，子問題1 的最優(yōu)解屬于原問題的可行集，則該解即原問題的最優(yōu)解。對(duì)于情形二，子問題1的最優(yōu)解滿足初始庫存約束，不滿足服務(wù)水平約束，則子問題2的最優(yōu)解為原問題的最優(yōu)解。對(duì)于情形三，子問題1的最優(yōu)解滿足服務(wù)水平約束，不滿足初始庫存約束，通過求解子問題3即可得到原問題的最優(yōu)解。對(duì)于情形四，當(dāng)初始庫存約束與服務(wù)水平約束均不滿足時(shí)，需要比較子問題2和子問題3的最優(yōu)解，選取使得利潤(rùn)函數(shù)更大的子問題最優(yōu)解作為原問題最優(yōu)解。

接下來，分析初始庫存對(duì)最優(yōu)價(jià)格的影響，首先給出一個(gè)引理。

引理2問題的可行集Ωt是一個(gè)格。

定理2表明，當(dāng)期初庫存增加時(shí)，最優(yōu)產(chǎn)品價(jià)格減小，期望需求增大。這說明，企業(yè)面臨庫存積壓時(shí)，將選擇降價(jià)促銷，吸引更多的需求，以便于更好地處理積壓庫存。定理2說明，當(dāng)考慮服務(wù)水平約束時(shí)，傳統(tǒng)的list-price策略仍然成立。

下面分析服務(wù)水平約束對(duì)企業(yè)利潤(rùn)的影響，首先給出一個(gè)引理，揭示服務(wù)水平約束對(duì)庫存水平的影響。

基于引理3，可以證明如下結(jié)論。

定理3總期望折現(xiàn)利潤(rùn)vt隨著目標(biāo)服務(wù)水平s0的增加而減小。

從定理3可以看出，當(dāng)企業(yè)追求更高的服務(wù)水平時(shí)會(huì)遭受利潤(rùn)損失，這意味著企業(yè)無法同時(shí)追求利潤(rùn)與服務(wù)水平，即企業(yè)的目標(biāo)服務(wù)水平和期望利潤(rùn)之間存在權(quán)衡。這是因?yàn)椋?dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，企業(yè)需要持有更多的庫存，從而庫存成本增加，利潤(rùn)減少。因此，企業(yè)應(yīng)制定合理的目標(biāo)服務(wù)水平，防止由于追求過高的服務(wù)水平所帶來的不必要利潤(rùn)損失。

3 數(shù)值仿真

本節(jié)首先通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行敏感性分析，研究不同目標(biāo)服務(wù)水平下企業(yè)最優(yōu)決策的變化。進(jìn)而研究服務(wù)水平約束對(duì)企業(yè)利潤(rùn)的影響，并將本文提出的動(dòng)態(tài)定價(jià)策略與傳統(tǒng)的靜態(tài)定價(jià)策略進(jìn)行對(duì)比。最后通過算例，對(duì)最優(yōu)策略給出直觀的幾何解釋。

3.1 敏感性分析

下面給出實(shí)驗(yàn)的設(shè)定與參數(shù)。企業(yè)的銷售期T=5，期望需求函數(shù)為d=50-p，折現(xiàn)系數(shù)β=0.99。令庫存和缺貨成本函數(shù)為二次形式H(z)=h(z+)2+b(z-)2，h=1為庫存成本系數(shù)，b=2為缺貨成本系數(shù)。為了刻畫訂購成本的波動(dòng)，令c=[15,10,15,15,10]表示訂購成本向量，邊界條件c0=10。隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)ε～N(1,0.1)，η～N(0,1)。當(dāng)計(jì)算期望時(shí)，采用蒙特卡洛方法，產(chǎn)生5000組隨機(jī)實(shí)現(xiàn)值進(jìn)行估計(jì)。

首先分析服務(wù)水平的變化對(duì)最優(yōu)價(jià)格與期望需求的影響，結(jié)果如圖1。

圖1 目標(biāo)服務(wù)水平對(duì)最優(yōu)產(chǎn)品價(jià)格和期望需求的影響

圖1(a)給出了不同目標(biāo)服務(wù)水平下的最優(yōu)價(jià)格，圖1(b)為對(duì)應(yīng)的期望需求。從圖中可以看出，當(dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，最優(yōu)價(jià)格隨之提高。因此，當(dāng)企業(yè)決定采用更高的目標(biāo)服務(wù)水平，提供更優(yōu)質(zhì)的服務(wù)時(shí)，企業(yè)會(huì)提高產(chǎn)品的定價(jià)，從而獲得更高的邊際收益。進(jìn)一步，由于價(jià)格的提高，產(chǎn)品期望需求變小。這說明，當(dāng)服務(wù)水平變高時(shí)，企業(yè)的目標(biāo)客戶群變小，即更傾向于服務(wù)高價(jià)值客戶。綜上，當(dāng)服務(wù)水平較高時(shí)，企業(yè)會(huì)使用聚焦戰(zhàn)略，縮小目標(biāo)客戶群，從單個(gè)客戶獲取更高的邊際收益，同時(shí)提供更優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。

