劉雪梅 馬瑞志

摘 要：針對傳統(tǒng)隨機(jī)中點位移法在地形仿真中存在的繪制過程復(fù)雜、細(xì)節(jié)表現(xiàn)不足、山頂處易出現(xiàn)失真的問題，提出一種在Unity3D下利用Perlin噪聲構(gòu)造分形，并對網(wǎng)格頂點進(jìn)行位移映射進(jìn)而生成地形的方法。根據(jù)設(shè)定好的分辨率構(gòu)造網(wǎng)格，計算并疊加各頂點不同頻率的噪聲值構(gòu)造分形，最后對網(wǎng)格頂點進(jìn)行位移映射，生成滿足要求的地形。在噪聲計算過程中修改了隨機(jī)梯度選取方法，可使梯度選取更具有隨機(jī)性，且計算出的噪聲值分布更加均勻，避免了在山頂處出現(xiàn)失真的現(xiàn)象。實驗結(jié)果表明，該方法可以很方便地實現(xiàn)三維地形仿真，并能很好地表現(xiàn)地形細(xì)節(jié)特征，解決了因山頂過于尖凸出現(xiàn)的失真問題。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)中點位移法;地形仿真;Unity3D;Perlin噪聲;分形;位移映射

DOI：10. 11907/rjdk. 191054

中圖分類號：TP317.4文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1672-7800（2019）004-0174-05

0 引言

三維地形仿真是構(gòu)建虛擬自然場景的重要組成部分。隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，特別是計算機(jī)仿真技術(shù)的日趨成熟，動態(tài)地形仿真被廣泛應(yīng)用于軍事仿真、游戲、動畫及電影制作等領(lǐng)域[1-2]。針對三維地形繪制，國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了大量研究。如Clark[3]首先提出一種判定可見面的層次細(xì)節(jié)模型，利用物體和視點之間的距離，加載不同分辨率的物體模型，解決了計算機(jī)運算負(fù)荷過大的問題，奠定了層次細(xì)節(jié)技術(shù)（Level of Detail，LOD）的研究基礎(chǔ);Hoppe[4-5]提出一種大規(guī)模場景地形網(wǎng)格預(yù)處理技術(shù)，以及高效實現(xiàn)漸進(jìn)網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的方法，可以表現(xiàn)復(fù)雜地貌，但缺點是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、占用內(nèi)存較大，且效率不高;Boer[6]在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，將多辨率（GeoMipMapping）算法與GPU并行處理相結(jié)合，提高了仿真系統(tǒng)的實時性。

在國內(nèi)，張潤花等[7]利用隨機(jī)中點位移法繪制地形，但由于網(wǎng)格細(xì)分的隨機(jī)范圍難以抉擇，導(dǎo)致生成的地形可能出現(xiàn)失真現(xiàn)象;李玉娟等[8]利用基于數(shù)字高程模型（Digital Elevation Model，DEM）的方法，實現(xiàn)了大規(guī)模地形渲染和漫游，但是該方法需要處理海量地形數(shù)據(jù)，繪制效率較低，實時性較差;馬海鳳[9]對GeoMipMapping算法進(jìn)行改進(jìn)，利用基于GPU的四叉樹瓦片LOD繪制算法繪制地形，提高了繪制速度，且效果較好，但未考慮動態(tài)地形的情況;劉瑤等[10]利用Perlin噪聲構(gòu)造分形進(jìn)而生成地形的方法，在GPU上進(jìn)行噪聲計算與疊加過程，提高了地形繪制效率，但是隨著數(shù)據(jù)量增加，GPU和CPU之間的數(shù)據(jù)傳遞會占用大量時間，影響繪制效率;鄭顧平等[11]采用WebGL標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行動態(tài)地形繪制，但實際上只是實現(xiàn)了幾何剪切圖算法。

