張承宗

(空軍某軍事代表局，北京 100071)

0 引言

復(fù)合材料層合板殼結(jié)構(gòu)元件具有輕質(zhì)高強(qiáng)、可設(shè)計(jì)性好等諸多優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代工業(yè)中獲得了廣泛應(yīng)用。復(fù)合材料的各向異性為板殼力學(xué)研究增加了新的內(nèi)涵[1]。人們早在1947年[2]就開始針對各向異性板力學(xué)問題進(jìn)行系統(tǒng)研究，但因?yàn)閿?shù)學(xué)理論的局限，對正交異性問題研究開展的較多，而對各向異性研究成果相對有限。針對板殼剪切效應(yīng)，相繼提出了Ressner一階剪切理論(First-Order Deformation Theory， FSDT)[3]、Reddy簡化高階剪切理論(Reddy Simplified High Order Shear Deformation Theory， RSDT)[4]等。從數(shù)學(xué)上看，經(jīng)典板理論(Classical Laminated Plate Theory， CLT) 是一個(gè)未知位移函數(shù)的4次偏微分方程邊值問題，Ressner一階剪切理論是3個(gè)未知位移函數(shù)的6次偏微分方程邊值問題，Reddy簡化高階剪切理論是3個(gè)未知位移函數(shù)的8次偏微分方程邊值問題，數(shù)學(xué)解析求解難度在提升。而對于復(fù)合材料對稱角鋪設(shè)層合板結(jié)構(gòu)，各向異性還帶來了奇次交叉剛度系數(shù),不論是解析法求解，還是數(shù)值法求解均不容易。近年來，數(shù)學(xué)物理方法獲得進(jìn)步[5-10]，陸續(xù)發(fā)展了復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)方法，基于經(jīng)典理論[5]、Ressner一階剪切理論[8]、Reddy簡化高階剪切理論[12]各向異性板彎曲力學(xué)問題一般解析解，使解析研究各向異性板殼結(jié)構(gòu)力學(xué)響應(yīng)問題成為了可能。應(yīng)用復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)方法求解了基于Reddy簡化高階剪切理論各向異性板彎曲力學(xué)問題，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)[12],解的多項(xiàng)式補(bǔ)充解需進(jìn)一步簡化。由此，在此基礎(chǔ)上，本文對Reddy簡化高階剪切理論的各向異性板彎曲問題重新進(jìn)行了解析求解，得到了簡化后的該問題一般解析解。

不同剪切理論與經(jīng)典理論在各向異性情況下的適用范圍是工程設(shè)計(jì)和理論分析所關(guān)心的。本文應(yīng)用解析解方法分別采用Ressner一階剪切理論、Reddy高階簡化剪切理論和經(jīng)典理論板彎曲解析解，計(jì)算研究不同鋪設(shè)角、鋪設(shè)層數(shù)、板厚條件下四邊固支對稱角鋪設(shè)層合板彎曲問題，通過分析比較其撓度、彎矩、扭矩變化情況，研究對于四邊固支層合板彎曲問題的各理論適用范圍和力學(xué)響應(yīng)變化規(guī)律。計(jì)算發(fā)現(xiàn)，四邊固支對稱角鋪設(shè)層合方板在h/a≤0.02時(shí)，經(jīng)典理論和這兩種剪切理論的板中心撓度、彎矩、扭矩計(jì)算值相差不大；h/a>0.02時(shí)，兩種剪切理論和經(jīng)典理論的板中心撓度計(jì)算值開始出現(xiàn)差距。對于四邊固支層合方板，Ressner一階剪切理論和Reddy簡化高階剪切理論的板中心撓度計(jì)算值相差不大。對于四邊固支層合板，兩種剪切理論的板中心彎矩和扭矩亦相差不大。為反映橫向剪切影響程度，引入了橫向剪切效應(yīng)參數(shù)。數(shù)值算例表明，對于四邊固支對稱角鋪設(shè)層合板彎曲問題，橫向剪切效應(yīng)與彎扭耦合效應(yīng)存在交聯(lián)。文中給出一批數(shù)值算例，可供有限元等數(shù)值計(jì)算程序校核參考。

1 基本理論

對于矩形板彎曲問題，引入以下無量綱量

其中,a、b、h分別為矩形板的長、寬、厚,q為橫向載荷,(x,y,z)為直角坐標(biāo)系坐標(biāo)，z為平板中面法向坐標(biāo)，x、y分別為長、寬方向坐標(biāo)。

1.1 Reddy簡化高階剪切理論

基于Reddy簡化高階剪切理論的對稱角鋪設(shè)層合板在彎曲變形分析時(shí)的位移分量為

(1)

