程綿綿，孫 群，徐 立，陳換新

1. 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450001； 2. 96911部隊(duì)，北京 100011

線化簡(jiǎn)是自動(dòng)制圖綜合中的重要內(nèi)容和經(jīng)典研究問(wèn)題之一，目的是減少目標(biāo)的表達(dá)細(xì)節(jié)而代之以總的圖形特征，迄今為止，已有大量算法提出[1-2]。與此同時(shí)，如何對(duì)化簡(jiǎn)算法進(jìn)行評(píng)價(jià)、合理選用以及如何實(shí)現(xiàn)算法的自動(dòng)化成為新的需要研究的課題。針對(duì)這一研究，有學(xué)者提出利用相似性分析不同化簡(jiǎn)算法的特點(diǎn)和進(jìn)行自動(dòng)化簡(jiǎn)，如文獻(xiàn)[3—6]分別利用多級(jí)弦長(zhǎng)、傅里葉形狀描述子、多級(jí)弦長(zhǎng)拱高復(fù)函數(shù)及多級(jí)彎曲度半徑復(fù)函數(shù)構(gòu)建相似性度量模型，通過(guò)度量化簡(jiǎn)結(jié)果的相似性變化規(guī)律，分析了制圖綜合領(lǐng)域典型線化簡(jiǎn)算法的特點(diǎn)。這些方法主要是利用相似性對(duì)化簡(jiǎn)算法特點(diǎn)作出評(píng)價(jià)，沒(méi)有將相似性用于約束化簡(jiǎn)過(guò)程。文獻(xiàn)[7—9]構(gòu)建了線要素相似關(guān)系度量模型，研究了線要素相似性同尺度變化的關(guān)系，構(gòu)建了相似性隨尺度變化的關(guān)系式，并據(jù)此反推化簡(jiǎn)算法的閾值參數(shù)。該方法為化簡(jiǎn)算法的自動(dòng)執(zhí)行提供了一種有效思路，但是其相似性度量模型較簡(jiǎn)單，對(duì)形狀的相似性度量能力存在一定不足，更為關(guān)鍵的是該方法的前提條件是不同復(fù)雜度的目標(biāo)在相同尺度變化情況下相似度相同，但未進(jìn)行相關(guān)驗(yàn)證?；?jiǎn)是簡(jiǎn)化目標(biāo)細(xì)節(jié)的一種操作，即降低目標(biāo)的復(fù)雜程度，然而現(xiàn)階段，缺少相關(guān)的模型對(duì)目標(biāo)的復(fù)雜度進(jìn)行定量描述。另外，針對(duì)不同復(fù)雜度的目標(biāo)，從一個(gè)尺度通過(guò)制圖綜合操作變換到另一尺度，其改變的程度是否相同，即相似度是否相同，目前鮮有相關(guān)研究，而這一研究可為化簡(jiǎn)算法的自動(dòng)運(yùn)行提供理論依據(jù)。

針對(duì)該問(wèn)題，本文對(duì)面輪廓相似性和復(fù)雜性同時(shí)展開(kāi)研究。首先利用面向矢量數(shù)據(jù)的基于弦特征矩陣的相似性度量模型，對(duì)面輪廓線化簡(jiǎn)前后的相似性進(jìn)行度量，然后引入復(fù)雜度的概念，建立輪廓形狀復(fù)雜性度量模型，對(duì)目標(biāo)的復(fù)雜度進(jìn)行定量描述。在驗(yàn)證兩類模型有效性的基礎(chǔ)上，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)，探索不同復(fù)雜度目標(biāo)在不同尺度下相似性的變化規(guī)律，并據(jù)此給出相似性約束的自動(dòng)化簡(jiǎn)一般流程，使相似性約束的自動(dòng)化簡(jiǎn)方法更具科學(xué)依據(jù)。

1 面向矢量數(shù)據(jù)的弦特征矩陣相似性度量模型

矢量數(shù)據(jù)與柵格數(shù)據(jù)是兩種基本的數(shù)據(jù)組織方式，針對(duì)兩類數(shù)據(jù)模型的計(jì)算也有很大差異。弦特征矩陣形狀描述子是針對(duì)柵格圖像的形狀描述方法，目前主要應(yīng)用于植物葉片圖像的分類和檢索[10]。本文將這一思想應(yīng)用于面狀矢量數(shù)據(jù)，構(gòu)造面向矢量數(shù)據(jù)的弦特征矩陣相似性度量模型。

1.1 形狀的弦特征矩陣描述

1.1.1 形狀弦特征矩陣

一個(gè)由K個(gè)點(diǎn)序列構(gòu)成的目標(biāo)形狀可表示為A={Pi=(xi,yi)|i=1,2,…,K}。從Pi點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较驅(qū)ζ溥M(jìn)行均勻采樣，將輪廓按弧長(zhǎng)等分為N個(gè)弧段，且N滿足2T=N，其中T為正整數(shù)，則該目標(biāo)可用采樣后的點(diǎn)序列{Qi=(xi,yi)|i=1,2,…,N}表達(dá)。圖1所示為用32個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)原始43個(gè)節(jié)點(diǎn)的形狀輪廓重采樣的結(jié)果。