綜合分析上述算法后，針對文獻(xiàn)[6]使用隨機(jī)中點位移法生成地形存在的細(xì)節(jié)表現(xiàn)不足、山頂尖凸失真問題，本文在Unity3D平臺下，通過對傳統(tǒng)Perlin噪聲計算過程中的隨機(jī)梯度選取方法進(jìn)行改進(jìn)，使噪聲分布更加均勻，從而使得繪制出的地形細(xì)節(jié)更為豐富。

1 Perlin噪聲

在計算機(jī)圖形學(xué)中，噪聲是指通過引入一些隨機(jī)變量以表現(xiàn)自然景物中的隨機(jī)效果，如云[12]、波浪[13]、水面[14]、湍流[15]、雪花[16]、場景渲染[17-18]等。最常見的噪聲即類似舊式電視機(jī)無信號時出現(xiàn)的隨機(jī)雪花像素點，如圖1所示。然而，完全隨機(jī)變化的數(shù)據(jù)是無用的，在計算機(jī)圖形學(xué)中需要一種可重復(fù)的隨機(jī)數(shù)函數(shù)，也稱為偽隨機(jī)函數(shù)，即對于同一輸入，得到的結(jié)果是相同的。Perlin[19]在1985年的SIGGRAPH大會上首次提出該函數(shù)，并給出了具體算法描述，稱為經(jīng)典Perlin噪聲。為了簡化計算，并方便利用硬件進(jìn)行實現(xiàn)，Ken Perlin[20]于2001年改進(jìn)了該算法，也即后來的SimpleX噪聲。目前，Perlin噪聲已被廣泛應(yīng)用于三維游戲、計算機(jī)仿真等領(lǐng)域。

Perlin噪聲的本質(zhì)是根據(jù)輸入?yún)?shù)（可以是N維向量）生成一個位于（-1，1）之間的隨機(jī)數(shù)。根據(jù)輸入?yún)?shù)的維度，有一維、二維和三維等不同維度的噪聲。Perlin噪聲是基于晶格（一維下是線段，二維下是方格，三維下是立方格）的噪聲，其生成過程可分為確認(rèn)晶格、選取隨機(jī)梯度向量、計算點積、計算插值因子并進(jìn)行插值4個階段。Perlin最初使用如式（1）所示的三次多項式進(jìn)行插值因子計算。

但是式（1）的二階導(dǎo)函數(shù)不連續(xù)，2002年P(guān)erlin[21]將光滑函數(shù)修改為一個五次多項式。

式（1）與式（2）雖然相似，但是式（2）具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，能更好地適用于計算機(jī)圖形學(xué)中諸如凹凸貼圖、位移映射等場景的渲染。單一的Perlin噪聲看上去很單調(diào)，一般都是通過疊加不同倍頻、頻率和振幅的噪聲構(gòu)造分形生成各種有趣的效果。

2 基于三維Perlin分形噪聲生成地形的方法

由于本文主要利用三維Perlin噪聲構(gòu)造分形，下面將分別從三維Perlin噪聲生成、分形構(gòu)造與地形生成三方面進(jìn)行詳細(xì)介紹。

2.1 三維Perlin噪聲生成

在三維空間上，噪聲函數(shù)用Noise（p）表示，p是一個三維向量，表示輸入點位置。計算給定點p處的噪聲需要經(jīng)過以下過程：

（1）確定晶格。三維情況下的晶格是單位立方體，如圖2所示，中間點p是給定點。要確定其所在晶格，只需確定晶格左下角及背面右上角的坐標(biāo)即可，也即確定圖中p0（x0，y0，z0）和p1（x1，y1，z1）的坐標(biāo)。其中p0是離p最近的整數(shù)點，可求得p0的坐標(biāo)如下（floor表示對參數(shù)向下取整）：

（2）選取隨機(jī)梯度向量。晶格確定之后，接下來為晶格每個頂點挑選一個偽隨機(jī)梯度向量。挑選基本思路如下：首先，生成一個隨機(jī)排列表P[N1]，這里采用Perlin的方法，將0～255的數(shù)字隨機(jī)打亂放入表P中。為避免重復(fù)，將打亂后的數(shù)字再復(fù)制一遍，也放入表P中;然后設(shè)置一個位掩碼hashMask用于隨機(jī)選擇，令hashMask=255;接著，生成一個隨機(jī)梯度表G[N2]，Perlin建議選取單位球內(nèi)不同方向的12個向量。由于12不是2的整數(shù)次冪，所以為了方便隨后進(jìn)行的位運算，將其拓展到16個。最終得到的隨機(jī)梯度表G[N2]如下：