式中,w(x,y)為撓度，u(x,y)、v(x,y)分別為x、y方向位移，φx(x,y)、φy(x,y)分別為板廣義位移參量。

該橫向彎曲問題的平衡方程可寫為如下形式

(2)

其中，微分算子L33,L34,…,L55見下文。

其中,廣義剛度為

設(shè)

(3)

式中，i為虛數(shù)單位，m為整數(shù)(m≠0，實(shí)際計(jì)算中m是有限的，設(shè)最大項(xiàng)數(shù)為M)，r為復(fù)數(shù)特征根。E、F、G為復(fù)數(shù)常數(shù)。根據(jù)文獻(xiàn)[12],可得實(shí)數(shù)形式的一般解析解

t1+t2(ξ-0.5)+t3(η-0.5)+t4(ξ-0.5)2+t5(η-0.5)2+t6(ξ-0.5)(η-0.5)+t7(ξ-0.5)3+

t8(ξ-0.5)2(η-0.5)+t9(ξ-0.5)(η-0.5)2+t10(η-0.5)3+t23(ξ-0.5)4+t24(ξ-0.5)3(η-0.5)+

t25(ξ-0.5)2(η-0.5)2+t26(ξ-0.5)(η-0.5)3+t27(η-0.5)4+

(4)

t11+t12(ξ-0.5)+t13(η-0.5)+t14(ξ-0.5)2+t15(η-0.5)2+t16(ξ-0.5)(η-0.5)+

t28(ξ-0.5)3+t29(ξ-0.5)2(η-0.5)+t30(ξ-0.5)(η-0.5)2+t31(η-0.5)3+

(5)

t17+t18(ξ-0.5)+t19(η-0.5)+t20(ξ-0.5)2+t21(η-0.5)2+t22(ξ-0.5)(η-0.5)+

t32(ξ-0.5)3+t33(ξ-0.5)2(η-0.5)+t34(ξ-0.5)(η-0.5)2+t35(η-0.5)3+

(6)

wp=t1+t2(ξ-0.5)+t3(η-0.5)+t4(ξ-0.5)2+

t5(η-0.5)2+t6(ξ-0.5)(η-0.5)+t7(ξ-

0.5)3+t8(ξ-0.5)2(η-0.5)+t9(ξ-0.5)·

(η-0.5)2+t10(η-0.5)3+t23(ξ-0.5)(η-

0.5)3+t24(ξ-0.5)3(η-0.5) +t25(ξ-

0.5)2(η-0.5)2

0.5)2+t15(η-0.5)2+t16(ξ-0.5)(η-0.5)+

t26(ξ-0.5)3+t27(ξ-0.5)2(η-0.5)+

t28(ξ-0.5)(η-0.5)2+t29(η-0.5)3

0.5)2+t21(η-0.5)2+t22(ξ-0.5)(η-

0.5)+t30(ξ-0.5)3+t31(ξ-0.5)2(η-

0.5)+t32(ξ-0.5)(η-0.5)2+t33(η-0.5)3

內(nèi)力矩計(jì)算公式如下

[Mx,My,Mxy]T=[Di,j]{e2}+[Hi,j]{e4}
(i,j=1,2,6)

(7)

其中,剛度Dij、Hij定義見文獻(xiàn)[12-13]。式中

1.2 Ressner一階剪切理論

根據(jù)文獻(xiàn)[3,8]，基于Ressner一階剪切理論的對稱角鋪設(shè)層合板在彎曲變形分析時(shí)的位移分量為

(8)

式中，w(x,y)為撓度，φx(x,y)和φy(x,y)分別為板廣義位移參量。Ressner一階剪切理論的對稱角鋪設(shè)層合板橫向彎曲問題控制偏微分方程組及其一般解析解見文獻(xiàn)[8]。

一階剪切理論板彎曲內(nèi)力計(jì)算公式如下

[Mx,My,Mxy]T=[Di,j]{e2} (i,j=1,2,6)

(9)

其中，{e2}與公式(7)中定義相同。

本文計(jì)算沿用文獻(xiàn)[8]中根據(jù)剪切余能相等原理推導(dǎo)出修正剪切剛度系數(shù)的做法，修正剪切剛度系數(shù)A55、A45、A44具體形式見文獻(xiàn)[8,13]。

1.3 經(jīng)典理論

經(jīng)典理論各向異性板彎曲控制偏微分方程如下

(10)