圖1 輪廓重采樣及弦特征Fig.1 Resampling and chord feature of the contour

對(duì)于重采樣后的目標(biāo)形狀，給出以下4個(gè)定義。

定義1：弦長(zhǎng)，指從輪廓線上的點(diǎn)Qi(xi,yi)出發(fā)，沿輪廓線按逆時(shí)針?lè)较虻竭_(dá)另一點(diǎn)Qi+s(xi+s,yi+s)所經(jīng)過(guò)的弧段對(duì)應(yīng)弦的長(zhǎng)度，用ls,i表示，其中S為步長(zhǎng)，弦長(zhǎng)的計(jì)算公式為

(1)

(2)

式中，m是落入多邊形內(nèi)部各小段弦的數(shù)量；dj是各小段弦的長(zhǎng)度，可通過(guò)多邊形裁剪算法及簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)運(yùn)算得到。

(3)

(4)

需要說(shuō)明的是，特殊情況下，當(dāng)Qi(xi,yi)和Qi+s(xi+s,yi+s)均在輪廓線某條邊上時(shí)，即弦與邊共線，此時(shí)弦既不是內(nèi)弦也不是外弦，本文約定Qi(xi,yi)到Qi+s(xi+s,yi+s)直線距離長(zhǎng)度為內(nèi)弦長(zhǎng)。

(1) 外弦長(zhǎng)矩陣

(5)

(2) 內(nèi)外弦絕對(duì)差矩陣

(6)

(3) 平均投影長(zhǎng)度矩陣

(7)

以上矩陣共同構(gòu)成了一個(gè)形狀描述子，記作CFM=(OM,IODM,PM)，其中CFM稱為弦特征矩陣描述子。

1.1.2 特征歸一化處理

形狀特征的描述需要滿足相似變換的不變性，即形狀描述不會(huì)隨著目標(biāo)的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放變化。因此，需要對(duì)抽取的形狀特征進(jìn)行歸一化處理。首先，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生平移時(shí)，顯然不會(huì)影響上述三類特征值的計(jì)算結(jié)果，因此弦特征矩陣描述子具有平移不變性。當(dāng)目標(biāo)發(fā)生縮放時(shí)，由于相同尺度的特征位于矩陣的同一行，可以按行進(jìn)行歸一化操作，保證各個(gè)尺度的特征在目標(biāo)識(shí)別中具有相同的貢獻(xiàn)。具體做法是，對(duì)矩陣的每一行的元素，用該行的最大值進(jìn)行歸一化處理。當(dāng)目標(biāo)發(fā)生旋轉(zhuǎn)時(shí)，雖然三類特征值大小不會(huì)改變，但是會(huì)使起始采樣點(diǎn)發(fā)生改變，引起矩陣元素的環(huán)形移位。為使弦特征矩陣描述子滿足旋轉(zhuǎn)不變性，采用傅里葉變換進(jìn)行歸一化操作。具體做法是：將矩陣的每一行看作一個(gè)一維的離散信號(hào)，對(duì)其進(jìn)行一維離散傅里葉變換。根據(jù)傅里葉變換的原理，當(dāng)一維信號(hào)發(fā)生平移時(shí)，其傅里葉變換系數(shù)的模不發(fā)生改變，這正好滿足旋轉(zhuǎn)不變性的要求。

(8)

經(jīng)過(guò)快速傅里葉變換后，對(duì)于每一個(gè)傅里葉系數(shù)ft(n)，計(jì)算它的模|ft(n)|。由于各行獨(dú)立，用各行第1個(gè)元素分別進(jìn)行歸一化，可使|ft(0)|=1，|ft(n)|≤1,(n>1)。用歸一化后的序列替代原來(lái)的行，此時(shí)每一行向量的長(zhǎng)度依然為N。根據(jù)傅里葉變換原理，信號(hào)的能量主要集中在低頻部分，因此為了消除噪聲的影響及增強(qiáng)描述子的緊致性[11]，可取前M個(gè)低頻系數(shù)(M?N)作為形狀描述子。通過(guò)此操作，弦特征矩陣描述子的3個(gè)矩陣的維數(shù)全部變?yōu)?T-1)×M。

1.2 相似性度量模型的建立

1.2.1 利用弦特征矩陣度量形狀相似性

弦特征矩陣描述子滿足平移、旋轉(zhuǎn)和縮放不變性，可以通過(guò)直接比較兩個(gè)形狀描述子的3個(gè)矩陣來(lái)度量?jī)蓚€(gè)形狀的差異度。設(shè)形狀A(yù)、B弦特征描述子分別為αA、βA、γA和αB、βB、γB，用矩陣間的歐氏距離，即矩陣差的二范數(shù)計(jì)算形狀A(yù)、B間的差異度，有

d(A,B)shape=(‖αA-αB‖+‖βA-βB‖+

‖γA-γB‖)/(3sqrt((T-1)M))

