李洪偉， 葛 勇， 閆理坦

（東華大學(xué) 理學(xué)院，上海 201620）

1991年，Durrett 和Rogers[1]首先研究了一種用于模擬聚合物形狀變化的數(shù)學(xué)模型。他們考察了下列隨機(jī)微分方程解在滿(mǎn)足一定條件時(shí)的漸近行為

其中B 是d-維標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，Φ 是Lipschitz 連續(xù)函數(shù)。在1995年，Cranston 和Lejan[2]在此基礎(chǔ)上提出了自吸引擴(kuò)散模型，并重點(diǎn)研究了下面的兩種一維情況：

（1）線(xiàn)性自交互型：Φ 為一個(gè)線(xiàn)性齊次函數(shù)Φ（x）＝ax

其中a＞0。

（2）常自交互型：Φ（x）＝σsign

其中σ＞0。他們證明了上述兩種情況下，方程的解Xt是幾乎必然收斂的。對(duì)于方程（1），如果對(duì)函數(shù)Φ 不加任何限制，那么它就是一個(gè)自交互擴(kuò)散過(guò)程；特別地，如果對(duì)任意的x∈Rd，有x·Φ（x）≥0，稱(chēng)方程（1）的解是自排斥的；相反地，如果對(duì)任意的x∈Rd，有x·Φ（x）≤0，稱(chēng)方程（1）的解是自吸引的。如果想更多地了解自交互過(guò)程的相關(guān)研究，可以參見(jiàn)文獻(xiàn)[3-7]。

另一方面，利用分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)性質(zhì)，可以建立一個(gè)路徑積分，用于模擬聚合物生成時(shí)的形狀變化。因此，在文獻(xiàn)[8－9]的基礎(chǔ)上，閆理坦等在文獻(xiàn)[10]中考察了如下方程

其中BH是一個(gè)Hurst 指數(shù)為H∈（0，1）的d-維標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。不難證明上述方程具有唯一的強(qiáng)解，同時(shí)他們重點(diǎn)討論了如下方程

他們證明了當(dāng)a<0 且H>1/2 時(shí)該方程的解（稱(chēng)為分?jǐn)?shù)自吸引擴(kuò)散）是均方收斂的，同時(shí)也是幾乎必然收斂的，并給出了該方程在離散形式下的收斂性定理。甘姚紅與閆理坦研究了a，v 在a>0 時(shí)的最小二乘估計(jì)[12]。筆者主要研究a>0 時(shí)方程（3）解的收斂性。

1 預(yù)備知識(shí)

在這部分中，簡(jiǎn)要介紹分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的概念、基本性質(zhì)以及相關(guān)的隨機(jī)積分，除特別聲明外，以下通篇假設(shè)H>1/2，且是一個(gè)定義在（Ω，F(xiàn)H，P）上的一維分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，其Hurst 指數(shù)為H，其中FH是由BH生成的σ 代數(shù)。Hurst 指數(shù)為H 的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)均值為零的高斯過(guò)程，其協(xié)方差函數(shù)為

當(dāng)H＝1/2 時(shí)，BH為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)在H≠1/2 時(shí)， 它既不是半鞅也不是馬爾科夫過(guò)程，因此，很多隨機(jī)分析中的方法并不適用，但作為高斯過(guò)程，可以構(gòu)造BH的基于隨機(jī)變分法的隨機(jī)分析。

假設(shè)ε 是由示性函數(shù)1[0，t]，t≥0 張成的線(xiàn)性空間，而是ε 的基于如下內(nèi)積的完備化

考慮如下定義在ε 上的線(xiàn)性映射

可以證明，這個(gè)映射在ε 上是線(xiàn)性的并且它也是一個(gè)ε 到BH生成的高斯空間的一個(gè)等距，這個(gè)等距可以被擴(kuò)張到上。稱(chēng)這個(gè)等距映射為關(guān)于BH的Wiener 積分，記成

2 主要結(jié)果與證明

假設(shè)C 是一個(gè)正常數(shù)，其值可能依賴(lài)于H、a、v，并且它們的值在不同位置可能不同。顯然方程（3）的解可以表示為

其中，

當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，顯然方程（4）是發(fā)散的，但由洛必達(dá)法則，下式成立

于是，有

定理1設(shè)是方程（3）的解。則當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)為L(zhǎng)2（Ω）收斂，且收斂于如下的隨機(jī)變量

證明為了敘述簡(jiǎn)單，記，利用洛必達(dá)法則，對(duì)于任意的s＞0，下式均成立

所以存在一個(gè)正常數(shù)C，使得對(duì)于任意的0＜s≤t 均有

注意對(duì)所有t＞0，

所以，有

當(dāng)t趨于無(wú)窮大時(shí)，顯然上式中最后一項(xiàng)趨于0，而倒數(shù)第二項(xiàng)滿(mǎn)足

現(xiàn)在證明前兩項(xiàng)當(dāng)t 趨向于無(wú)窮大時(shí)也趨向于0。由式（7），得到如下不等式

由此可得

所以，有

證畢。

定理2當(dāng)t 趨向于無(wú)窮大時(shí)幾乎必然收斂于

證明不失一般性，這里假設(shè)v＝0，由方程（3），有

由事實(shí)

及

得到以下估計(jì)

對(duì)任意的n≥1 均成立，所以

這里t≥s＞0，則有

對(duì)于上述第一項(xiàng)積分，有

對(duì)于方程（7）中的第二項(xiàng)積分，也有

于是，結(jié)合Borel-Cantelli 引理，同樣證明了當(dāng)t 趨向于無(wú)窮大時(shí)幾乎必然收斂于0。證畢。