采用復(fù)數(shù)級(jí)數(shù)法[5]可求解對稱角鋪設(shè)層合矩形板橫向彎曲問題，具體解形式見文獻(xiàn)[5]。

內(nèi)力矩計(jì)算公式為

(11)

1.4 邊界條件與角點(diǎn)條件

Reddy簡化高階剪切理論四邊固支矩形板邊界條件為

(12)

Reddy簡化高階剪切理論四邊固支矩形板角點(diǎn)條件為

(13)

一階剪切理論的四邊固支矩形板邊界條件為

(14)

一階剪切理論的四邊固支矩形板角點(diǎn)條件為

ξ=0,1η=0,1φx=0φy=0w=0

(15)

經(jīng)典理論四邊固支矩形板邊界條件為

(16)

經(jīng)典理論四邊固支矩形板角點(diǎn)條件為

(17)

2 計(jì)算研究

下面采用解析解方法(經(jīng)典理論解見文獻(xiàn)[5]，Ressner一階剪切理論解見文獻(xiàn)[8]，Reddy簡化高階剪切理論解見文獻(xiàn)[12])計(jì)算對稱角鋪設(shè)四邊固支方形板在均布載荷q作用下的彎曲，評(píng)估有關(guān)理論解析解適用范圍，并研究橫向彎曲力學(xué)響應(yīng)情況。本文設(shè)定板結(jié)構(gòu)參數(shù)為a=b=1m(選定方板進(jìn)行計(jì)算研究)，載荷參數(shù)為q=104N/m2，材料力學(xué)參數(shù)為:E1=276GPa，E2=31.05GPa，G12=G13=10.35GPa，G23=12.42GPa，ν12=ν13=0.25，ν23=0.28。

該彎曲問題中撓度中心對稱；φx、φy反中心對稱(對于剪切理論計(jì)算而言)，據(jù)此可降低計(jì)算量。撓度單位為m，彎矩、扭矩單位為N·m。鋪設(shè)角θ的單位為(°)，鋪設(shè)方式確定為對稱角鋪設(shè)，如[θ,-θ,θ]T，本文以下所提層合板均為對稱角鋪設(shè)層合板。鋪設(shè)層數(shù)為N(注意斜體為變量-鋪設(shè)層數(shù))，計(jì)算假定層合板各層厚度一致，板厚h確定后，鋪設(shè)層數(shù)N可以調(diào)整。

2.1 驗(yàn)證計(jì)算

為了檢驗(yàn)本文式(4)～式(6)的收斂性和穩(wěn)定性，針對11層[30°/-30°/30°/-30°/30°/-30°/30°/-30°/30°/-30°/30°]鋪設(shè)四邊固支正方形板(h=0.1m)，在均布載荷作用下的橫向彎曲進(jìn)行計(jì)算，改變M比較相應(yīng)板中心撓度和彎矩，結(jié)果見表1～表2。

表1 M對板中心撓度、彎矩計(jì)算值影響

表1表明，當(dāng)M增大時(shí)，本文解數(shù)值保持穩(wěn)定。計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，對于不同的材料、邊界條件及鋪層方式 ，也存在相同的趨勢。

為檢查本文解的邊界條件符合情況，針對單層鋪設(shè)角為30°的正方形板(h=0.1m)進(jìn)行計(jì)算(M=60)。板撓度w、廣義位移φx和φy計(jì)算結(jié)果見表2～表4。

表2 [30°] CCCC層合板撓度w(x,y)分布

表3 [30°] CCCC層合板φx分布

表4 [30°] CCCC層合板φy分布

由表2～表4可發(fā)現(xiàn),本文解對位移邊界條件符合程度較好。

為檢驗(yàn)本文解與已有解符合情況，固定a=b=1m，改變h，結(jié)合不同a/h，針對具有CCCC邊界條件[45°/-45°/45°]層合方板，計(jì)算板中心撓度和彎矩值，并將Reddy簡化理論解與經(jīng)典理論CLT[9]、修正剪切剛度的FSDT[12]進(jìn)行對比(M取40)。計(jì)算結(jié)果見表5～表6。

表5 [45°/-45°/45°] CCCC層合板中心撓度RSDT解與CLT、FSDT解比較

表6 [45°/-45°/45°]T CCCC層合板中心彎矩Mx(0.5,0.5) RSDT解與CLT、FSDT解比較

由表5～表6可看出：當(dāng)a/h增大到一定值時(shí)，RSDT解數(shù)值已經(jīng)接近CLT、FSDT解數(shù)值；當(dāng)a/h降低到一定值時(shí)，RSDT解與CLT解的撓度值、彎矩逐漸出現(xiàn)差距。在目前設(shè)定的邊界條件、鋪設(shè)方式、結(jié)構(gòu)尺寸和板中心位置，RSDT解與FSDT解撓度值、彎矩比較接近，F(xiàn)SDT解撓度值一般要略大于RSDT解撓度值。以上的計(jì)算結(jié)果從不同的方面驗(yàn)證了本文解的正確性和收斂性。