(9)

式中，‖·‖表示計(jì)算矩陣的二范數(shù)；sqrt(·)表示計(jì)算開(kāi)方。由于弦特征描述子各矩陣均進(jìn)行了歸一化，有d(A,B)shape∈[0,1]。從而A、B間的形狀相似度可表示為

sim(A,B)shape=1-d(A,B)shape

(10)

式中，sim(A,B)shape∈[0,1]。

1.2.2 綜合相似性度量模型的建立

(11)

2 輪廓形狀復(fù)雜性度量模型

形狀的復(fù)雜性是一個(gè)直觀性很強(qiáng)卻又難以定量描述的概念，現(xiàn)階段學(xué)術(shù)界也沒(méi)有公認(rèn)的嚴(yán)格定義。人們直覺(jué)上通常從輪廓線長(zhǎng)度、面積及對(duì)形狀的熟悉程度來(lái)感受圖形的復(fù)雜度，認(rèn)為越光滑和越充實(shí)的形狀越不復(fù)雜，平滑的輪廓線及較小的周長(zhǎng)與較大的面積是光滑充實(shí)的表現(xiàn)[13-14]。現(xiàn)有的圖形復(fù)雜度計(jì)算方法主要有基于多邊形三角剖分[15]、基于彎曲[16-17]及基于分形[18-19]的方法等，這些方法大多不是針對(duì)地理空間數(shù)據(jù)，或者不能對(duì)凹多邊形和凸多邊形建立統(tǒng)一的度量模型[20]。本文將輪廓線彎曲看成振動(dòng)的波，從波振動(dòng)的頻率和幅度兩個(gè)方面建立復(fù)雜度描述因子，最終構(gòu)建復(fù)雜性度量模型。需要說(shuō)明的是，此處將輪廓線看成振動(dòng)的波，只是一種類比，方便理解，與1.1.2節(jié)中傅里葉變換并無(wú)關(guān)聯(lián)。

2.1 輪廓邊振動(dòng)頻率的描述

定義5：方向變化，考慮4個(gè)連續(xù)的節(jié)點(diǎn)，即3條連續(xù)的邊，第2條邊相對(duì)于第1條邊的走向?yàn)橄蜃?或右)，如果下一條邊的走向?yàn)橄蛴?或左)，則稱這種情形為一次方向變化，也稱一次振動(dòng)。圖2描述了發(fā)生方向變化及不發(fā)生方向變化的情形。

為了描述振動(dòng)頻率的大小，首先給出凹口的概念。

定義6：凹口，假設(shè)從輪廓的某個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，則每個(gè)右方向的邊的起始節(jié)點(diǎn)處是下凹的，稱該部位為輪廓形狀的一個(gè)凹口。圖3展示了無(wú)凹多邊形和帶凹口多邊形。顯然，帶有凹口的多邊形為凹多邊形，且內(nèi)角大于π的節(jié)點(diǎn)處為凹口。對(duì)于某一多邊形A，設(shè)nA為凹口數(shù)量，vA為頂點(diǎn)數(shù)量，用PA表示凹口的比例，有

PA=nA/vA

(12)

圖2 方向變化舉例Fig.2 Examples for changes of direction

圖3 凹口舉例Fig.3 Example of a notch

分析發(fā)現(xiàn)，方向變化的數(shù)量與凹口的數(shù)量有關(guān)，如圖4所示。凹口的比例越接近于0.5，方向變化數(shù)越多，振動(dòng)頻率越大，形狀越復(fù)雜；凹口的比例越接近于0或1，方向變化數(shù)越少，振動(dòng)頻率越小，形狀越簡(jiǎn)單。為了使PA接近于0.5時(shí)復(fù)雜度最大、接近于0或1時(shí)復(fù)雜度最小，對(duì)PA進(jìn)行非線性變換，有

freq(A)=16(PA-0.5)4-8(PA-0.5)2+1

(13)

式中，freq(A)為以凹口比例為指標(biāo)的復(fù)雜度描述因子。

圖4 不同凹口比例的多邊形Fig.4 Polygons with different values of vibretion frequency

2.2 輪廓邊振動(dòng)幅度的描述

為定量描述振動(dòng)的幅度，考察兩點(diǎn)之間的連接，顯然兩點(diǎn)之間直線距離最短。圖5為不同復(fù)雜度多邊形的凸殼?？梢钥闯?，多邊形輪廓從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的距離越長(zhǎng)則該部位越復(fù)雜，因此可以用輪廓周長(zhǎng)相對(duì)凸殼周長(zhǎng)的相對(duì)增量描述振動(dòng)的幅度，有