接下來分析目標(biāo)服務(wù)水平對(duì)最優(yōu)庫存水平和安全庫存的影響，結(jié)果如圖2。安全庫存是企業(yè)為了應(yīng)對(duì)需求不確定而準(zhǔn)備的緩沖庫存，可以表示為庫存水平與期望需求的差，即Δt=xt-dt。

圖2 目標(biāo)服務(wù)水平對(duì)最優(yōu)庫存水平和安全庫存的影響

從圖2可以看出，當(dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，企業(yè)的最優(yōu)庫存水平提高，安全庫存變大。當(dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，為了滿足服務(wù)水平約束，企業(yè)需要相應(yīng)地增加安全庫存。隨著安全庫存的增大，企業(yè)的庫存成本變大，因此，追求高的服務(wù)水平將承受利潤(rùn)損失。進(jìn)一步，當(dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，企業(yè)的最優(yōu)庫存水平變大，即企業(yè)應(yīng)持有更多的庫存。

3.2 利潤(rùn)分析

下面分析服務(wù)水平約束對(duì)利潤(rùn)的影響，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。為了更好地量化引入動(dòng)態(tài)定價(jià)對(duì)企業(yè)利潤(rùn)的影響，定義絕對(duì)利潤(rùn)差vδ=vd-vs，其中，vd代表動(dòng)態(tài)定價(jià)策略下的期望利潤(rùn)，vs代表靜態(tài)定價(jià)策略下的期望利潤(rùn)。進(jìn)一步，定義相對(duì)利潤(rùn)差r=(vd-vs)/vs。

圖3(a)給出了不同服務(wù)水平約束下動(dòng)態(tài)定價(jià)與靜態(tài)定價(jià)的期望利潤(rùn)。從圖中可以看出，隨著目標(biāo)服務(wù)水平的變大，企業(yè)的利潤(rùn)隨之降低。這是因?yàn)?，?dāng)目標(biāo)服務(wù)水平變大時(shí)，企業(yè)需要持有更多的庫存，進(jìn)而庫存成本變大，利潤(rùn)降低。進(jìn)一步可以看出，對(duì)于不同的服務(wù)水平約束，動(dòng)態(tài)定價(jià)的期望利潤(rùn)一致好于靜態(tài)定價(jià)。由圖3(b)可以看出，動(dòng)態(tài)定價(jià)與靜態(tài)定價(jià)的利潤(rùn)差隨著目標(biāo)服務(wù)水平的變大而增大。圖3(c)給出了不同服務(wù)水平約束下的相對(duì)利潤(rùn)差。從圖中可以看出，隨著服務(wù)水平約束的增大，相對(duì)利潤(rùn)差也隨之增大。這個(gè)結(jié)論說明，當(dāng)服務(wù)水平要求越高時(shí)，采用動(dòng)態(tài)定價(jià)所帶來的收益越大。