2.2 撓度、彎矩和扭矩對比計(jì)算結(jié)果

對不同板厚h、不同鋪層N和不同鋪設(shè)角θ的對稱角鋪設(shè)層合板中心撓度、彎矩、扭矩進(jìn)行計(jì)算，具體結(jié)果見表7～表10。對3種級(jí)數(shù)形式一般解析解計(jì)算時(shí)均選取M=60(項(xiàng))。

表7 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計(jì)算值對比(h=0.02m,a=b=1m)

表8 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計(jì)算值對比(h=0.05m,a=b=1m)

表9 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計(jì)算值對比(h=0.1m,a=b=1m)

表10 四邊固支層合板中心撓度、彎矩和扭矩的RSDT與FSDT、CLT計(jì)算值對比(h=0.15m,a=b=1m)

2.3 數(shù)值結(jié)果分析

通過對表7～表10的分析，可以得到以下結(jié)果：

1)橫向剪切效應(yīng)降低了板結(jié)構(gòu)剛性。根據(jù)表1～表4，相對于經(jīng)典板理論的板中心撓度值，Ressner一階剪切理論、Reddy簡化高階剪切理論的板中心撓度值均有不同程度的增大。對于薄四邊固支層合板彎曲(如h/a=0.02)，經(jīng)典理論解與兩種剪切理論解數(shù)值相差不大，橫向剪切效應(yīng)較弱，可以采用經(jīng)典理論計(jì)算撓度和彎矩、扭矩。當(dāng)板跨厚比h/a=0.05時(shí)橫向剪切效應(yīng)已不可忽略，應(yīng)當(dāng)按剪切理論計(jì)算撓度值，CLT理論不同程度地低估了結(jié)構(gòu)撓度。

2)經(jīng)典理論與Ressner一階剪切理論、Reddy簡化剪切理論計(jì)算結(jié)果存在不同程度的差異。對于四邊固支層合方板中心的彎矩、扭矩，隨著板厚度增加，經(jīng)典理論和剪切理論(Ressner一階剪切理論、Reddy簡化高階剪切理論)計(jì)算值差異逐漸顯著起來:如h/a≤0.1時(shí)，彎矩、扭矩一般相對誤差在10%以內(nèi);如h/a>0.1時(shí)，彎矩、扭矩相對誤差可能超過10%，在20%之內(nèi)。對于一階剪切理論和Reddy簡化高階剪切理論而言，固支層合方板中心撓度與彎矩、扭矩計(jì)算結(jié)果基本相當(dāng)，固支層合方板中心FDST的撓度值比RSDT撓度值稍大，固支層合方板中心RSDT的彎矩值、扭矩值與FDST的彎矩值、扭矩值基本相當(dāng)并呈現(xiàn)上下波動(dòng)的趨勢。這表明對于四邊固支層合方板，其板中心撓度、彎矩、扭矩計(jì)算采用一階剪切理論足夠精確。本文所說的Ressner一階剪切理論是修正剛度以后的一階剪切理論，且這一結(jié)論只對本文涉及的四邊固支板中心處撓度、彎矩、扭矩計(jì)算有效。

3)鋪設(shè)層數(shù)對層合板結(jié)構(gòu)力學(xué)特性有較大影響。固定板厚并平均設(shè)定每層厚度，增大鋪設(shè)層數(shù)N可以提高層合板的剛性和強(qiáng)度。具體表現(xiàn)為：一是增大鋪設(shè)層數(shù)N，撓度值在降低，如根據(jù)RSDT理論解，對于厚度為0.1m的1層45°層合板中心撓度為0.2741×10-5m，9層[45°/-45°/45°]3對稱角鋪設(shè)層合板中心撓度為0.2172×10-5m，為單層板撓度的79%。二是增大鋪設(shè)層數(shù)后彎矩、扭矩值在降低，扭矩值降低幅度相對更大，如根據(jù)RSDT理論解，對于厚度為0.05m的1層45°層合板中心扭矩為153.3N·m，9層[45°/-45°/45°]3對稱角鋪設(shè)層合板中心扭矩為41.3N·m，僅為單層板中心扭矩的27%。根據(jù)FSDT、CLT理論解計(jì)算，也能得到類似的結(jié)論。但增大鋪設(shè)層數(shù)，層合板制造費(fèi)用也在增加，具體層合板設(shè)計(jì)存在一個(gè)優(yōu)化問題。