(14)

式中，ampl_prei(A)為以周長(zhǎng)為指標(biāo)的復(fù)雜度描述因子；prei(·)為周長(zhǎng)算子；convexhull(·)表示計(jì)算凸殼。

圖5 不同復(fù)雜度多邊形的凸殼Fig.5 Convex hulls of polygon with different complexity

分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)于凸多邊形，freq(A)及ampl_prei(A)的特征值為0，不能對(duì)凸多邊形復(fù)雜度進(jìn)行度量。因此，利用多邊形與其最小外包圓間面積的相對(duì)關(guān)系來(lái)度量不同多邊形的復(fù)雜度，如圖6所示。用circle(·)表示計(jì)算最小外包圓，area(·)為面積算子，有

(15)

式中，ampl_area(A)稱為以面積為指標(biāo)的復(fù)雜度描述因子。

圖6 不同復(fù)雜度多邊形的最小外包圓Fig.6 Minimum envelope of polygon with different complexity

2.3 綜合復(fù)雜性度量模型

上述3個(gè)因子分別從輪廓的凹口比例、周長(zhǎng)比及面積比3個(gè)方面對(duì)多邊形輪廓的復(fù)雜度進(jìn)行了度量。分析發(fā)現(xiàn)，freq(A)與ampl_prei(A)對(duì)形狀復(fù)雜度描述能力較強(qiáng)，且當(dāng)二者同時(shí)具有較大值時(shí)，復(fù)雜度較大，因此將二者相乘并分配較大權(quán)值，ampl_area(A)只用來(lái)區(qū)分凸多邊形的復(fù)雜度，對(duì)其分配較小權(quán)重，從而得到能夠度量凹多邊形和凸多邊形復(fù)雜度的計(jì)算公式

compl(A)=0.7freq(A)×ampl_prei(A)+

0.3ampl_area(A)

(16)

由于freq(A)、ampl_prei(A)、ampl_area(A)∈[0,1]，有compl(A)∈[0,1]。

需要說(shuō)明的是，上述權(quán)重的設(shè)置主要是依據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定的，本文后續(xù)會(huì)通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證其合理性。當(dāng)然也可根據(jù)需要，通過(guò)其他方式組合這3個(gè)因子構(gòu)造綜合復(fù)雜性度量模型。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證及應(yīng)用

3.1 相似性及復(fù)雜性度量模型合理性驗(yàn)證

3.1.1 相似性度量模型合理性驗(yàn)證

以某面狀湖泊輪廓線為原始數(shù)據(jù)，利用ArcGIS中point_remove[21]與bend_simplify[22]兩種化簡(jiǎn)算法對(duì)目標(biāo)以不同閾值化簡(jiǎn)，運(yùn)用本文形狀相似性度量模型和綜合相似性度量模型分別度量化簡(jiǎn)前后的相似值，探尋相似值隨化簡(jiǎn)閾值的變化情況。取參數(shù)N=128、M=10、wi=0.25(i=1,2,3,4)，表示化簡(jiǎn)前后在空間位置、大小、方向和形狀的關(guān)注程度一致。兩種化簡(jiǎn)方法初始閾值均設(shè)為1 km(實(shí)際距離)，步長(zhǎng)1 km，最大值10 km，對(duì)實(shí)心湖泊輪廓線進(jìn)行化簡(jiǎn)，分別得到10個(gè)化簡(jiǎn)結(jié)果和相似值。圖7為閾值分別為4 km和5 km時(shí)，兩種化簡(jiǎn)方法對(duì)應(yīng)的結(jié)果。圖8顯示了兩種化簡(jiǎn)方法形狀相似度和總相似度隨化簡(jiǎn)閾值的變化規(guī)律。

由于兩種化簡(jiǎn)算法的參數(shù)閾值具有不同的含義，在不考慮化簡(jiǎn)程度的情況下，單純比較同一閾值的相似度沒(méi)有實(shí)際意義。但是可以看出，隨著化簡(jiǎn)閾值的增加，兩種化簡(jiǎn)算法所得結(jié)果的形狀相似度和總相似度均逐漸減小，與人的直觀感受一致，說(shuō)明本文方法能夠正確區(qū)分不同化簡(jiǎn)程度下目標(biāo)的形狀相似性和總相似性。

3.1.2 復(fù)雜性度量模型合理性驗(yàn)證

選取中國(guó)境內(nèi)某比例尺48個(gè)湖泊輪廓線為試驗(yàn)對(duì)象。試驗(yàn)前，為了減小數(shù)據(jù)自身的影響，按文獻(xiàn)[23]方法對(duì)輪廓線中節(jié)點(diǎn)進(jìn)行稀疏處理，刪除不必要的節(jié)點(diǎn)。運(yùn)用本文復(fù)雜性度量方法，分別計(jì)算其復(fù)雜度，按照復(fù)雜度從小到大的排序如圖9所示(未按實(shí)際大小比例繪制)。