經(jīng)過以上兩個步驟，得到P[N1]和G[N2]。在Perlin給出的算法中，采用式（9）進(jìn)行晶格頂點處梯度的選擇。

其中i、j、k分別取0或1，如G000代表晶格點（X0，Y0，Z0）處的梯度，n取255即hashMask的值。在實際應(yīng)用中，為了簡便可以不必進(jìn)行求模運算，采取位運算留下低8位的值即可，如式（10）所示。

為了使梯度選取更具有隨機(jī)性，并使最終生成的噪聲分布更均勻，本文在生成隨機(jī)梯度表時，設(shè)置一個梯度位掩碼gradientMask，取值為15。將式（10）修改為：

2.2 構(gòu)建分形

構(gòu)建分形的過程其實是疊加不同頻率、振幅的噪聲值，如式（31）-（33）所示。

式（31）中，fractal是最后的分形噪聲，octaves表示需要疊加的噪聲個數(shù)，frequency是計算噪聲時的采樣頻率，amplitude表示振幅。在每一次迭代中，式（32）、（33）用來控制頻率與振幅變化，其中l(wèi)acunarity是決定頻率變化的因子，一般是大于等于1的浮點數(shù);persistence是決定振幅變化的因子，一般取不大于1的浮點數(shù)。

由于振幅變化可能會引起最終噪聲值超出（-1，1）區(qū)間，所以在程序中設(shè)置了一個變量range記錄振幅變化。在每次振幅發(fā)生變化時，用式（34）記錄當(dāng)前振幅的值，在噪聲計算完成后，再利用式（35）將fractal的值規(guī)范到（-1，1）區(qū)間內(nèi)。

圖3、圖4分別展示了octaves為2、frequency為8，以及l(fā)acunarity為2、3、4與persistence為0.5、0.75、1時的三維Perlin分形噪聲。

2.3 地形生成

三維Perlin分形噪聲生成地形的基本思想是：利用噪聲函數(shù)生成高度場，對原平面網(wǎng)格頂點進(jìn)行位移映射，構(gòu)建地形。整個過程可分為網(wǎng)格構(gòu)建、高度場生成與映射位移3部分。

2.3.1 網(wǎng)格構(gòu)建

（1）在Unity中新建一個空對象，并為其添加Mesh組件。

（2）指定要生成地形的分辨率，分辨率用resolution表示。分辨率越大，最后生成的地形細(xì)節(jié)表現(xiàn)得越充分。

（3）計算網(wǎng)格頂點和頂點法線。假設(shè)要構(gòu)建一個分辨率為resolution * resolution的地形，則總頂點數(shù)目為（resolution+1）2，將頂點坐標(biāo)保存在數(shù)組vertices中，數(shù)組vertices的成員用三維向量表示。用數(shù)組normals保存頂點法線，頂點坐標(biāo)計算如下：

Unity的坐標(biāo)系統(tǒng)是左手坐標(biāo)系，Y軸代表垂直方向，X軸代表水平方向，Z軸代表深度。由于要構(gòu)建的是水平平面地形，這里只計算了頂點的X和Z坐標(biāo)，并按照先X方向、后Z方向的順序進(jìn)行計算。X和Z坐標(biāo)減0.5的作用是為了使最終生成平面網(wǎng)格的中心仍位于原點處。因為構(gòu)建的平面是基于X-Z的，每個頂點的法線都是沿Y軸朝上，所以法線可以用Unity中的內(nèi)置變量Vector3.up表示。最后將計算出的頂點和法線分別賦給Mesh組件的vertices屬性和normals屬性。