4)鋪設(shè)角對層合板結(jié)構(gòu)力學(xué)特性同樣有較大影響。鋪設(shè)角變化以后，層合板撓度、彎矩、扭矩都在不同程度地變化，從表1～表4均可發(fā)現(xiàn)這一現(xiàn)象。對于本文選擇的四邊固支邊界條件，對板邊界力學(xué)約束比較強(qiáng)，鋪設(shè)角變化后各力學(xué)響應(yīng)參數(shù)總體不是很劇烈，而對簡支或有自由邊的板結(jié)構(gòu)情況會(huì)有所不同。

5)橫向剪切效應(yīng)和彎扭耦合效應(yīng)有交聯(lián)。本文引入橫向剪切效應(yīng)參數(shù)Ts(coefficient of transverse deformation)，以衡量橫向剪切效應(yīng)。

其中，wclt為經(jīng)典理論的撓度值，wsdt為剪切理論的撓度值。顯然，對于不考慮橫向剪切效應(yīng)的經(jīng)典理論，Ts=0。Ts數(shù)值越大，橫向剪切效應(yīng)越強(qiáng)。以表3數(shù)據(jù)為例，對于h為0.1m的45°單層板時(shí)，根據(jù)FSDT計(jì)算板中心的Ts為0.772，根據(jù)RSDT計(jì)算板中心的Ts為0.739;而h為0.1m的35°單層板根據(jù)FSDT計(jì)算板中心的Ts為0.805，根據(jù)RSDT計(jì)算板中心的Ts為0.768。鋪設(shè)角改變，板彎曲的彎扭耦合效應(yīng)也隨之變化，鋪設(shè)角由35°增加到45°，彎扭耦合效應(yīng)增大，Ts數(shù)值在下降，橫向剪切效應(yīng)在降低，顯然這對于提高結(jié)構(gòu)的剛性是有益的。對于四邊固支層合方板，比較根據(jù)FSDT與RSDT計(jì)算所得的Ts，可知FSDT過度估計(jì)了板的橫向剪切效應(yīng)，而CLT忽略了板的橫向剪切效應(yīng)。

3 結(jié)論

解析法研究可過濾數(shù)值研究可能因數(shù)值方法不同帶來的潛在結(jié)論不確定，本文研究實(shí)踐表明了這一特點(diǎn),解析法研究直接從板殼理論基礎(chǔ)出發(fā)，比較、衡量各種板殼理論計(jì)算同一問題的精度。本文工作表明經(jīng)典理論對于薄壁的復(fù)合材料板的宏觀力學(xué)性能的分析是有用武之地的。對于相對厚的復(fù)合材料板，采用剪切理論計(jì)算分析是需要的。從本文研究來看，至少對于本文研究涉及的復(fù)合材料固支板，其中心的撓度和彎矩、扭矩等宏觀力學(xué)性能分析，一階剪切理論和簡化高階剪切理論計(jì)算值差異不大，這多少有些出乎預(yù)料?？紤]到高階剪切理論解析計(jì)算研究還不是很充分，本文研究復(fù)合材料板參數(shù)不夠廣泛，后續(xù)筆者擬再沿用解析研究的方法，針對其他方向問題和邊界條件情況，再深入比較一階剪切理論和高階剪切理論適用范圍。從理論上看，相對一階剪切理論，簡化高階剪切理論不需要修正剪切剛度，是個(gè)先天的優(yōu)點(diǎn)，其獨(dú)特的長處應(yīng)可望在具體力學(xué)計(jì)算中體現(xiàn)出來。

本文引入的橫向剪切效應(yīng)參數(shù)Ts給研究橫向剪切效應(yīng)提供了一種標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)，據(jù)此發(fā)現(xiàn)了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)橫向剪切效應(yīng)與各向異性的關(guān)聯(lián)特性。與各向同性板結(jié)構(gòu)相比，各向異性板結(jié)構(gòu)有其自身特點(diǎn)，有許多未知力學(xué)特點(diǎn)和規(guī)律待探索。本文得到的結(jié)果有的可能是共性結(jié)果，也有的可能是階段性(或個(gè)性)結(jié)果，后續(xù)將針對其他各向異性結(jié)構(gòu)力學(xué)問題繼續(xù)開展研究，具體結(jié)論再行報(bào)告。文中給出一批解析計(jì)算結(jié)果，可用以校核數(shù)值計(jì)算程序。