圖7 兩種化簡(jiǎn)方法的對(duì)比Fig.7 The comparison of two methods of simplification

圖8 相似度隨閾值變化圖Fig.8 The relationships between similarity and threshold

圖9 不同湖泊輪廓線的復(fù)雜度排序Fig.9 Different lake contour lines according to complexity

從圖9可以看出，復(fù)雜度越小的目標(biāo)，形狀越充實(shí)，輪廓線越光滑；復(fù)雜度越大的目標(biāo)，形狀越不規(guī)則，輪廓線越不光滑。這一結(jié)果與人們的直觀感受基本一致，說(shuō)明運(yùn)用本文方法，能夠正確區(qū)分不同目標(biāo)的復(fù)雜度。

以下進(jìn)一步驗(yàn)證復(fù)雜性度量模型的合理性，研究復(fù)雜性度量模型組成因子間的相關(guān)性。如圖10所示，(a)圖為因子freq與ampl_area相對(duì)于ampl_prei的相關(guān)性曲線，(b)圖為因子freq與ampl_prei相對(duì)于ampl_area的相關(guān)性曲線。可以看出，僅當(dāng)ampl_prei與ampl_area值較小時(shí)(ampl_prei<0.3,ampl_area<0.55，即較簡(jiǎn)單的目標(biāo))，其余兩個(gè)因子存在一定的相關(guān)性，當(dāng)數(shù)值較大時(shí)，其余兩個(gè)因子不存在明顯的相關(guān)性。這說(shuō)明除了簡(jiǎn)單目標(biāo)外，3個(gè)參數(shù)間不存在相關(guān)性。因此，運(yùn)用本文3個(gè)因子進(jìn)行目標(biāo)復(fù)雜性度量是合理的。

圖10 復(fù)雜性度量模型組成因子的相關(guān)性Fig.10 Correlation of the parameters of the complexity model

3.2 不同復(fù)雜度目標(biāo)在不同尺度間的相似度探索

本文試驗(yàn)綜合考慮目標(biāo)的復(fù)雜性和相似性，探索不同復(fù)雜度的目標(biāo)在不同尺度下的相似性的變化規(guī)律。試驗(yàn)采用浙江省舟山市某地區(qū)1∶1萬(wàn)、1∶5萬(wàn)、1∶25萬(wàn)、及1∶100萬(wàn)4種比例尺的框架數(shù)據(jù)，從中隨機(jī)挑選100個(gè)面狀島嶼同名實(shí)體，所有同名實(shí)體均為一一對(duì)應(yīng)，如圖11所示。

圖11 試驗(yàn)數(shù)據(jù)(未按比例尺繪制)Fig.11 Experimental data (not plotting by scale)

為了直觀展現(xiàn)不同復(fù)雜度目標(biāo)在各比例尺間的相似度大小，以復(fù)雜度為橫軸、相似度為縱軸繪制散點(diǎn)圖，如圖12所示，從中可以看出，數(shù)據(jù)基本滿足線性趨勢(shì)。

首先利用復(fù)雜性度量方法對(duì)1∶1萬(wàn)比例尺的100個(gè)面輪廓進(jìn)行復(fù)雜度計(jì)算，按照復(fù)雜度從小到大的順序從1到100對(duì)目標(biāo)進(jìn)行編號(hào)。然后分別計(jì)算1∶1萬(wàn)比例尺與1∶5萬(wàn)、1∶25萬(wàn)及1∶100萬(wàn)同名實(shí)體的相似度，部分計(jì)算結(jié)果如表1所示。

為了探索復(fù)雜度是否與相似度相關(guān)，在SPSS 20.0環(huán)境中，對(duì)1∶5萬(wàn)、1∶25萬(wàn)、1∶100萬(wàn)相似度計(jì)算結(jié)果與復(fù)雜度分別進(jìn)行雙變量相關(guān)性分析，結(jié)果如表2、表3所示。其中sim(1,5)shape、sim(1,25)shape、sim(1,100)shape分別為1∶1萬(wàn)與1∶5萬(wàn)、1∶25萬(wàn)、1∶100萬(wàn)比例尺間同名實(shí)體的形狀相似度，compl為該實(shí)體在1∶1萬(wàn)比例尺下的復(fù)雜度。

表1 不同復(fù)雜度目標(biāo)在不同尺度間的相似度(部分)

圖12 不同復(fù)雜度目標(biāo)在不同尺度間的相似度Fig.12 Similarity between different complexity targets at different scales