圖3 目標(biāo)服務(wù)水平對(duì)利潤(rùn)的影響

圖4 期初庫存對(duì)利潤(rùn)的影響

接下來分析期初庫存對(duì)期望利潤(rùn)的影響。從圖4(a)可以看出，企業(yè)的利潤(rùn)關(guān)于初始庫存為凹函數(shù)。隨著期初庫存的變大，企業(yè)的利潤(rùn)先增大，再減小。這是因?yàn)椋?dāng)期初庫存較小時(shí)，最優(yōu)庫存水平大于期初庫存，此時(shí)期初庫存的變化不影響最優(yōu)庫存水平和產(chǎn)品價(jià)格。因此，當(dāng)期初庫存變大時(shí)，訂購成本減小，利潤(rùn)增加。當(dāng)期初庫存較大時(shí)，企業(yè)需要打折促銷來降低庫存，從而導(dǎo)致利潤(rùn)損失。進(jìn)一步，可以看出，對(duì)于不同的期初庫存，動(dòng)態(tài)定價(jià)策略的期望利潤(rùn)一致的高于靜態(tài)定價(jià)策略。圖4(b)(c)給出了不同期初庫存下的絕對(duì)利潤(rùn)差與相對(duì)利潤(rùn)差?？梢钥闯?，隨著期初庫存的增大，利潤(rùn)差首先緩慢減小，進(jìn)而快速增大。這是因?yàn)椋髽I(yè)的邊際利潤(rùn)隨著期初庫存遞減，且動(dòng)態(tài)定價(jià)的利潤(rùn)大于靜態(tài)定價(jià)利潤(rùn)，從而隨著期初庫存的增加，動(dòng)態(tài)定價(jià)的邊際利潤(rùn)先于靜態(tài)定價(jià)的邊際利潤(rùn)而減少，從而利潤(rùn)差變小。當(dāng)庫存水平進(jìn)一步增大時(shí)，靜態(tài)定價(jià)的邊際利潤(rùn)也開始減小，由于動(dòng)態(tài)定價(jià)下企業(yè)可以更好的匹配庫存與需求，從而動(dòng)態(tài)定價(jià)的邊際利潤(rùn)減小幅度小于靜態(tài)定價(jià)，從而利潤(rùn)差變大。這個(gè)結(jié)論說明，當(dāng)期初庫存越大時(shí)，相較于靜態(tài)定價(jià)策略，動(dòng)態(tài)定價(jià)策略可以獲得更好的表現(xiàn)。當(dāng)采用動(dòng)態(tài)定價(jià)策略時(shí)，企業(yè)可以根據(jù)當(dāng)前的期初庫存水平動(dòng)態(tài)調(diào)節(jié)產(chǎn)品的價(jià)格，從而更好地匹配供應(yīng)和需求。采用動(dòng)態(tài)定價(jià)策略給企業(yè)提供了更高的決策自由度，從而幫助企業(yè)更好地應(yīng)對(duì)需求的波動(dòng)，并獲得更大的利潤(rùn)。

3.3 最優(yōu)策略幾何解釋

圖5 對(duì)最優(yōu)策略的幾何解釋。(T=3,h=0.1,b=3)

4 結(jié)論

本文研究存在服務(wù)水平約束的動(dòng)態(tài)定價(jià)與庫存管理問題。在有限銷售期內(nèi)，企業(yè)需要滿足隨機(jī)需求，且期望需求依賴于產(chǎn)品價(jià)格。在每一期期初，企業(yè)觀察到期初庫存水平，進(jìn)而同時(shí)決定產(chǎn)品價(jià)格和補(bǔ)貨后庫存水平。本文應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃對(duì)問題進(jìn)行建模，給出了企業(yè)總期望折現(xiàn)利潤(rùn)的表達(dá)式。進(jìn)一步，證明了最優(yōu)解的存在性，并給出最優(yōu)策略。通過對(duì)最優(yōu)解的分析，我們證明了最優(yōu)價(jià)格隨著期初庫存的增大而減小，從而傳統(tǒng)的list-price策略在服務(wù)水平約束下依然成立。通過分析目標(biāo)服務(wù)水平對(duì)企業(yè)利潤(rùn)的影響，我們發(fā)現(xiàn)企業(yè)的服務(wù)水平與利潤(rùn)之間存在權(quán)衡。當(dāng)企業(yè)提高目標(biāo)服務(wù)水平時(shí)，會(huì)承受利潤(rùn)損失。從而，企業(yè)無法同時(shí)追求高的服務(wù)水平和利潤(rùn)。

數(shù)值模擬表明，相對(duì)于靜態(tài)定價(jià)策略，動(dòng)態(tài)定價(jià)策略可以降低追求目標(biāo)服務(wù)水平所帶來的利潤(rùn)損失。從而，通過引入動(dòng)態(tài)定價(jià)策略，企業(yè)可以更好地兼顧服務(wù)水平與利潤(rùn)。當(dāng)企業(yè)采用高目標(biāo)服務(wù)水平時(shí)，最優(yōu)產(chǎn)品價(jià)格變大，需求變小。此時(shí)，企業(yè)采用聚焦戰(zhàn)略，縮小目標(biāo)客戶群，并將目標(biāo)客戶群集中在高價(jià)值客戶上，從而賺取更高的邊際利潤(rùn)。同時(shí)，當(dāng)服務(wù)水平提高時(shí)，企業(yè)的庫存水平和安全庫存增加，從而成本增大，這意味著實(shí)現(xiàn)高的服務(wù)水平需要更高的成本。通過比較動(dòng)態(tài)定價(jià)策略和靜態(tài)定價(jià)策略的利潤(rùn)可以看出，對(duì)于不同的服務(wù)水平約束和期初庫存，動(dòng)態(tài)定價(jià)策略的利潤(rùn)一致高于靜態(tài)定價(jià)策略的利潤(rùn)。進(jìn)一步，當(dāng)服務(wù)水平越高或期初庫存越大時(shí)，引入動(dòng)態(tài)定價(jià)所帶來的利潤(rùn)提升會(huì)越大。