（4）網(wǎng)格生成。Unity中的網(wǎng)格都是以三角形為基礎(chǔ)的，用Mesh組件的triangles屬性保存所需的三角形。

定義一個triangles數(shù)組，triangles數(shù)組主要保存構(gòu)建三角形時所用到的頂點索引。由于一個四邊形由2個三角形構(gòu)成，因此對于分辨率為resolution*resolution的網(wǎng)格，數(shù)組大小為resolution2*6。利用之前計算出的頂點可以構(gòu)造出需要的網(wǎng)格，需要注意的是，Unity中三角形的前向面頂點是依順時針排列的。以圖5所示4*1的分辨率為例，構(gòu)建第一個四邊形所用到的頂點索引為0，1，5，6，則對應(yīng)的兩個三角形分別為0，5，1和1，5，6。對于分辨率為resolution*resolution的網(wǎng)格，triangles數(shù)組生成過程如圖6所示。

圖6中用t表示構(gòu)成四邊形的頂點索引，按照先X方向、后Z方向的順序，每個四邊形構(gòu)建完畢之后，t值增加6。

2.3.2 高度場生成與位移映射

網(wǎng)格構(gòu)建完成后，利用之前構(gòu)造的分形噪聲fractal生成高度場。按照先X方向、后Z方向的順序，分別求出每個頂點處的fractal值。為了能夠動態(tài)調(diào)整最終生成地形的起伏程度，設(shè)置一個strength變量調(diào)整fractal的值，如式（39）所示，strength范圍為（0，1]。

然后將其賦值給頂點的Y坐標(biāo)，完成位移映射，如式（40）所示。

對頂點作位移映射之后，可以利用Mesh組件自帶的RecalculateNormals（）函數(shù)重新計算頂點法線。

3 實驗結(jié)果與分析

根據(jù)本文方法，在Unity3D 2017.3.1f平臺下，利用C#語言在VisualStdio2017下編寫腳本，最終生成的地形效果如圖7所示。圖7（a）為分辨率100*100的地形，圖7（b）為分辨率200*200的地形。從圖中可以看出，在200*200分辨率下，如地表褶皺等地形細(xì)節(jié)特征表現(xiàn)得更加充分。采用一個漸變的顏色帶對最終地形進(jìn)行著色，藍(lán)色越深表示海拔越低，黃色表示高海拔地帶。

Unity3D可以自動處理光照和陰影，當(dāng)向場景中添加光照，生成的地形效果如圖8所示，其中圖8（a）為關(guān)閉Unity陰影效果，圖8（b）為開啟陰影效果。

圖9展示了通過改變strength的值調(diào)整地形起伏狀態(tài)。

最后，與隨機(jī)中點位移法生成的地形相比，如圖10所示，可以看到隨機(jī)中點位移法生成的山頂過于尖凸，而且如山體表面褶皺等地形細(xì)節(jié)表現(xiàn)不夠充分。利用本文算法生成的地形山頂表現(xiàn)自然，沒有過于尖凸的現(xiàn)象出現(xiàn)，而且山體表面褶皺也表現(xiàn)較好，整體而言本文算法效果更佳。

4 結(jié)語

本文提出一種在Unity3D平臺下，利用三維Perlin噪聲構(gòu)造分形進(jìn)而生成地形的方法。對經(jīng)典Perlin噪聲中晶格頂點處隨機(jī)梯度的選取方法進(jìn)行改進(jìn)，從而使最終生成的噪聲更具有隨機(jī)性。利用Unity3D中Mesh組件的自動計算法線功能，簡化了頂點在位移映射之后計算法線的過程。但是本文方法還存在一些不足，如當(dāng)分辨率過大時，需要計算的頂點數(shù)目也相應(yīng)增多，耗費時間較長，幀數(shù)也會急劇下降，而且地形起伏不能通過局部進(jìn)行調(diào)整，這是下一步需要改進(jìn)的地方。本文方法在生成地形方面效果較好，能夠充分表現(xiàn)出地形細(xì)節(jié)特征，且過程簡單，能夠滿足地形仿真需求。

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（責(zé)任編輯：黃 ?。?/p>