表2 描述性統(tǒng)計(jì)量

從結(jié)果可以看出，3類相似度與復(fù)雜度之間的Pearson相關(guān)系數(shù)分別為0.271、0.434、0.515，表示二者存在不完全相關(guān)且為正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)逐漸增大，說(shuō)明隨著比例尺跨度增大，相關(guān)強(qiáng)度逐漸增強(qiáng)；顯著性檢驗(yàn)P值分別為0.006、0.000、0.000，均小于0.01，表示在0.01的顯著性水平上否定了二者不相關(guān)的假設(shè)，即相似度與復(fù)雜度之間存在相關(guān)關(guān)系。進(jìn)一步對(duì)相似度和復(fù)雜度進(jìn)行一元線性回歸，得回歸方程

表3 相關(guān)性

*:在0.01水平(雙側(cè))上顯著相關(guān)。

(17)

下面對(duì)回歸模型進(jìn)行分析，模型匯總?cè)绫?所示。總體上看，回歸模型R2均較小，擬合度較低，但是隨著比例尺跨度增大，R2逐漸增大，擬合度呈現(xiàn)好趨勢(shì)，說(shuō)明隨著比例尺跨度增大，相似度與復(fù)雜度的線性關(guān)系逐漸增強(qiáng)。D-W統(tǒng)計(jì)量接近于2，說(shuō)明模型殘差不存在自相關(guān)。

表4 模型匯總

*：預(yù)測(cè)變量(常量),compl。

表5、表6顯示了方差分析和回歸系數(shù)的T檢驗(yàn)結(jié)果，回歸部分的F值分別為7.786、22.706、35.306，相應(yīng)的P值分別為0.006、0.000、0.000，小于顯著水平0.05?？梢耘袛鄰?fù)雜度對(duì)相似度解釋的部分非常顯著，擬合的模型具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，回歸系數(shù)的T檢驗(yàn)結(jié)果概率值均小于0.05，回歸方程的系數(shù)非常顯著。另外對(duì)殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)殘差基本服從正態(tài)分布。

表5 方差分析

*：預(yù)測(cè)變量(常量),compl。

進(jìn)一步分析回歸系數(shù)發(fā)現(xiàn)，相鄰比例尺間相似度隨復(fù)雜度的回歸系數(shù)較小，為0.033 7，而compl∈[0,1]，可以認(rèn)為復(fù)雜度對(duì)相似度的線性影響較小。用觀測(cè)值均值代替真值，有sim(1,5)shape=0.977 5，標(biāo)準(zhǔn)差為0.014 2，說(shuō)明觀測(cè)數(shù)據(jù)比較接近均值，有較強(qiáng)的可靠性。當(dāng)比例尺跨度增大時(shí)，回歸系數(shù)較大，標(biāo)準(zhǔn)差隨之增大，用均值代替真值會(huì)產(chǎn)生較大誤差。同理可得其他兩個(gè)相鄰比例尺間相似度，有sim(5,25)shape=0.954 9、sim(25,100)shape=0.894 3。

表6 系數(shù)

綜上所述，可以得出以下結(jié)論：相似度和復(fù)雜度之間存在顯著的線性相關(guān)關(guān)系，且比例尺跨度越大，復(fù)雜度對(duì)相似度的影響越大。具體應(yīng)用時(shí)，復(fù)雜度對(duì)相鄰比例尺間相似度的影響可以忽略不計(jì)，當(dāng)比例尺跨度較大時(shí)，需要考慮復(fù)雜度的影響。

3.3 利用相似性約束進(jìn)行自動(dòng)化簡(jiǎn)

化簡(jiǎn)是制圖綜合的重要組成部分，在制圖綜合作業(yè)中占據(jù)很大比例，實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)算法的自動(dòng)化具有很強(qiáng)的實(shí)用意義?，F(xiàn)階段，針對(duì)制圖綜合中的化簡(jiǎn)，提出了很多算法，然而針對(duì)具體的制圖綜合作業(yè)過(guò)程，需要指定閾值，如Douglas-Peucker算法的最小垂距、Li-OpenShaw算法的最小圓直徑等，使算法不能自動(dòng)運(yùn)行。本文基于上述研究結(jié)果，提出利用相似性約束進(jìn)行自動(dòng)化簡(jiǎn)。

3.3.1 方法流程

由上文試驗(yàn)可知，一方面，隨著化簡(jiǎn)程度的加大，相似度會(huì)逐漸減小；另一方面，相似度與比例尺變化之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。因此，對(duì)于需要閾值參數(shù)的化簡(jiǎn)算法，可以利用相似度計(jì)算化簡(jiǎn)最佳閾值，約束化簡(jiǎn)過(guò)程。初始時(shí)，對(duì)化簡(jiǎn)算法設(shè)置一較小閾值(具體可根據(jù)目標(biāo)本身的大小適當(dāng)設(shè)置)，然后逐漸增大化簡(jiǎn)閾值，度量不同化簡(jiǎn)閾值下的結(jié)果與原始目標(biāo)之間的相似度，當(dāng)相似度最接近目標(biāo)相似度時(shí)，可認(rèn)為取得最佳化簡(jiǎn)閾值。相似性約束的自動(dòng)化簡(jiǎn)一般流程如圖13所示，其中d0為初始閾值，di為第i次閾值，s為步長(zhǎng)，simi是閾值為di時(shí)綜合結(jié)果與原始目標(biāo)的相似度，sim為理論相似度。

圖13 相似性約束的自動(dòng)化簡(jiǎn)一般流程Fig.13 General automation simplification using similarity constraint

3.3.2 效率分析

上述方法的效率與所采用的化簡(jiǎn)算法和相似性度量算法時(shí)間復(fù)雜度及判斷次數(shù)有關(guān)，各類化簡(jiǎn)算法時(shí)間復(fù)雜度不同，已有專門研究[24]，此處主要分析相似性度量的時(shí)間復(fù)雜度。

相似性度量算法的時(shí)間復(fù)雜度主要與采樣點(diǎn)數(shù)有關(guān)。設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為N，計(jì)算單個(gè)內(nèi)外弦長(zhǎng)主要過(guò)程是檢查弦與多邊形每條邊的交點(diǎn)，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，則計(jì)算OM、IODM、矩陣時(shí)間復(fù)雜度為O(N(T-1)N)=O(N2logN)，PM時(shí)間復(fù)雜度為O(N(21+22+…+2T-1))=O(N2T)=O(N2)。在特征歸一化處理階段，尺度歸一化時(shí)間復(fù)雜度為O((T-1)N)=O(NlogN)，快速傅里葉變換時(shí)間復(fù)雜度為O(NlogN)，起點(diǎn)歸一的時(shí)間復(fù)雜度為O((T-1)NlogN)=O(Nlog2N)，則計(jì)算CFM描述子的時(shí)間復(fù)雜度為O(2N2logN+N2+3NlogN+3NlogN)=O(N2logN)。相似性度量模型建立階段時(shí)間復(fù)雜度為O(3M(T-1))=O(MlogN)，由于M?N，則有相似度計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為O(N2logN)。

設(shè)相似性約束的化簡(jiǎn)方法需要進(jìn)行R(R為自然數(shù))次相似性判斷，所采用化簡(jiǎn)算法時(shí)間復(fù)雜度為O(S)，則本文方法總體時(shí)間復(fù)雜度為O(R×N2logN+R×S)=O(N2logN+S)。

從上述分析可知，相似度計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度主要與采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)N有關(guān)，且通常N在102數(shù)量級(jí)。另外，通過(guò)運(yùn)用適當(dāng)?shù)乃阉鞑呗?，R可以是一個(gè)不大的自然數(shù)，因此在時(shí)間效率上是可以接受的。

3.3.3 試驗(yàn)驗(yàn)證及分析

以Bend_Simplify算法為例，對(duì)上述方法進(jìn)行檢驗(yàn)。試驗(yàn)采用前文試驗(yàn)地區(qū)1∶5萬(wàn)比例尺30個(gè)面狀島嶼輪廓線數(shù)據(jù)，如圖14(a)所示，現(xiàn)有1∶25萬(wàn)數(shù)據(jù)如圖14(b)所示，用來(lái)對(duì)化簡(jiǎn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。采用上述方法自動(dòng)綜合1∶25萬(wàn)數(shù)據(jù)，初始閾值設(shè)為50 m，步長(zhǎng)5 m，理論相似度采用0.954 9。為了與本文方法對(duì)照，通過(guò)多次試驗(yàn)及專家咨詢，選取150 m作為人工化簡(jiǎn)閾值。

圖14 試驗(yàn)數(shù)據(jù)介紹(未按實(shí)際位置和比例尺繪制)Fig.14 Introduction of experimental data (not plotting by actual location and scale)

按本文方法，自動(dòng)計(jì)算的閾值及相似度如表7所示。將兩種方法綜合結(jié)果與1∶25萬(wàn)現(xiàn)有數(shù)據(jù)疊加顯示，如圖15所示。采用目視比較方法[25]評(píng)價(jià)輪廓線化簡(jiǎn)結(jié)果，可以看出，兩種方法綜合結(jié)果與現(xiàn)有數(shù)據(jù)基本重合，且詳細(xì)程度基本一致，說(shuō)明本文方法自動(dòng)設(shè)置的化簡(jiǎn)閾值是合理的。進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，圖15中1、2、3、6處和4、5處(其他未一一列出)，人工設(shè)置的固定閾值化簡(jiǎn)結(jié)果分別出現(xiàn)過(guò)度化簡(jiǎn)及化簡(jiǎn)不足的情況，而自動(dòng)設(shè)置閾值化簡(jiǎn)結(jié)果情況較緩和，分析發(fā)現(xiàn)這是由于不同目標(biāo)形態(tài)不同，傳統(tǒng)方法對(duì)所有對(duì)象都設(shè)置相同的閾值導(dǎo)致的。從表7中也可以看出，本文方法對(duì)30個(gè)目標(biāo)自動(dòng)計(jì)算的化簡(jiǎn)閾值各不相同(最小95 m，最大225 m)，說(shuō)明本文方法較好地顧及到了目標(biāo)的個(gè)體差異。

表7 化簡(jiǎn)閾值及相似度

圖15 綜合結(jié)果比較(未按實(shí)際位置和比例尺繪制)Fig.15 Comparison of generalization results(not plotting by actual location and scale)

3.3.4 與傳統(tǒng)方法的比較

本文提出的利用相似性約束進(jìn)行自動(dòng)化簡(jiǎn)，主要是為化簡(jiǎn)算法的閾值設(shè)置提供通用的依據(jù)。優(yōu)點(diǎn)是針對(duì)需要閾值參數(shù)的化簡(jiǎn)算法，自動(dòng)計(jì)算化簡(jiǎn)閾值，降低人工參與程度，減少作業(yè)前期的閾值評(píng)估工作。本文方法與傳統(tǒng)作業(yè)方法比較如表8所示。

表8 兩種方法比較

由于本文方法對(duì)每一個(gè)對(duì)象的化簡(jiǎn)結(jié)果都進(jìn)行相似性判斷，因此效率相對(duì)較低。針對(duì)這一問(wèn)題，一方面可通過(guò)改進(jìn)搜索閾值的方法，減少相似度計(jì)算的次數(shù)，提高效率；另一方面，對(duì)于某一地區(qū)，可事先選取部分要素進(jìn)行試驗(yàn)，用計(jì)算的閾值的均值作為該地區(qū)人工選取閾值的參考，這樣不僅可以降低人工評(píng)估閾值帶來(lái)的不確定性，也可大大增加化簡(jiǎn)的效率。

4 結(jié) 論

相似性是空間數(shù)據(jù)處理的重要依據(jù)，除制圖綜合外，在同名實(shí)體匹配[26]、相似性查詢[27]等領(lǐng)域均具有重要意義。復(fù)雜性作為空間對(duì)象的固有屬性，是相比于面積、周長(zhǎng)等測(cè)度更深層次的信息，其定量計(jì)算結(jié)果是目標(biāo)特征的重要指標(biāo)。本文將相似性和復(fù)雜性進(jìn)行綜合研究，可以挖掘出多尺度空間數(shù)據(jù)間潛在規(guī)律，為空間數(shù)據(jù)處理提供新的思路和方法。本文的主要工作總結(jié)如下：

(1) 針對(duì)矢量面輪廓線，通過(guò)抽取多個(gè)尺度下的內(nèi)弦長(zhǎng)、外弦長(zhǎng)及弧到弦的平均投影長(zhǎng)度構(gòu)造弦特征矩陣，可以較好地描述形狀的凹凸特性和輪廓線的彎曲程度，滿足對(duì)形狀的多級(jí)描述需求。通過(guò)對(duì)弦特征矩陣進(jìn)行離散傅里葉變換，不僅解決了起始節(jié)點(diǎn)不一致問(wèn)題，也增強(qiáng)了抗噪聲干擾能力。

(2) 將輪廓線看成振動(dòng)的波，從凹口比例、凸殼周長(zhǎng)相對(duì)增量及最小外包圓面積相對(duì)增量3個(gè)方面建立復(fù)雜度描述因子，構(gòu)造復(fù)雜性度量模型，可以正確區(qū)分不同復(fù)雜程度的面輪廓線，與人的主觀感受一致。

(3) 將相似度模型和復(fù)雜度模型應(yīng)用于化簡(jiǎn)過(guò)程，探索了不同復(fù)雜度目標(biāo)在不同尺度下相似性的變化規(guī)律。從現(xiàn)有試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)看，目標(biāo)本身的復(fù)雜度對(duì)鄰近尺度間同名實(shí)體相似度的影響可以忽略不計(jì)，當(dāng)比例尺跨度較大時(shí)，需要顧及復(fù)雜度的影響。基于這一結(jié)論，給出相似性約束的自動(dòng)化簡(jiǎn)一般流程，試驗(yàn)表明本文方法結(jié)果合理，且增加了化簡(jiǎn)算法的自動(dòng)化程度。

不同尺度目標(biāo)間的相似度是否與其他因素有關(guān)，需要進(jìn)一步探索；相似度約束的自動(dòng)綜合結(jié)果是否合理，需要進(jìn)一步驗(yàn)證。本文利用現(xiàn)有綜合好的數(shù)據(jù)計(jì)算不同比例尺間的相似度，并用來(lái)指導(dǎo)綜合過(guò)程，屬于基于案例的制圖綜合范疇，下一步可以利用本文相關(guān)模型結(jié)合深度學(xué)習(xí)等方法，研究新的自動(dòng)綜合方法。